三阶非齐次常系数微分方程解的表达式.doc

教学单位学生学号本科毕业论文（设计）题目学生姓名专业名称指导教师年月日三阶非齐次常系数线性微分方程解的表达式胡青（111114110）（湖北工程学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000） 摘 要：利用常数变易法求解二阶常系数非齐次线性微分方程，这种方法被许多作者研究过。本文利用常数变易法求出了三阶非齐次常系数微分方程解的表达式，利用解的表达式，可以很方便地求出三阶非齐次常系数微分方程的解。 关键词：常数变易法；三阶；非齐次；常系数微分方程；解的表达式 The Solution of third-order Non-homogeneous OrdinaryDifferential Equation with Constant CoefficientHuQing (111114110)(HubeiEngineering College,Xiaogan,Hubei,432000) Abstract:Uses the method of constant variation to second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, this method by many authors studied. In this paper, the constant variation method is used to derive the third order nonhomogeneous the expressions of the constant coefficient differential equations, using the expression of the solution can be easily calculated third-order differential equation with constant . Key words: constant variation method; The third order. Non-homogeneous; Constant coefficient differential equations; Expression of solution1. 预备知识定义1.1：方程称为常系数齐次线性方程的特征方程。 特征方程的根称为特征根。引理1.2：二阶常系数非齐次线性微分方程 其对应齐次方程的特征方程为 （1）若特征方程有俩实根，则此微分方程的通解为 其中，于是通解又可表述上为 于是，若知道特征方程任一实根，都有通解为 （1）的形式。 （2）若特征方程有俩复根， a，b为实数，且b0，则此微分方程的通解为： （2）2. 主要结论及证明定理2.1：三阶非齐次常系数线性微分方程 （3） 若为（3）对应齐次方程的特征方程： 的 一实数根，再考虑方程（4） 根的情形，那么此微分方程的通解有如下情形： （1）若r为方程（4）的一个实根，则通解的表达式为 （2）若r为方程（4）的复根时，设，a，b为实 数，且b，此时通解表达式为: 证明： 方程（3）对应的齐次方程为： （5） 那么特征方程为： （6） 因（6）为一元三次方程，则其至少有一实根，那么设为其一实 根， 则 是（5）的一个解，那么用常数变易法，可设（3） 的解为，并代入（3）中可得： 因为为（5）的一个实根，所以， 那么有： 若将此方程看做是关于的二阶常系数非齐次线性微分方程，那 么其对应齐次方程的特征方程为： ， 下面讨论此方程根的情况： （1）.若r为其任一实根，则根据引理，由引理中二阶非齐次常系数 线性方程通解公式（1）知： 所以两边积分可得： 那么方程（3）的通解为： （2）若r为复根时，令，a，b为实数，且b， 则可由引理中二阶方程通解公式（2）知： 所以两边积分可得：所以方程（3）的通解为： 综上，定理得正。3.定理的应用定理中解的表达式运用起来十分方便，只需要算积分。下面举例说明。 例1：求方程的解。 解：对应齐次方程的特征方程为：， 易知其有三个相同的特征根， 方程即为， 其根为， 那么取，代入定理中的公式，可得通解为： 其中均为任意常数。 例2：求的解。 解：对应齐次方程的特征方程为 特征根分别为, 方程即,其根为 , 所以取，代入定理中的公式得： 其中，令，所以所求方程的通解为： ， 其中为任意常数。 参考文献1樊自安.二阶非齐次常系数微分方程解的表达式J.湘南学院学报,2009,05:11-12.2陈文胜常数变易法在二阶非齐次线性微分方程中的应用M中山大学学报论丛，20013王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松常微分方程M北京：高等教育出版社，20014吴檀.三阶常系数非齐次线性微分方程的通解J.北京科技大学学报,1994,02:195-199.5曹跃颖,吴海军,李彦庆.n阶常系数线性微分方程的通解公式J.工科数学,1996,03:156-158.6王瑀,杜佳,肖箭,周久红.关于求解高阶常系数线性微分方程的新公式J.合肥学院学报(自然科学版),2012,02:9-16.7宋燕.高阶常系数非齐次线性微分方程的解法J.高等数学研究,2012,03:22-23.8李开丁,汤燕斌,李莉.关于常系数非齐次线性微分方程通解的注释J.大学数学,2013,06:141-145.9张云艳.常系数非齐次线性微分方程的几个解法J.黄山学院学报,2004,03:8-9+11.10陈新明,胡新姣.常系数线性非齐次微分方程的简单解法J.大学数学,2008,03:156-159.致