经验模态分解在点云数据处理中的应用

中图分类号：TP391论文编号：10006SY1406205硕 士 学 位 论 文经验模态分解在点云数据处理中的应用作者姓名 郭立新学科专业 计算机科学与技术指导教师 郝爱民 教授培养学院 计算机学院Empirical Mode Decomposition on Point Cloudsand Its ApplicationsA Dissertation Submitted for the Degree of MasterCandidate：Guo LixinSupervisor：Prof. Hao AiminSchool of Computer Science & EngineeringBeihang University, Beijing, China中图分类号：TP391论文编号：10006SY1406205硕 士 学 位 论 文经验模态分解在点云数据处理中的应用作者姓名 郭立新 申请学位级别 学术硕士指导教师姓名 郝爱民 职 称 教授学科专业 计算机应用技术 研究方向 计算几何与三维建模学习时间自 年 月 日 起 至 年 月 日 止论文提交日期 年 月 日 论文答辩日期 年 月 日学位授予单位 北京航空航天大学 学位授予日期 年 月 日关于学位论文的独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外，本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得北京航空航天大学或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。学位论文作者签名： 日期： 年 月 日学位论文使用授权书本人完全同意北京航空航天大学有权使用本学位论文（包括但不限于其印刷版和电子版），使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门（机构）送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。保密学位论文在解密后的使用授权同上。学位论文作者签名： 日期： 年 月 日指导教师签名： 日期： 年 月 日摘 要随着三维扫描设备的普及和扫描技术的快速发展，点云数据处理得到了国内外学者的广泛关注。经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)作为一种处理非线性、非稳定信号的方法在一维信号、二维图像、三维几何模型中得到了应用。但由于点云数据缺乏固有的拓扑连接关系，将EMD应用到点云数据处理中还存在诸多困难和挑战。针对这一现状，本文提出了处理点云数据的EMD算法。由于经典EMD算法不具有特征保持的性质，本文提出了显式和隐式的两种特征保持的点云EMD算法。本文主要工作成果和进展包括以下三个方面：1、点云EMD算法：本文将经典EMD算法推广到点云数据中，实现了点云数据的EMD算法。该算法以点云模型的拉普拉斯坐标与法向的内积作为输入信号，提取信号中的极值点，并将极值点作为插值点求解上下包络。由上下包络的得到的均值包络如果满足筛分的收敛条件即得到内蕴模态函数；否则，继续上述迭代过程。当分解出来的内蕴模态函数的个数达到指定的个数，停止点云EMD算法。此点云EMD算法可以将输入信号分解成若干个内蕴模态函数和余量；2、显式的特征保持点云EMD算法：经典的EMD算法不具有特征保持的性质，本文提出了一种显式的特征保持点云EMD算法。该算法以拉普拉斯坐标与法向的内积作为输入信号，提取信号中的极值点和点云数据的特征点，将特征点作为约束，由极值点进行插值计算输入信号的上下包络。用输入信号减去上下包络的均值得到内蕴模态函数和余量，同时迭代地将余量作为输入信号，得到若干个内蕴模态函数和余量；3、隐式的特征保持点云EMD算法：显式的特征保持需要提取点云数据的特征点，在提取特征点的过程中对噪声等信息比较敏感。为进一步实现特征保持的点云EMD，提出了以各向异性特征度量为指导的隐式特征保持EMD分解算法。该算法由张量投票矩阵定义了各向异性特征度量，以拉普拉斯坐标与法向的内积作为输入信号，提取信号中的极值点。在计算上下包络和均值包络的过程中以特征度量为指导，由输入信号减去上下包络的均值得到内蕴模态函数和余量，同时迭代的将余量作为输入信号，得到若干个内蕴模态函数和余量。通过以上三方面的研究，本文将经典EMD算法推广到点云数据中，并实现了显式和隐式的特征保持点云EMD算法，并将显式的特征保持点云EMD算法应用到点云数据的平滑与增强，将隐式的特征保持点云EMD算法应用到点云数据的平滑与增强、特征保持的点云去噪、一致性特征点检测。关键词： 经验模态分解，点云数据，数据平滑与增强，特征保持AbstractWith the popularization of 3D scanning equipment and the rapid development of scanning technology, point cloud data processing has received extensive attention. Empirical Mode Decomposition (EMD) has been applied in one-dimensional signals, two-dimensional images and three-dimensional geometric models However, there are a lot of difficulties and challenges