向量的数量积与向量积.ppt

一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,第三节 向量的数量积与向量积,第八章 向量代数 空间解析几何,若有一质点在常力 (大小与方向均不变) F 的作用下，,则位移 ，,1.数量积的定义及其性质,规定两向量 a , b 的正方向之间不超过 180 的夹角为向量 a 与 b 的夹角，,由点 A 沿直线移动到点 B，,由物理学可知，,力 F 所做的功为,F,A,s,B,一、两向量的数量积,定义 1,两向量 a 、b 的模及其夹角余弦的连乘积，,称为向量 a 、b 的数乘积或点积，,记为 a b ， 即,由数量积的定义，,上述作功问题可以表示为,W = F s.,定义 2,即,类似地,所以，两向量的数量积也可以用投影表示为,交换律,结合律,分配律,由数量积的定义可知,所以,当 a、b 均为非零向量，,当 a 、b 中至少有一个是零向量时，,我们规定零向量与任何向量都垂直.,即 a 与 b 垂直.,(2) 若两个非零向量 a、b 互相垂直，,即a b.,即有a b = 0；,反之，,且 a b = 0 时，,这样， 两个向量互相垂直的充要条件是,由这个结论可得,a b = 0.,即,因此，,两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和.,利用数量积的运算规律有：,2.数量积的坐标计算式,均为非零向量，,3.两非零向量夹角余弦的坐标表示式,由两向量的数量积定义可知:,例 1,已知 a = i + j，,b = i + k，,求a b,及 ab .,解,由公式可得,且与 a 垂直，,因为它在 x y 坐标面上，,向量 a = 4i + 3j + 7k垂直,例 3,求在 x y 坐标面上与,的单位向量.,解,设所求的向量为 b = x , y , z .,所以 z = 0 .,又因为 b 是单位向量,所以,即有,解之得,故所求向量,正是 a 向量分别在 i， j，k 上的投影，,例 4,求 ai , aj 及 ak .,解,因为 i = 1 , 0 , 0 ,j = 0 , 1 , 0 ，,k = 0 , 0 , 1，,所以,这就是说，向量 a 的坐标 ai，aj ，ak,为简便起见，今后我们常称它们依次是 a 在 x，y，z 轴上的投影.,它的正方向由右手法则确定，,定义 3,设有两向量 a，b ，若向量 c 满足:,(2) c 垂直于 a，b 所确定的平面，,则称向量 c 为 a 与 b 的向量积，,记为 a b，即,c = a b .,因此向量积也称为叉积.,二、两向量的向量积,由向量积的定义可知，,a b 的模等于以 a、b 为邻边的平行四边形面积.,向量积具有下列运算规律：,由向量积的定义可知:,(1) i j = k ，,j k = i ，,ki = j ;,(2) 两个非零向量 a ，b 互相平行的充分必要条件是 ab = 0.,c = ab,a,b,当 a ，b 中至少有一个为零向量时，,事实上，,若a / b ，,或 ，,即有,因此 a b = 0.,当 a、b 为非零向量，,反之，,且 a b = 0 时，则,即 a / b .,我们规定零向量与任何向量平行.,这样，两个向量平行的充要条件是这两个向量的向量积为 0 .,由此可知:,利用向量积的运算规律有：,2 .向量积的坐标计算式,为了便于记忆， 我们借用行列式记号，,将上式表示为：,由于两个向量 a，b 平行的充要条件是 a b = 0，,因此，可将 a，b 平行的充要条件表示为:,当 bx，by，bz 全不为零时，有,我们约定相应的分子为零，例如:,当 bx，by，bz 中出现零时，,应理解为:,由公式得,解,例 5,求以 A(2, 2 , 0)，B(1, 0, 1 )，C (1, 1, 2 )为顶点的 ABC 的面积.,例 6,解,由向量积的定义可知 ABC 的面积,故 ABC 的面积,若 a b = c，则 c 同时垂直于a 和 b ，,例 7,求同时垂直于向量 和,解,由向量积的定义可知，,因此，与 ca b 平行的单位向量应