数学实验简明教程东南大学数学系.ppt

数学实验简明教程,东南大学数学系,2009.10,MATLAB入门,,前 言 第1章 初识MATLAB 1.1 MATLAB界面 1.2 简单的计算与图形功能 第2章 矩阵及其基本运算 2.1 矩阵的输入与生成 2.2 矩阵运算 第3章 线性方程组 3.1 求线性方程的唯一解或特解 3.2 求线性方程的通解 第4章 二维绘图和三维绘图 4.1 二维图形的绘制 4.2 三维图形的绘制 附 录 实验报告模板,前 言,MATLAB: 美国MathWorks公司,20世纪80年代中期,优秀的数值计算/符号计算能力 卓越的数据可视化能力,在欧美等高校，MATLAB已经成为 线性代数/自动控制理论/概率论及数理统计/ 数字信号处理/时间序列分析/动态系统仿真 等高级课程的基本教学工具， 是攻读学位的 大学生/硕士生/博士生 必须掌握的基本技能。,前言,有高性能数值计算的高级算法，特别适合矩阵代数领域； 有大量事先定义的数学函数和很强的用户自定义函数的能力； 有强大的绘图功能； 具有教育/科学和艺术学的图解和可视化的二维/三维图； 基于HTML的完整的帮助功能； 适合个人应用的强有力的面向矩阵(向量)的高级程序设计语言； 与其它语言编写的程序结合和输入输出格式化数据的能力； 有在多个应用领域解决难题的工具箱。,MATLAB的主要特点是：,前言,提供了使用MATLAB的入门指导， 基于MATLAB7.0.4版， 内容较浅， 针对大一的几何与代数的课程需要， 对一些基本命令的格式作了简单的说明， 并配备了例题说明其用法， 安排了两个实验报告模板， 对于初学者自学是有帮助的。,关于本教程：,前言,1 李继成: 数学实验, 高等教育出版社, 2006年10月, 第1版. 2 罗建军: MATLAB教程, 电子工业出版社, 2005年7月, 第1版. 3 徐金明等: MATLAB实用教程, 清华大学出版社， 2005年7月, 第1版. 4 张圣勤: MATLAB7.0实用教程, 机械工业出版社, 2006年7月, 第1版.,需要了解MATLAB的更多内容的读者可 以使用MATLAB软件自带的帮助系统，也可 以参考有关书籍，如,第一章 初识MATLAB,1.1 MATLAB界面,一. 安装MATLAB7.0.4,和安装大多数软件一样， 把MATLAB7.0.4安装盘插入光驱， 它就会自动启动安装程序， 用户可根据安装程序的提示和个人需要 顺利地完成MATLAB7.0.4的安装。 这里假定用户的硬件和软件系统是符合 MATLAB7.0.4的安装需求的。,第一章 初识MATLAB,1.1 MATLAB界面,二. 打开MATLAB,桌面快捷按钮,开始菜单,第一章 初识MATLAB,1.1 MATLAB界面,三. MATLAB7.0.4界面,标题栏,菜单栏,工具栏,当前路径窗口,命令历史记录窗口,命令窗口,第一章 初识MATLAB,1.1 MATLAB界面,四. 获取帮助,第一章 初识MATLAB,1.1 MATLAB界面,五. 自由探索,如果不小心关闭了当前路径窗口、命令历史记录 窗口或命令窗口,第一章 初识MATLAB,1.2 简单的计算与图形功能,1.2 简单的计算与图形功能,一. 大材小用,1.3692+sin(7/10*pi)*sqrt(26.48)/2.9,ans = 3.3097 ,第一章 初识MATLAB,1.2 简单的计算与图形功能,0.5-0.42-0.08,ans = 1.3878e-017 ,0.5-0.08-0.42,ans = 0 ,0.5-sym(0.42)-0.08,ans = 0 ,sym(0.5-0.42-0.08),ans = 2(-56) ,第一章 初识MATLAB,1.2 简单的计算与图形功能,二. 打开简单的图形窗口,funtool,第二章 矩阵及其基本运算,2.1 矩阵的输入与生成,一. 实数值矩阵的输入,a = 1, 2, 3 %输入完这一行,按回车键,a = 1 2 3 ,X_Data=2.3 3.4; 4.3 5.9 %2阶方阵,X_Data = 2.3000 3.4000 4.3000 5.9000 ,clear %清除以上输入的变量,clc,Matrix_B = 1 2 3;,Matrix_B = 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ,2 3 4; 3 4 5,1 2；3 4,? 1 2；3 4 | Error: The input character is not valid,第二章 矩阵及其基本运算,2.1 矩阵的输入与生成,二. 特殊矩阵的生成,C = zeros(2) %生成22全零阵,B = zeros(2,3) %生成23全零阵,B = 0 0 0 0 0 0 ,C = 0 0 0 0 ,a = 1 2 3,a = 1 2 3 ,C = zeros(size(a) %与a同类型的全零阵,C = 0 0 0 ,第二章 矩阵及其基本运算,2.1 矩阵的输入与生成,二. 特殊矩阵的生成,第二章 矩阵及其基本运算,2.1 矩阵的输入与生成,和前面生成全零矩阵的方法类似,我们可以用函数ones生成全1矩阵.,格式:,Y=ones(n) %生成nn全1阵,Y=ones(m,n) %生成mn全1阵,Y=ones(size(A)%生成与A相同大小的全1阵,此外, 我们还可以用函数eye生成单位矩阵.,第二章 矩阵及其基本运算,2.1 矩阵的输入与生成,eye(2) %生成22的单位阵,eye(size(A) %生成与A同阶的单位阵,? Undefined function or variable A. ,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,2.2 矩阵运算,一. 加、减运算(+，-),A=1,2;3,4;B=5,6;7,8;C=A+B,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, A=1,2;3,4,B=5,6;7,8,D=A-B, A=1,2;3,4,B=5,6;7,8,D=A-B A = 1 2 3 4 B = 5 6 7 8 D = -4 -4 -4 -4,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,二. 