for applying EMD on point cloud data for lacking of inherent topology information. In this paper, we present EMD on point cloud data. As the classical EMD algorithm has no feature preserving feature, this paper proposes two feature-preserving point cloud EMD algorithms, which are explicit and implicit, respectively. The main achievements and progress of this paper include the following three aspects:1. Point cloud EMD algorithm: This paper promotes classic EMD algorithm on point cloud data and achieves EMD algorithm on point cloud. The algorithm uses the inner product of Laplacian coordinates of the point cloud model and the points normal as the input signal, extracts the extreme points from the signal, and uses the extreme points as the interpolation points to solve the upper and lower envelopes. The mean envelope function of the upper and lower envelopes obtains an intrinsic modal function if the convergence condition of the filter is satisfied, otherwise it continues the iteration. When the number of intrinsic modal functions decomposed reaches the specified number, stop the point cloud EMD algorithm. This point cloud EMD algorithm can decompose the input signal into a finite number of intrinsic modal functions and residue;2. EMD algorithm on point cloud with explicit feature preservation: For classical EMD algorithm cant preserve feature, this paper implements the point cloud EMD algorithm with explicit feature preserving. The algorithm uses the inner product of Laplacian coordinates and the points normal as the input signal, extracts the extreme points of the signal and the feature points of the point cloud data, uses the feature points as constraints, and interpolates the upper and lower points of the input signal. The envelope function is obtained by subtracting the mean value of the upper and lower envelopes from the input signal to obtain the intrinsic modal function and the residue, and iteratively taking the residue as the input signal, thereby obtain a finite number of intrinsic modal functions and residue;3. EMD algorithm for point cloud with implicit feature preservation: EMD algorithm for point cloud with explicit feature preservation method needs to extract feature point from point cloud data, while the feature detection methods usually sensitive to noises. To further preserve the feature of the point cloud, EMD algorithm for point cloud