微分方程的基本概念(45).ppt

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十一讲 微分方程的基本概念,第九章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.,在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系。,比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。,第一节 微分方程的基本概念,常微分方程,方程的阶数,线性方程、非线性方程,方程的解、通解、特解、所有解,初始条件（定解条件）,积分曲线（解的几何意义）,初值问题、初值问题的解,齐次方程、非齐次方程,常微分方程,含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。,未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。,未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。,常微分方程,偏微分方程,常微分方程的阶数,微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的,最高次数，称为微分方程的阶数。,一阶,二阶,一阶,线性方程、非线性方程,若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，,且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称,该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。,一阶,二阶,一阶,线性,线性,非线性,齐次方程、非齐次方程,在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。,自由项为零的方程，称为齐次方程。,自由项不为零的方程，称为非齐次方程。,一阶齐次线性方程,二阶非齐次线性方程,一阶非齐次非线性方程,微分方程的一般表示形式,方程的解、通解、特解、所有解,解,代入方程，得,初始条件（定解条件）,由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。,解,微分方程,初始条件,通解,特解,解,微分方程,初始条件,通解,特解,有何想法？,积分曲线（解的几何意义）,常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。,通解的图形是一族积分曲线。,特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。,例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,即求 s = s (t) .,解,解,求该曲线所满足的微分方程 .,例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,在求微分方程数值解时，往往需要研究解的存在性、唯一性和稳定性。,微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。,此时可求数值解,常微分方程的初等方法,介绍常微分方程的解法,分离变量法,常数变易法,积分因子法,变量代换法,降阶法,高阶线性常系数微分方程解法,特征值法,变量代换法,第二节 一阶微分方程,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,一、变量可分离方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为变量可分离的方程。,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：,其中C 为积分后出现的任意常数。,解,原方程即,对上式两边积分，得原方程的通解,解,对上式两边积分，得原方程的通解,