无穷小量与无穷大量(1).ppt

第七节 无穷小量与无穷大量,一.无穷小量,1.定义,如果在某变化过程中,变量,的,极限为零,则称,为无穷小量.,注,(1)七种变化过程、数列及一般函数,都成立.,(2)谈无穷小量时指明自变量变化过程.,(3)区分无穷小量与一个非常小的数.,(4),是无穷小量.,(5)精确性定义.,2.性质,定理2.17,证,必要性,而,所以,故,为无穷小量,记为,则,充分性,由,得,由,此性质是把极限和无穷小量,联系起来的一个性质,如有涉及,极限与无穷小量的证明题，,先想到这个性质.,郑重声明,应首,定理2.18,有限个无穷小量的和、差、积为,注,(1)本性质只对有限个无穷小量成立.,(2)本性质无穷小量的商不成立.,例,无穷小量.,例:,乘积,定理2.19,无穷小量与有界变量的乘积为,证,设,则对,总成立,此时,无穷小量.,定理2.19,无穷小量与有界变量的乘积为,无穷小量.,另证,设,所以,从而,故,即,为无穷小量.,推论,常数与无穷小量的乘积为无穷小量.,例1,求,解,因为,所以,注,二.无穷小量的比较,定义,设在某一过程中,都是无穷小量,(1),如果,则称,高阶的无穷小量.,记作:,(2),如果,则称,是同阶无穷小量.,特别地,当,时,称,是等价无穷小量.,记作:,(3),低阶的无穷小量.,如果,则称,如果,则称,(4),阶无穷小量.,的,注：并非任意两个无穷小量都可进行比较,例,时,与,都是无穷小量.,但,不存在,故二者不可进行比较,常见的等价无穷小:,时,在求极限的过程中,等价无穷小量,在乘除运算中可互相代换.,设,则,证,本性质只适合乘除,对加减失效.,例2,例3,求,解,原式,原式,例4,求,解,原式,例5,已知,时,是等价无穷小,求常数,解,由题设有,又,故,(05年考研真题4分),极限,解,(04年考研真题4分),若,则,解,因,故,从而,定理2.20,证,必要性,所以,则,设,是等价无穷小量,所以,充分性,由,所以,设,是等价无穷小量.,故,例6,求,解,原式,三.无穷大量,定义,如果在某变化过程中,变量,的绝对值,无限增大,则称在该,变量,变化过程中,为无穷大量.,注,(1)七种变化过程、数列及一般函数,都成立.,(2)谈无穷大量时指明自变量变化过程.,(3)区分无穷大量与一个非常大的数.,(4)精确性定义.,定义,如果在某变化过程中,变量,无限,则称在该,变化过程中变量,为正无穷大量.,增大,定义,如果在某变化过程中,变量,则称在该变化过程中变量,无穷大量.,且绝对值无限增大,取负值,为负,复习基本初等函数,找出特殊无穷大量、,注,正无穷大量、负无穷大量.,定义,无穷大量的定义,在自变量的某一变化过程中,例 7,解,例 8,例 9,无穷大量是否一定是无界量 ?,在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?,但该数列是无界的.,不是无穷大量,是无穷大量,例10,两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?,考察,例11,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,结论:,在某个极限过程中,无穷大量一定是无界变量, 反之不一定.,两个无穷大量的和不一定是无穷大量.,无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.,四.无穷大量的比较,定义,设在某一过程中,都是无穷大量,(1),如果,则称,低阶的无穷大量.,(2),如果,则称,是同阶无穷大量.,特别地,当,时,称,是等价无穷大量.,(3),如果,则称,高阶的无穷大量.,是无穷大量?,为什么,五.无穷小量与无穷大量的关系,(1),如果变量,是无穷大量,则,是无穷小量.,(2),如果变量,是