乘法(*), 1,2;-1,0*1,2,3;4,5,6 %两个矩阵的乘积, 1,2;-1,0*1,2,3;4,5,6 %两个矩阵的乘积 ans = 9 12 15 -13 -2 -3 , 1,2;-1,0*1,2,3;4,5,6 %两个矩阵的乘积 ans = 9 12 15 -13 -2 -3 A=1,2;-1,0;B=1,2,3;4,5,6;C=A*B, 1,2;-1,0*1,2,3;4,5,6 %两个矩阵的乘积 ans = 9 12 15 -13 -2 -3 A=1,2;-1,0;B=1,2,3;4,5,6;C=A*B C = 9 12 15 -13 -2 -3,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, A=1,2,3;4,5,6;B=-2*A %矩阵的数乘, A=1,2,3;4,5,6;B=-2*A %矩阵的数乘 B = -2 -4 -6 -8 -10 -12 , A=1,2,3;4,5,6;B=-2*A %矩阵的数乘 B = -2 -4 -6 -8 -10 -12 A=1,2,3;4,5,6;C=A*(-2) %矩阵的数乘, A=1,2,3;4,5,6;B=-2*A %矩阵的数乘 B = -2 -4 -6 -8 -10 -12 A=1,2,3;4,5,6;C=A*(-2) %矩阵的数乘 C = -2 -4 -6 -8 -10 -12,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, a=1,2;b=3,4;d_1=dot(a,b) %向量的点积, a=1,2;b=3,4;d_1=dot(a,b) %向量的点积 d_1 = 11 , a=1,2;b=3,4;d_1=dot(a,b) %向量的点积 d_1 = 11 c=3;4;d_2=dot(a,c),d_3=a*c, a=1,2;b=3,4;d_1=dot(a,b) %向量的点积 d_1 = 11 c=3;4;d_2=dot(a,c),d_3=a*c d_2 = 11 d_3= 11,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, a=1,0,-1;b=0,1,2; , a=1,0,-1;b=0,1,2; c_1=cross(a,b) %向量的叉积, a=1,0,-1;b=0,1,2; c_1=cross(a,b) %向量的叉积 c_1 = 1 -2 1 , a=1,0,-1;b=0,1,2; c_1=cross(a,b) %向量的叉积 c_1 = 1 -2 1 c_2=cross(b,a), a=1,0,-1;b=0,1,2; c_1=cross(a,b) %向量的叉积 c_1 = 1 -2 1 c_2=cross(b,a) c_2 = -1 2 -1 ,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, a=1,0,-1;b=0,1,2;c=1,1,0; , a=1,0,-1;b=0,1,2;c=1,1,0; d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积, a=1,0,-1;b=0,1,2;c=1,1,0; d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1 , a=1,0,-1;b=0,1,2;c=1,1,0; d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1 d_2=dot(a,cross(b,c), a=1,0,-1;b=0,1,2;c=1,1,0; d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1 d_2=dot(a,cross(b,c) d_2 = -1 , a=1,0,-1;b=0,1,2;c=1,1,0; d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1 d_2=dot(a,cross(b,c) d_2 = -1 d_3=dot(cross(c,a),b),第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, A=1,2;0,1;B=3,2,1;1,2,3;C=-2,1; ,三. 除法(左除, 右除/), A=1,2;0,1;B=3,2,1;1,2,3;C=-2,1; X_1=AB %AX=B的解, X=A-1B, B左除以A, A=1,2;0,1;B=3,2,1;1,2,3;C=-2,1; X_1=AB %AX=B的解, X=A-1B, B左除以A X_1 = 1 -2 -5 1 2 3 , A=1,2;0,1;B=3,2,1;1,2,3;C=-2,1; X_1=AB %AX=B的解, X=A-1B, B左除以A X_1 = 1 -2 -5 1 2 3 X_2=C/A %XA=B的解, X=BA-1, B右除以A, A=1,2;0,1;B=3,2,1;1,2,3;C=-2,1; X_1=AB %AX=B的解, X=A-1B, B左除以A X_1 = 1 -2 -5 1 2 3 X_2=B/A %XA=B的解, X=BA-1, B右除以A X_2 = -2 5,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, A=1,2;2,1;B=A10 %乘方,四. 方阵的乘方(), A=1,2;2,1;B=A10 %乘方 B = 29525 29524 29524 29525 , A=1,2;2,1;B=A10 %乘方 B = 29525 29524 29524 29525 C=1,2;2,1(-2) %相当于inv(A2), A=1,2;2,1;B=A10 %乘方 B = 29525 29524 29524 29525 C=1,2;2,1(-2) %相当于inv(A2) C = 0.5556 -0.4444 -0.4444 0.5556,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,五. 矩阵的转置(), A=1,2;3,4;5,6,B=A %B为A的转置, A=1,2;3,4;5,6,B=A %B为A的转置 A = 1 2 3 4 5 6 B = 1 3 5 2 4 6,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, A=1,2+i;3-2i,4;5,6+5i,B=A %B为A的共轭转置, A=1,2+i;3-2i,4;5,6+5i,B=A %B为A的共轭转置 A = 1.0000 2.0000+1.0000i 3.0000-2.0000i 4.0000 5.0000 6.0000+5.0000i B = 1.0000 3.0000+2.0000i 5.0000 2.0000-1.0000i 4.0000 6.0000-5.0000i , A=1,2+i;3-2i,4;5,6+5i,B=A. %B为A的转置, A=1,2+i;3-2i,4;5,6+5i,B=A. %B为A的转置 A = 1.0000 2.0000+1.0000i 3.0000-2.0000i 4.0000 5.0000 6.0000+5.0000i B = 1.0000 3.0000-2.0000i 5.0000 2.0000+1.0000i 4.0000 6.0000+5.0000i ,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,六. 