with implicit feature preservation guided by structure measurement is proposed. The algorithm defines the anisotropic structure measurement based on the tensor voting matrix, takes the inner product of the Laplacian coordinate and the normal as the input signal, extracts the extreme points in the signal, and calculates the upper and lower envelopes and the mean envelope guided by structure measurement. The intrinsic modal functions and residue are obtained by subtracting the mean values of the upper and lower envelopes from the input signal, and iteratively takes the residue as the input signal; finally a finite number of intrinsic modal functions and residue can be obtained.Through the above studies, EMD algorithm is extended to point cloud, and the point cloud EMD algorithm with explicit and implicit feature preserving is realized. The intrinsic modal functions and residue of point cloud EMD algorithm based on explicit feature preserving are applied to smooth and enhance point cloud data. The point cloud EMD algorithm based on implicit feature preserving is applied to the smoothing and enhancement of point cloud data, feature point cloud denoising and consistent feature point detection. Key words: Empirical Mode Decomposition, Point Clouds, Smoothing and Enhancement, Feature Preserving目 录第一章绪论11.1选题背景与来源11.2研究意义11.3研究目标与内容21.4论文组织结构4第二章关键技术及研究现状62.1欧几里得空间中的EMD62.1.1经典一维信号EMD62.1.2EMD研究现状82.2三维几何数据中的EMD92.2.1三维模型信号转化为二维信号92.2.2直接计算三维EMD102.2.3三维模型信号转化为一维信号122.2.4三维几何数据的EMD总结122.3特征保持的EMD132.3.1三维模型特征保持132.3.2基于EMD的三维模型特征保持142.4本章小结16第三章点云EMD173.1输入信号的定义173.2点云EMD分解流程183.2.1极值点提取203.2.2上下包络的求解203.2.3筛选过程和EMD终止条件233.3点云模型的重建243.4本章小结24第四章显式特征保持的点云EMD254.1显式特征保持的点云EMD分解流程254.1.1点云特征点提取264.1.2极值点提取274.1.3上下包络的求解284.1.4EMD算法终止条件294.2算法应用314.2.1滤波器设计314.2.2点云数据的平滑324.2.3点云数据的增强344.3实验结果分析354.3.1与其他方法对比354.3.2参数设置与时间统计374.4本章小结38第五章隐式特征保持的点云EMD395.1点云特征度量的计算405.1.1点云数据的张量投票405.1.2投票分析415.2隐式特征保持的点云EMD分解流程435.2.1基于特征度量的上下包络求解445.2.2基于特征度量的均值包络求解455.3算法应用475.3.1点云数据的平滑与增强485.3.2特征保持的点云去噪505.3.3一致性特征点检测525.4实验结果分析535.4.1与其他方法对比535.4.2参数设置与时间统计545.5本章小结56总结与展望571论文工作总结572未来工作展望58参考文献60攻读硕士期间取得的学术成果65致 谢66图 目图 1 整体流程图3图 2 EMD算法的筛分过程7图 3 不同层次的IMF序列7图 4 头部MRI（引自文献14）8图 5 三维网格模型的EMD光滑处理流程（引自文献21）10图 6 基于EMD的网格曲面光滑算法（引自文献21）10图 7 Lion模型的EMD算法分解得到的IMF和余量信号（引自文献22）11图 8 Hu等人EMD算法的不同的三维曲面滤波比较（引自文献25）12图 9 三维模型的哈密顿回路（引自文献26）12图 10 边缘保持的多尺度分解光滑过程（引自文献44）15图 11 特征点提取（引自文献45）16图 