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文档简介

函数的周期性,函数周期性的定义,对于函数y=f（x），如果存在一个 T，使得当 时， 都成立，那么就把函数 y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。,f（ ）=f（ ）,不为零的常数,sin(x+ )=sinx,2k,正弦函数和余弦函数均为周期函数， 且周期 T=2k (kZ且k0),x取定义域内的每一个值,cos(x+ )=cosx,2k,(kZ且k0),x+T x,思考：周期函数的图象有何特征？,周期函数图象的形状随x的变化有规律的重复变化。,思考： 函数f(x)=x2是否为周期函数？如果是，周期是多少？,令f（x+T）=f（x），,即(x+T)2=x2,即x2+2xT+T2=x2，,所以2xT+T2=0,即T(2x+T)=0,所以T=0或T=-2x,因为T=0或T=-2x 均不符合函数周期的要求，所以函数f(x)=x2不是周期函数。,最小正周期的概念：,对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个 最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。,sin(x+ )=sinx cos(x+ )=cosx,2 2,自变量x只要并且至少增加到x+2时， 函数值才能重复取得。,正弦函数和余弦函数的最小正周期是2。,最小正周期在图象上的意义 ：,最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。,例题1：求下列函数的周期：,（1）y=3cosx,解：因为3cos(x+ )=3cosx,（x只要且至少增加到x+2）,2,所以原函数的周期是2。,（2）y=sin(x+/4),解：因为 sin(x+ )+/4= sin(x+/4),2,所以原函数的周期是2。,（3）y=sin2x,解：因为sin2(x+ ) =sin2x,=Sin2x+2,所以原函数的周期是。,4,所以原函数的周期是4。,所以原函数的周期是 。,结论：形如y=Asin(x+) 或y=Acos(x+) (A,为常数,A0, xR) 的函数的周期为T=,(A,为常数, A0, xR),例题1：求下列函数的周期： f(x)=sinx F(x)=cosx,例3 已知函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x-2,2时，f(x)=x2 (1)求f(5),f(-6)的值 （2）求f(x) x-2+4k,2+4k(kz)的解析式,三角函数具有周期性的本质原因:,三角函数值的大小是由角的终边在坐标系中的位置决定的,而在角的终边转动时,终边每转过2,都会与原来的终边重合,这样三角函数值就会周而复始地出现。,课堂小结：,2. 正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx均为周期函数， 且（最小正）周期为2。,1. 函数周期性的概念。,3.形如y=Asin(x+) 或y=Acos(x+) (A,为常数,A0, xR) 的函数的周期为T=,4. 函数周期性的用途。,课后作业：,教材：P46 3，10，B3 思考题：常数函数f(x)=1是否为周期函数？如果是，此函数的（一般）周期
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