方阵的行列式(det), det(1,2;3,4) %行列式, det(1,2;3,4) %行列式 ans = -2 , det(1,2;3,4) %行列式 ans = -2 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;D=det(A), det(1,2;3,4) %行列式 ans = -2 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;D=det(A) D = 0,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,七. 逆矩阵(inv), inv(1,2;3,4) %逆矩阵, inv(1,2;3,4) %逆矩阵 ans = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 ,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算, A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;B=inv(A),注意: 若A的行列式的值为0,则MATLAB在执 行inv(A)这个命令时会给出警告信息。 例如, A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;B=inv(A) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.203039e-018. B = 1.0e+016 * 0.3152 -0.6304 0.3152 -0.6304 1.2609 -0.6304 0.3152 -0.6304 0.3152 ,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,也可以用初等变换的方法来求逆矩阵。例如:, A=1,2;3,4; , A=1,2;3,4; B=1,2,1,0;3,4,0,1; %这是A的增广矩阵 , A=1,2;3,4; B=1,2,1,0;3,4,0,1; %这是A的增广矩阵 C=rref(B); %用矩阵的初等行变换把B化为行最简形 , A=1,2;3,4; B=1,2,1,0;3,4,0,1; %这是A的增广矩阵 C=rref(B); %用矩阵的初等行变换把B化为行最简形 C,X=C(:,3:4) %输出C和X,其中X为A的逆, 即C的3-4列, A=1,2;3,4; B=1,2,1,0;3,4,0,1; %这是A的增广矩阵 C=rref(B); %用矩阵的初等行变换把B化为行最简形 C,X=C(:,3:4) %输出C和X,其中X为A的逆, 即C的3-4列 C = 1.0000 0 -2.0000 1.0000 0 1.0000 1.5000 -0.5000 X = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,用format rat命令可以使输出格式为分数格式。 例如：, A=2 1 -1;2 1 2;1 -1 1; , A=2 1 -1;2 1 2;1 -1 1; format rat %用分数格式输出 , A=2 1 -1;2 1 2;1 -1 1; format rat %用分数格式输出 B=inv(A) %求A的逆矩阵, A=2 1 -1;2 1 2;1 -1 1; format rat %用分数格式输出 B=inv(A) %求A的逆矩阵 B = 1/3 0 1/3 0 1/3 -2/3 -1/3 1/3 0 ,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,八. 方阵的迹(trace), trace(1,2;3,4) %迹, 主对角线元素之和, trace(1,2;3,4) %迹, 主对角线元素之和 ans = 5,第二章 矩阵及其基本运算,2.2 矩阵运算,九. 矩阵的秩(rank), A=2,1,-1,0;0,1,1,-3;2,2,0,-3,r=rank(A), A=2,1,-1,0;0,1,1,-3;2,2,0,-3,r=rank(A) A = 2 1 -1 0 0 1 1 -3 2 2 0 -3 r = 2,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,一. 用克拉默法则,例3.1.1. 求方程组,的解.,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解, a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1;, a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4,a_5); D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_1,a_2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b);, a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4,a_5); D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_1,a_2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_5=D_5/D;, a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4,a_5); D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_1,a_2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_5=D_5/D; format rat,X=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5, a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5); D_1=det(b,a_2,a_3,a_4,a_5); D_2=det(a_1,b,a_3,a_4,a_5); D_3=det(a_1,a_2,b,a_4,a_5); D_4=det(a_1,a_2,a_3,b,a_5); D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x_5=D_5/D; format