12 EMD输入信号19图 13 信号的极大值与极小值21图 14 信号的上下包络22图 15 信号的中间包络22图 16 Armabillo模型的多尺度分解23图 17 点云特征点提取结果27图 18 Dragon模型的多尺度分解结果30图 19 八面体模型的显式特征保持的点云EMD31图 20 滤波器设计32图 21 dodecahandle和venubody点云模型的平滑结果33图 22 hand和tweety点云模型的平滑结果34图 23 Max Planck和dog模型的平滑和增强结果35图 24 立方体模型的对比结果36图 25 Fandisk模型的对比结果37图 26 显式和隐式特征保持的点云EMD算法说明39图 27 三维张量的分解表示41图 28 张量矩阵分解的三种不同的结构42图 29 张量投票的分析42图 30 不同模型的特征度量43图 31 隐式特征保持的点云EMD算法说明图47图 32 Gargo模型的平滑和增强结果49图 33 Man模型的平滑和增强结果49图 34 Armadillo模型的平滑和增强结果50图 35 两个简单模型的去噪50图 36 细节保持的去噪51图 37 不同模型的一致性特征点检测结果52图 38 本文立方体模型去噪结果与其他点云去噪方法对比54图 39 本文Fandisk模型去噪结果与其他点云去噪方法对比55表 目表 1 点云EMD19表 2 显式特征保持点云EMD26表 3 各模型参数设置及时间统计(s)37表 4 隐式特征保持点云EMD44表 5 各模型参数设置及时间统计(s)5571北京航空航天大学硕士学位论文第一章 绪论1.1 选题背景与来源本课题来源于国家自然科学基金重大项目“可交互人体器官数字模型及虚拟手术研究”。该项目主要围绕人体器官多尺度几何建模理论、人体器官物理与生理建模理论、手术虚拟仿真与手术评价理论三个基础科学问题展开。随着三维扫描设备的普及和扫描获取技术的快速发展，大规模散乱点云数据处理得到了国内外学者的广泛关注，并在工业设计、机械制造、文物复原与保护等领域发挥着日益重要的作用。爆发式增长的点云数据给我们带来了新的机遇和挑战，同时也迫切寻求新的点云数据分析和处理技术。在信号处理中，经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，简称EMD)作为一种有效信号分析方法被广泛应用于非线性、非静态信号处理中。EMD能够将原始数据逐级分解为不同时间尺度的内蕴模态函数(Intrinsic Mode Functions，简称IMFs)和一个单调光滑的余量。它摆脱了Fourier 分析、短时Fourier分析以及小波分析本质上对平稳信号处理方法的依赖，被认为是信号分析与处理领域的一个重大革新，在一维信号和二维图像分析与处理中得到了广泛的应用。因此，该项目需要设计点云数据的经验模态分解，为点云数据的多尺度几何建模等提供基础。1.2 研究意义EMD作为处理非线性、非平稳信号的一种有效工具，近年来在三角形网格处理中得到了关注，并成功应用于三角形网格的平滑与增强、特征提取与细节传递等网格处理中。但是将EMD直接应用到散乱点云数据中还存在诸多困难和挑战。首先，由扫描获取的点云数据不可避免的存在噪声、离群点、采样不均、数据缺失等问题。其次，相比于三角形网格，点云数据缺乏固有的拓扑连接关系，处于离散无序状态。再次，面对复杂、不规则的几何模型，特别是带有显著特征的点云数据，在EMD处理过程中如何保持模型固有的几何特征是EMD在点云数据处理中面临的重要困难。经典EMD算法没有保持特征的性质，使得现有EMD算法在图形图像处理中无法很好的保持数据自身的特征，为了实现特征保持的EMD算法，学者们提出了特征保持的EMD算法，这些特征保持的方法分为后处理的方式和基于显式特征点约束的方式，但是这些算法仍然没有从根本上实现三角形网格上特征保持的EMD。为了解决上述EMD不能直接应用到散乱点云数据和EMD算法不能保持特征的问题，本文首先将EMD算法推广到点云数据中，然后用两种方法实现了特征保持的点云数据的EMD算法：显式特征保持的点云EMD算法和隐式特征保持的点云EMD算法。显式特征保持的点云EMD算法通过显式提取特征点的方式，并将特征点作为约束应用在求解上下包络的过程中，实现了显式特征保持的点云EMD算法，并将显式特征保持的点云EMD算法应用到点云数据的平滑与增强中。隐式特征保持的点云EMD算法首先定义了点云数据的特征度量，然后将特征度量应用到求解上下包络和均值包络的过程中，实现了隐式特征保持的点云EMD算法，并将隐式特征保持的点云EMD算法应用到点云数据的平滑与增强、特征保持的点云去噪、一致性特征点提取中。通过将EMD推广到点云数据中，扩大了EMD在数字几何处理中的应用范围，丰富了点云数据的处理方法。1.3 研究目标与内容本文的研究目标是将EMD算法推广到点云数据中，实现显式和隐式的特征保持的点云EMD算法，基于显式特征保持的点云EMD算法实现点云数据的平滑和增强应用，并将隐式特征保持的点云EMD应用到点云数据的平滑与增强、特征保持的点云去噪、一致性特征点提取等应用中，为点云数据处理提供了新的数据处理方法。针对以上研究目标，本文的工作为经验模态分解在点云数据处理中的应用。研究内容主要包括如下三点：点云的EMD算法、显式特征保持的点云EMD算法、隐式特征保持的点云EMD算法。本文的整体流程图如图 1所示。1) 点云EMD：由于三维点云数据不可避免的存在噪声、离群点、采样不均、数据缺失等问题，将EMD直接应用到散乱点云数据中还存在诸多困难和挑战。本文将EMD推广到点云数据中。首先，将经典EMD算法推广到点云数据中，需要定义信号作为EMD算法的输入。