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6.4 无穷区间上的反常积分简介,6.4.1 无穷区间上的反常积分的概念,6.4.2 无穷区间上反常积分计算举例,例 1 求由曲线 y = e-x，,y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积.,解 这是一个开口曲边梯形，,为求其面积，任取 b 0, + )，,在有限区间 0, b 上，,以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为,b,开口曲边梯形的面积,一、无穷区间上的广义积分,即,当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，,定义 1 设函数 f (x) 在 a, + )上连续，,取实数 b a，,如果极限,则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间a, + ) 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,存在，,否则称广义积分发散.,定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b 上连续，,取实数 a b，,如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b 上的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,存在，,否则称广义积分发散.,定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续，,且对任意实数 c，,如果广义积分,则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- , + ) 内的广义积分，,这时也称广义积分收敛，,记作,即,都收敛，,否则称广义积分发散.,若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记,则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为,例 2 求,解,例 3 判断,解,由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以广义积分发散 .,例 4 计算,解 用分部积分法，得,例 5 判断,解,故该积分发散.,例 6 证明反常积分,当 p 1 时，收敛；当 p 1 时，发散 .,证 p = 1 时，则,所以该反常积分发散.,当 p 1 时，,综合上述，,该反常积分收敛.,当 p 1 时，,该反常积分发散.,p 1 时，则,定义 4 设函数 f (x) 在区间 (a, b 上连续，,取 e 0 ，,如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b 上的反常积分，,这时也称反常积分收敛，,否则称反常积分发散.,且,记作,即,存在，,二、无界函数的广义积分,定义 5 设函数 f (x) 在区间 a, b) 上连续，,取 e 0 ，,如果极限,则称此极限值为函数 f (x) 在区间 a, b) 上的反常积分.,这时也称反常积分收敛，,否则称反常积分发散.,且,即,存在，,定义 6 设函数 f (x) 在 a, b上除点 c (a, b) 外连续，,如果下面两个反常积分,则称这两个反常积分之和为函数 f (x) 在区间 a, b 上的反常积分，,这时也称反常积分收敛，,否则，称反常积分发散.,记作,即,都收敛，,若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，,则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为,例 7 判断,解,故积分的收敛.,-,例
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