rat,X=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1;, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; A=a_1,a_2,a_3,a_4,a_5;D=det(A);, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; A=a_1,a_2,a_3,a_4,a_5;D=det(A); X=; %空矩阵, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; A=a_1,a_2,a_3,a_4,a_5;D=det(A); X=; %空矩阵 for i=1:5 A=a_1,a_2,a_3,a_4,a_5; A(:,i)=b;X=X,det(A)/D; i=i+1; end, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; A=a_1,a_2,a_3,a_4,a_5;D=det(A); X=; %空矩阵 for i=1:5 A=a_1,a_2,a_3,a_4,a_5; A(:,i)=b;X=X,det(A)/D; i=i+1; end format rat,X, %我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0; a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1; a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1; A=a_1,a_2,a_3,a_4,a_5;D=det(A); X=; %空矩阵 for i=1:5 A=a_1,a_2,a_3,a_4,a_5; A(:,i)=b;X=X,det(A)/D; i=i+1; end format rat,X X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,二. 用矩阵除法, %把该方程组记为AX=b，则X=Ab A=5,6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1;format rat,X=Ab, %把该方程组记为AX=b，则X=Ab A=5,6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1;format rat,X=Ab X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,三. 用矩阵的初等变换, A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵, A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵 format rat, A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵 format rat C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形, A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵 format rat C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 X=C(:,6) %取C的最后一列, A=5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5; b=1;0;0;0;1; B=A,b; %增广矩阵 format rat C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 X=C(:,6) %取C的最后一列 X = 911/402 -229/133 37/35 -79/133 95/298,思考: 为什么与前一种 方法所得到的结 果不一样?,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解,例3.1.2. 求方程组,的一个特解.,解: 先用MATLAB把该方程组的增广矩阵,化为行最简形,第三章 线性方程组,3.1 求线性方程组的唯一解或特解, A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; b=1;4;0; B=A,b; %增广矩阵 C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形,从中可以看出该方程组有无数多解，而且 X=1.25, 0.25,0,0T 就是该方程组的一个特解., A=1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8; b=1;4;0; B=A,b; %增广矩阵 C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 C = 1.0000 0 0 0.7500 1.2500 0 1.0000 0 -1.7500 -0.2500 0 0 1.0000 0 0,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,3.2 求线性方程组的通解,一. 求齐次线性方程组的通解,例3.2.1. 