本文采用点云数据的拉普拉斯坐标与法向的内积作为点云EMD算法的输入信号，此信号具有旋转不变性和平移不变性，能够用于点云模型的重建中。然后，基于输入信号，提取信号中的极值点，并将极值点作为插值点求解上下包络，由上下包络的平均值得到的均值包络如果满足筛选的收敛条件就获得内蕴模态函数，否则，继续迭代上述过程。当分解出来的内蕴模态函数的个数达到指定的个数，停止点云EMD算法。最后，为了更加方便观察不同应用的结果，给出了点云模型的重建方法。图 1 整体流程图2) 显式特征保持的点云EMD：以点云数据的拉普拉斯矩阵与法向的内积作为输入信号，实现显式特征保护的点云EMD算法。显式特征保持的经验模态分解是通过迭代的过程依次得到内蕴模态函数和余量。在每一次的迭代过程中，首先，计算输入信号的极值点和点云数据的特征点。然后，以特征点作为约束，由极值点进行插值计算输入信号的上下包络。最后，由输入信号减去上下包络的均值得到内蕴模态函数和余量，同时迭代的将余量作为输入信号。由显式特征保持的点云EMD算法分解出来的内蕴模态函数的余量的组合给出了算法的应用，本文基于滤波器的设计，给出了点云数据的平滑与增强的应用。3) 隐式特征保持的点云EMD：显式特征保持需要提取点云数据的特征点，在提取特征点的过程中对噪声等信息比较敏感，为进一步实现特征保持的点云EMD，提出了以各向异性特征度量为指导的隐式特征保持EMD分解算法，通过建立各向异性特征度量而不需要显式提取特征点，从根本上解决了EMD算法不能保持特征的局限。隐式特征保持的EMD与显式特征保持EMD都是通过迭代的过程依次得到内蕴模态函数和余量。在每一次的迭代过程中，不需要提取特征点，通过构建点云张量投票，利用投票张量矩阵得到特征度量，并应用于EMD上下包络的求解过程中，得到特征保持的EMD分解。基于隐式特征保持的点云EMD算法分解出来的内蕴模态函数和余量的组合给出了点云数据的平滑与增强、特征保持的点云去噪、一致性特征点检测的算法应用。1.4 论文组织结构本文分为五章，除本章绪论外，其他四章分别给出了相关关键技术以及研究现状的介绍，点云EMD算法，显式特征保持的点云EMD算法，隐式特征保持的点云EMD算法。上述内容简要介绍如下：第一章 绪论。本章主要介绍本文的课题背景及来源以及本文的研究意义；阐述论文工作的研究目标和主要研究内容；介绍论文全文的组织安排。第二章 关键技术及研究现状。本章首先介绍了欧几里得空间中的EMD算法，给出了经典一维EMD算法分解流程以及其在欧几里得空间中的研究现状；其次介绍了三维几何数据的EMD算法，目前三维几何数据的EMD算法是通过数据降维的方式实现的，包括将三维模型信号转化为二维信号和一维信号的方法，还可以直接将EMD算法应用到三维模型信号中；最后阐述了特征保持的EMD算法，包括基于EMD算法三维模型的特征保持的算法和其他三维模型特征保持的方法。第三章 点云EMD。本章将经典EMD推广到点云数据中，首先以拉普拉斯坐标与法向的内积作为输入信号，此信号具有旋转不变性和平移不变性，可以用于点云信号的重建；然后，介绍了点云EMD算法的分解流程，基于输入信号，提取信号中的极值点，并将极值点作为插值点求解上下包络，由上下包络的平均值得到的均值包络如果满足筛选的收敛条件就获得内蕴模态函数，否则，继续迭代上述过程。当分解出来的内蕴模态函数的个数达到指定的个数，停止点云EMD算法；最后，为了更加方便观察不同应用的结果，给出了点云模型的重建方法。第四章 显式特征保持的点云EMD。本章在第三章的点云EMD算法的基础上，实现了显式特征保持的点云EMD算法。本章算法通过显式提取特征点并将特征点作为约束应用到上下包络的求解中实现的。本章首先给出了显式特征保持的点云EMD算法的分解流程，基于输入信号，提取信号中的极值点和点云数据的特征点，将特征点作为约束，由极值点进行插值计算输入信号的上下包络。由输入信号减去上下包络的均值得到内蕴模态函数和余量，同时迭代的将余量作为输入信号，由此可以得到有限个内蕴模态函数和余量；然后，由显式特征保持的点云EMD算法分解出来的内蕴模态函数的余量的组合给出了算法的应用，本章基于滤波器的设计，给出了点云数据的平滑与增强的应用；最后，为了验证本章算法的有效性，给出了本章算法与现有特征保持的算法的对比结果与参数设置和时间统计情况。第五章 隐式特征保持的点云EMD。显式特征保持需要提取点云数据的特征点，在提取特征点的过程中对噪声等信息比较敏感，为进一步实现特征保持的点云EMD，提出了以各向异性特征度量为指导的隐式特征保持EMD分解算法，通过建立各向异性特征度量而不需要显式提取特征点，从根本上解决了EMD算法不能保持特征的局限。隐式特征保持的EMD与显式特征保持EMD都是通过迭代的过程依次得到内蕴模态函数和余量。本章首先介绍了由张量投票矩阵构造各向异性度量的方法；然后，以特征度量作为指导，详细介绍了隐式特征保持的点云EMD算法的分解流程，实现了基于特征度量的上下包络和均值包络的求解，实现了特征保持；接着，基于隐式特征保持的点云EMD算法分解出来的内蕴模态函数和余量的组合给出了点云数据的平滑与增强、特征保持的点云去噪、一致性特征点检测的算法应用；最后，为了验证本章算法的有效性，给出了本章算法与现有特征保持的算法的对比结果与参数设置和时间统计情况。第二章 关键技术及研究现状2.1 欧几里得空间中的EMDEMD算法最早由美国工程院院士Huang 等人 Huang N E, Shen Z, Long S R, et al. The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non-stationary Time Series Analysis. Proc. R. Soc. Lond. A 454, 903-995J. 1998, 454(1971):903-995提出，被用于一维非线性、非平稳信号的分析与处理。