波函数、薛定谔方程.ppt

量子力学 建立于 1923 1927 年间，两个等价的理论 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程 .,薛定谔（Erwin Schrodinger，8871961）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法 .,19-3 波函数 薛定谔方程,1、自由粒子的波函数,设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动 （设沿X轴），其动量、能量保持恒定。,恒定！,恒定！,从波动观点看来：这种波只能是单色平面波,一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。,其波函数为：,依德布罗 意关系式,用指数形式表示：,单色平面简谐波波动方程为：,波函数：,注意：波函数一般要用复数表示！,其中波函数模的平方为：,波函数可写为：,二、波函数的统计铨释（波恩Born）, 代表什么？只有实践才是检验真 理的标准，看电子的单缝衍射：,1、大量电子的一次性行为：,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大，,大,小,波强度小，,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,2、一个粒子多次重复性行为,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大，,大,小,波强度小，,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,（1）概率密度,在 t 时刻粒子在某 r 处单位体积内出现的概率。,波函数 是描述粒子在空间某处概率分布的“概率振幅”简称概率幅。,概率幅模的平方,（2）概率：,代表 t 时刻 在 处单位体积中发现一个粒子的概率,t 时刻在 附近dV内发现粒子的概率为：,结论：2）波函数所描述的是处于相同条件下，大量 粒子的一次性行为和一个粒子多次性重复 性行为。,结论：3）波函数所代表的波是概率波。,在|2大的地方微观粒子出现多，|2小的地方粒子出现少；粒子按波的形式去分配粒子出现的概率。,例）求一个能量为E、动量为P的自由粒子的概率密度。,解：波函数,且与位置无关。在全空间粒子出现的概率一样,3、波函数的性质：,4) 满足归一化条件（Narmulisation）,（归一化条件）,因为粒子在全空间出现是必然事件,1) 单值 2) 有限 3) 连续,三、薛定谔方程：,薛定谔:波函数，能解很多好东西。若问这是为什么？ 谁也不知道！,1、自由粒子的 Schrding 方程,（非相对论条件下讨论，低速微粒）,适用条件 c，低速微观粒子,（1）式对 t 求导：,（1）式对 x 求二阶偏导数：,设有一作匀速直线运动的自由粒子沿 X 轴运动。,1）一维自由粒子的schrding方程,其波函数为：,自由粒子非相对论条件下总能量：,（4）、（5）式比较：,2）势场中的薛定谔方程,若粒子处在势场中，势能为U（x，t），总能量：,势场中的一维含时薛定谔方程,若为三维粒子，薛定谔方程为：,引入拉普拉斯算符,三维含时薛定谔方程：,3）定态薛定谔方程（重点）,（12）式代入方程,其解：,指数应是无量纲的数， 的单位是“焦尔秒”， 故E的单位只能是能量，实际上是粒子总能量E。,用分离变量法将波函数写为：,整 理,定态薛定谔方程,若定态薛定谔方程已解出为：,则粒子的波函数：,注意：1）定态波函数为一空间坐标函数 与一时间函数 的乘积。,2）对于定态，除能量 E 有确定值外，其几率 分布也不随时间变化。,2、薛定谔方程应用举例,1）一维势阱,对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想 反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受 到强烈的反射，跃出需无限大能量,许多情况，粒子束缚在一个很小空间（束缚态）。,此称无限深势阱,若是经典粒子，粒子如何运动？,E 可取任意值，且各处出现的概率一样,量子力学对粒子的分析：,粒子无法越过势阱故只须考虑0 x a区间的波函数：,粒子满足一维定态薛定谔方程：,令：,其解的形式：,由边界条件：,代入式（5）,由（7）式:,B=0,由（8）式:,代入式（5）,(a)波函数:,由归一化条件:,代入（10）、（11）式:,（定态波函数）,粒子出现 的概率：,（b）能量公式：,由式（3）、式（9）,结论：1）能量是量子化的，且无 0 值。,能量最小值：,波粒二象性的必然结果！,2）粒子在