求方程组,的通解.,解: 先用函数null求系数矩阵,的零空间的一组基:,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解, A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 B=null(A) %求A的零空间的标准正交基, A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 B=null(A) %求A的零空间的标准正交基 B = 0.7177 -0.0286 -0.6084 0.2725 0.0857 -0.6241 0.3277 0.7317, A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 C=null(A,r) %求A的零空间的基, A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 C=null(A,r) %求A的零空间的基 C = 2.0000 1.6667 -2.0000 -1.3333 1.0000 0 0 1.0000, A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 format rat, D=null(A,r), A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3; %系数矩阵 format rat, D=null(A,r) D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1,再写出该方程组的通解:,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 sym k1 k2 %说明k1,k2为符号变量,D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 sym k1 k2 %说明k1,k2为符号变量 X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2) %通解,D = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 sym k1 k2 %说明k1,k2为符号变量 X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2) %通解 X = 2*k1+5/3*k2 -2*k1-4/3*k2 k1 k2,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,X = 2*k1+5/3*k2 -2*k1-4/3*k2 k1 k2 , pretty(X) %让通解表达式更加精美 2 k1 + 5/3 k2 -2 k1 4/3 k2 k1 k2 ,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,二. 求非齐次线性方程组的通解,例3.2.2. 求解方程组,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解, A=1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2; %系数矩阵 b=1 2 3; , A=1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2; %系数矩阵 b=1 2 3; B=A b; %增广矩阵 , n=4; %未知量的个数 R_A=rank(A); %系数矩阵的秩 R_B=rank(B); %增广矩阵的秩 if R_A=R_B&R_A=n, X=Ab %这是有唯一解的情况 elseif R_A=R_B&R_An, C=rref(B) %这是有无穷多个解的情况 else X=Equation has no solves%无解的情况 end %MATLAB运行后得到如下结果 X = Equation has no solves,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,例3.2.3. 求方程组,的通解., A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0;B=A b;n=4; %未知量的个数 R_A=rank(A);R_B=rank(B);format rat if R_A=R_B&R_A=n,X=Ab %这是有唯一解的情况 elseif R_A=R_B&R_An,C=rref(B) %化B为行最简形 else X=Equation has no solves%无解的情况 end %MATLAB运行后得到如下结果,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解, A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0;B=A b;n=4; %未知量的个数 R_A=rank(A);R_B=rank(B);format rat if R_A=R_B&R_A=n,X=Ab %这是有唯一解的情况 elseif R_A=R_B&R_An,C=rref(B) %化B为行最简形 else X=Equation has no solves%无解的情况 end %MATLAB运行后得到如下结果 C = 1 0 -3/2 3/4 5/4 0 1 -3/2 -7/4 -1/4 0 0 0 0 0,可见原方程组有无数多组解，且,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,即,.,所以原方程组的通解为,其中k1, k2为任意实数.,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,.,edit %新建一个M文件,第三章 线性方程组,3.2 求线性方程组的通解,第四章 二维绘图和三维绘图,4.1 二维图形的绘制,一. 二维曲线的简捷绘制,例4.1.1. y = xcosx在区间4, 4上的图形.,解: 在MATLAB的命令窗口输入如下命令： ezplot(x*cos(x),-4*pi,4*pi) 运行后得：,4.1 二维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,4.1 二维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,例4.1.2. 椭圆,解: 在MATLAB的命令窗口输入如下命令： ezplot(x2/4+y2/5-1,-3,3,-4,4) 运行后得：,在区域3, 34, 4内的图形.,4.1 二维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,4.1 二维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,例4.1.3. 曲线,解: 在MATLAB的命令窗口输入如下命令:,在区间0, 内的图形.,ezplot(sin(3*t)*cos(t),sin(3*t)*sin(t),0,pi),运行后得:,4.1 二维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,4.1 二维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,二. 