与傅里叶分析、短时傅里叶分析以及小波分析等传统时频分析方法不同，EMD是一种完全数据驱动的自适应分析方法，它通过迭代筛分过程将给定的信号分解为频率由高到低的内蕴模态函数和余量的形式，能够摆脱传统时频分析方法本质上对平稳数据处理方法的依赖，不再依赖具体的基函数。基于上述优势，EMD 已经在一维和二维欧式空间信号的分析和处理中得到了广泛的应用 Huang N E, Wu Z. A review on HilbertHuang transform: Method and its applications to geophysical studiesJ. Reviews of Geophysics, 2008, 46(2):1-23，如生物医学工程 Rutkowski T M, Mandic D P, Cichocki A, et al. EMD Approach to Multichannel EEG Data - The Amplitude and Phase Synchrony Analysis TechniqueM/ Advanced Intelligent Computing Theories and Applications. With Aspects of Theoretical and Methodological Issues. Springer Berlin Heidelberg, 2008:122-129、语言处理 Huang H, Pan J. Speech pitch determination based on Hilbert-Huang transformJ. Signal Processing, 2006, 86(4):792-803、图像融合 Yeh M H. The complex bidimensional empirical mode decompositionJ. Signal Processing, 2012, 92(2):523-541、图像压缩 Robb A. 2D empirical mode decompositions in the spirit of image compressionJ. Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, 2002, 4738(7):1-8及图像分析 Niang O, Thioune A, El Gueirea M C, et al. Partial differential equation-based approach for empirical mode decomposition: application on image analysis.J. IEEE Transactions on Image Processing, 2012, 21(9):3991-4001等。下面简要介绍和分析经典一维信号EMD1及其在欧几里得空间中的应用与发展。2.1.1 经典一维信号EMD经典一维信号EMD算法通过迭代筛分过程从输入信号中提取出内蕴模态函数(IMFs)，剩余的余量趋近于常量或者呈现单调趋势。每个IMF代表一个谐波函数的震荡模式，第一个IMF从输入信号g中按照以下算法进行提取：1) 计算输入信号g的所有局部极大值点和局部极小值点；2) 用三次样条插值方法对所有的局部极大值点插值得到上包络Envmin，同样地，对所有的布局极小值点插值得到下包络Envmax；3) 计算上下包络的均值包络m=(Envmin+Envmax)/2；4) 由输入信号和均值包络计算剩余信号h = g-m。如果h满足计算IMF结束的标准，h就被定义为第一个IMF，否则另g=h然后重复整个计算IMF的过程。第一个IMF表示为f1，r1=g-f1作为第一个信号余量。下一个IMF和信号余量以第一个信号余量为输入信号通过上述的算法进行提取，直至信号余量为一个常数或者趋于单调，如图 2所示，展示了EMD算法筛分的过程，其中(a)表示原始输入信号；(b)表示由局部极值点求解的上下包络及求得的均值包络；(c)表示原始信号与均值包络之差，如果此信号满足IMF结束的标准，就是第一个IMF信号曲线。图 2 EMD算法的筛分过程当信号余量为一个常数或者趋于单调时，停止上述的迭代筛分过程。此时原始信号g可以分解为如下的形式：g=k=1Jfk+rJ其中J表示IMF的数量，fk,k=1,2,J表示第k个IMF，rJ表示提取J个IMF后，对应的信号余量。首先被提取出来的IMF包含了精细尺度的细节信息，后续的IMF则反映了平滑后的特征，如图 3所示，展示了不同层次IMFs序列，从图中序列容易看出，由上到下，不同尺度IMF，所反映的几何细节信息由精细到平滑。图 3 不同层次的IMF序列由上面的介绍中，可以看出EMD算法的关键步骤局部极值点的定义，计算包络的插值方法以及IMF提取的收敛准则。2.1.2 EMD研究现状经典的一维EMD通过迭代的筛分操作得到所有的IMF分量和余量。筛分中通过对极值点进行三次样条插值求取上下包络，进而得到均值信号。