在同一个坐标系内绘制多条曲线,例4.1.4. 在同一个坐标系内画出,y = e0.1xsin2x 和 y = xcosx,在区间, 上的图形.,x=-pi:0.1:pi; %设置x的取值范围和取点间距 y1=exp(0.1*x).*sin(2*x);y2=x.*cos(x); %注意其中的.* plot(x,y1,* r,x,y2,o b) %两条曲线用不同的数据点形状和颜色,解: 在MATLAB的命令窗口输入如下命令:,4.1 二维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,运行后得:,4.1 二维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,命令格式: plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,),-(实线) :(虚线) -.(点划线) -(双划线),y(黄色) m(品红) c(青色) r(红色) g(绿色) b(蓝色) w(白色) k(黑色),.(实心点) o(圆圈) x(叉) +(十字) *(星号) s(方块) d(菱形) v(下三角) (上三角) (右三角) p(五角星) h(六角星),4.2 三维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,一. 三维曲线的绘制,例4.2.1. 三维螺线,解: (方法一) 在MATLAB的命令窗口输入如下命令:,t0, 4.,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,运行后得:, t=0:0.1:4*pi; %参数取值范围及间距 x=2*cos(t);y=2*sin(t);z=1.5*t; plot3(x,y,z),xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z),第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,(方法二) 在MATLAB的命令窗口输入如下命令:,ezplot3(2*cos(t),2*sin(t),1.5*t,0,4*pi),运行后得:,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,二. 三维网线图与表面图的绘制,命令格式： mesh(x,y,z) %绘制三维网线图 surf(x,y,z) %绘制三维表面图 也可以在调用命令时增加可选参数来 改变图形的颜色和线型. 还可以用简捷的绘制命令ezmesh与 ezsurf绘制三维网线图与表面图.,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,例4.2.2. 曲面z = sin(xy)在区域2, 22, 2 上的图形.,解: 在MATLAB的命令窗口输入如下命令:,运行后得:,x = -2:0.1:2; y = -2:0.1:2; %设置x的取值范围和取点间距,X,Y=meshgrid(x,y); %用x和y产生“格点”矩阵 Z = sin(X.*Y); %计算“格点”矩阵的每个“格点”上的函数值 mesh(X,Y,Z) %绘制网线图,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,网线图,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,如果将上面的mesh(X,Y,Z)换成surf(X,Y,Z), 则运行后得:,表面图,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,例4.2.3. 曲面,解: 在MATLAB的命令窗口输入如下命令:,的图形.,ezsurf(x*exp(-x2-y2),运行后得:,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,三. 特殊曲面的绘制,对于空间曲面 F(x, y, z) = 0， 我们通常采用平行截面法来认识该曲面的特性. 即用平行于坐标面的平面去“截”该曲面, 通过研究交线的性质来充分认识曲面的性质.,例4.2.4. 绘制马鞍面z = x2 y2的图形, 并用 平行截面法观察马鞍面的特点.,解: 在MATLAB的命令窗口输入如下命令:,edit %新建一个M文件,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,或者点击MATLAB的菜单栏的“file”按钮, 并从弹出的菜单中选择“new”, 然后从其子 菜单中选择“M-File., ,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,还可以直接点击MATLAB的工具栏的“”按 钮, 新建一个M文件.,MATLAB会弹出一个M文件编辑器 .,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,在M文件中输入如下命令:,x = -4:0.1:4; y = x; %设置x的取值范围和取点间距 X,Y=meshgrid(x,y); %用x和y产生“格点”矩阵 Z = X.2-Y.2; %计算“格点”矩阵的每个“格点”上的函数值 ix = find(X=2); %找到x坐标=2的点的位置 px = 2*ones(1,length(ix); %“截痕”上的点的x坐标 py = Y(ix); %“截痕”上的点的y坐标 pz = Z(ix); %“截痕”上的点的z坐标 subplot(1,2,1) %把图形窗口分成1行2列,在第1块里建坐标系 hold on %保留当前的绘图和确定轴的性质 mesh(X,Y,Z) %绘制网线图 plot3(px,py,pz,r *) %用红色的星号绘制截痕曲线 subplot(1,2,2) %在第2个块里建立起坐标系 plot3(px,py,pz) %在第2个块里绘制“截痕”曲线,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,保存M文件,默认的路径,默认的文件名,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,运行M文件,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,从该马鞍面的正上方俯视的效果,三维旋转工具,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,第四章 二维绘图和三维绘图,4.2 三维图形的绘制,四. 精细绘制特殊的曲面,例4.2.5. 绘制旋转抛物面z = x2 + y2