为了提高算法的性能并减少噪声的影响，学者们试图通过诸如B样条 Chen Q, Huang N, Riemenschneider S, et al. A B-spline approach for empirical mode decompositionsJ. Advances in Computational Mathematics, 2006, 24(1):171-195、高次样条 Kopsinis Y, Mclaughlin S. Development of EMD-Based Denoising Methods Inspired by Wavelet ThresholdingJ. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(4):1351-1362等工具直接计算均值信号加以改进。在筛分过程中，边界处通常会出现虚假的振荡，产生较大的误差，而且这种误差会随着筛分过程的不断进行向内部数据传播，从而影响整个数据的分解。为此，国内外很多学者提出多种方法对边界进行处理 张郁山, 梁建文, 胡聿贤. 应用自回归模型处理EMD方法中的边界问题J. 自然科学进展, 2003, 13(10):1054-1059。EMD 分解出来的IMFs分量经常会出现模态混合现象，即某些IMFs 分量中会出现几种尺度的混合，影响EMD 的结果。为了消除这种现象，Wu等人 Wu Z, Huang N E, Chen X. The Multi-Dimensional Ensemble Empirical Mode Decomposition MethodJ. Advances in Adaptive Data Analysis, 2009, 01(03):339372提出了一种借助噪声的EEMD算法。此外，徐冠雷等人 徐冠雷, 王孝通, 徐晓刚, 等. 多分量到单分量可用EMD分解的条件及判据J. 自然科学进展, 2006, 16(10):1356-1360尝试建立分解准确性的评价标准以及EMD完善的数学理论。二维EMD中最简单的思路是直接将一维算法拓展到二维图像的行或者列中，它是一种伪二维的EMD Han Chunming, Guo Huadong, Wang Changlin, et al. A novel method to reduce speckle in SAR imagesJ. International Journal of Remote Sensing, 2002, 23(23):5095-5101。Nime等人 Nunes J C, Bouaoune Y, Delechelle E, et al. Image analysis by bidimensional empirical mode decompositionJ. Image & Vision Computing, 2003, 21(12):1019-1026首次提出了二维经验模态分解(Bi-dimensional Empirical Mode Decomposition，简称BEMD)的思想方法，给出了BEMD算法模型，并研究了 BEMD方法在图像纹理特征提取中的应用。BEMD算法利用数学形态学中的形态重建因子检测图像的极值点，并且利用径向基函数进行极值点插值，提出了一个二维筛分过程来进行纹理抽取，提取出图像的二维IMF。通过将原始图像自适应地分解为有限数量的子图像，可以将图像从高频到低频的各个细节清晰地分解出来，余量部分表示图像趋势。提取出来的IMF都具有当前图像中局部最高的空间振荡频率，也就是当前图像的纹理特征。现在大部分BEMD的应用都基于这篇文章的算法。图 4展示了头部MRI分解为三个子图像和一个余量的结果，结构由精细到粗糙。 图 4 头部MRI（引自文献14）为了在二维空间上获得更为准确的IMFs，研究者们提出了通过径向基函数插值、多元样条插值、基于Delaunay 三角化的三次多项式插值等曲面插值方法提取二维信号的包络曲面，将一维EMD 的思想推广到二维空间上 徐晓刚, 徐冠雷, 王孝通, 等. 经验模式分解(EMD)及其应用J. 电子学报, 2009, 37(3):581-585。为了提高算法的性能，Xu等人 Xu Y, Liu B, Liu J, et al. Two-dimensional empirical mode decomposition by finite elementsJ. Proceedings of the Royal Society A, 2006, 462(2074):3081-3096通过有限元和双三次样条插值直接计算均值曲面，避免了上下包络曲面的求解。国内方面，刘忠轩等人 刘忠轩, 彭思龙. 方向EMD分解与其在纹理分割中的应用J. 中国科学:技术科学, 2005, 35(2):113-123提出先确定分解方向，再进行行列分解的方向EMD 方法。徐冠雷等人 徐冠雷, 王孝通, 徐晓刚, 等. 基于限邻域EMD的图像增强J. 电子学报, 2006, 34(9):1635-1639提出了限邻域EMD方法，能够克服分解过程中由于图像区域点灰度值的剧烈变换等因素引起的灰度斑现象。目前，EMD也被扩展应用到高维信号的处理中，如规则的体数据中。EMD在高维信号中的应用，难点在于选取极值点后上下包络的计算。受数据降维的启发，在流体模拟中Gao等人 Gao Y, Li C F, Ren B, et al. View-Dependent Multiscale Fluid SimulationJ. IEEE Transactions on Visualization & Computer Graphics, 2013, 19(2):178-188和Ren等人 Ren B, Li C F, Lin M C, et al. Flow Field Modulation.J. IEEE Transactions on Visualization & C