微分中值定理“中值点”的确定.doc

吉首大学毕业论文设计微分中值定理“中值点”的确定* (吉首大学数学与计算机科学学院 ，湖南吉首，416000)摘要：讨论了微分中值定理中值点能被确定的几种函数类型，并通过拉格朗日中值定理，得到了初等函数的关于中值点的一些具体性质.关键词：微分中值定理；泰勒定理；拉格朗日中值定理；法则Diff Ascertainment Of Median Points In the Theory Of erential Median*(College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Hunan 416000)Abstract: Several functional models applied to ascertain median points in the theory of differential median are discussed. Moreover, some specific properties of median points of elementary functions are obtained by Lagranges median theory.Key words: The Theory Of Differential Median； Taylors Theory； Lagranges median theory； principle引言： 微分中值定理的使用越来越广泛，但是微分中值定理只肯定了中值点的存在性，而中值点的位置没有已有的定理给以解决，但它已越来越被重视并被研究.本文总结了已有的一些结论，探讨了微分中值定理中值点的性质，结合实例讨论了初等函数的关于中值点的确定问题，并在一些问题中进行了推广.另外本文还讨论了一些其他类型的微分中值定理中值点的渐进性质.一、预备定理：1、 泰勒定理1：若函数在上存在直至n阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的,至少存在一点，使得2、 拉格朗日中值定理1：若函数满足以下条件：在闭区间上连续； 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 3、 法则2： 设函数和在点的某邻域内（点除外）可导，且，并有 。如果极限存在（有限或无限），则 二、初等函数对应的微分中值定理中值点的确定定理1. 对任意的幂函数(n0), ，其中.若满足，其中，则 证明：对求导得： 由题意可知：两边同除以，得 两边开n-1次方，得 易得 证毕例13. 设，其中，其中.试求满足，（其中且）时的值.解： 是幂函数，且中的满足定理1的条件，可得 . 证毕推论1. 对任意的幂函数(n0), ，其中 若满足 ，其中， 则 .例2 .设，其中， 其中，试求满足，（其中且）时的值。解：是幂函数，且中的满足推论1的条件，可得 证毕定理2.对任意的指数函数，其中.若满足，其中，则 .证明：对的求导得由题意可知： 两边同除以，得 两边同除以，得 易得 两边同除以,得 证毕例3.设，试求满足，（其中且）时的值.解：是指数函数，且中的满足定理2的条件， 可得 定理3. 对任意的对数函数，.其中，若满足.其中，则 .证明：对求导得由题意可得： 易得 两边减后除以，得 . 证毕例4设，其中，试求满足，（且）时的值.解：是对数函数，且中的满足定理3的条件，可得 .定理4. 对任意三角函数， 若满足，其中，则 .证明：（1）对求导得 由题意可得 两边同除以，得 对的求反函数，得 易得 证毕例53设，试求满足，（其中且）时的值.解：是三角函数，且中的满足定理4的条件， 可得 证毕结论：对于三角函数也同理可以确定的位置.定理5. 对任意反三角函数函数, .其中且. 若满足 ,其中，则 .解： 对求导，得 , 根据题意可得 易得 两边减后除以，得 其中正负号的取法由及和符号及条件决定.例如：当时，根号前应取正号.证毕例6. 验证拉格朗日定理对于函数在区间上的正确性.解：只需找到，使得成立，即在中找出一点.使得 , 解得易得 因此取就符合拉格朗日定理的条件. 证毕结论：对于反三角函数，若满足，且，也同理可以确定的位置.总结：定理1，推论1到定理5，总结归纳出了对于任意幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数所对应的微分中值定理中值点的确定.对于以上函数，我们可以确定满足的函数，其中 .若是定值，就可以确定微分中值定理的中值点的位置.三、 复合函数对应的微分中值定理中值点的确定及渐进性例7 设，试求满足 的函数.解： 因为 ，两边同时除以，得 易得 两边同时除以得 证毕例85证明： 若，则（1），其中 ； （2）.证 ： （1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，存在，使 .由上式可得 于是 .（2） . . 证毕例96. 设函数，由拉格朗日中值定理，存在使得 ，即.证明： .证 ： 对求导可得： 对任意，函数在以与0为端点的区间上满足拉格朗日中值定理的条件，存在，使易得 根据L-Hospital法则，可得： 证毕四、 其它类型函数对应的微分中值定理中值点的渐近性例107. 若函数f在点二阶可导，且.对于拉格朗日中值公式， 中的有 证：由带佩亚诺余项的泰勒公式可得 （1） （2）由（1）（2）可得到 ， 由于.故上式得到 即 证毕例119 .设函数满足以下条件 （1）在内是阶连续可微函数；此处；（2）当时，有但是；（3）当时，有， （*）其中.证明： 证 ： 我们要设法从（*）式中解出，为此我们将（*）式左边的及右端的在处展开。注意条件（2），知使得 于是（*）式变成 ，从而 .因，利用的连续性，由此可得 证毕例1210 .设函数在点处有阶导数，且，其中，求 . 解 ： 因为在点处有阶导数，所以 ，于是，与已知条件比较，得 即 令，对上式两端取极限，得 由于，故 . 证毕结语：定理1，推论1至定理5，总结归纳出了对于任意幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数所对应的微分中值定理中值点的确定问题，并结合了一些实例讨论了初等函数的关于中值点的位置.由于水平有限，只指出了部分复合函数所对应的微分中值点的确定问题，并讨论了其中值点的渐近性质。其它类型的函数所对应的微分中值定理中值点的渐近性质.五、参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社，2002，120-1302吴良森.数学分析习题精解M.北京:科学出版社，2001，106-1283吉米多维奇.数学分析习题集题解M山东科学技术出版社，2001，238-2404裘兆泰，王承国，章仰文.数学分析学习指导M.北京:科学出版社，2001，131-1465李克典，马云苓.数学分析选讲M.厦门大学出版社，2005，191-1956裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.高等教育出版社，2006，251-3027赵显曾，黄安才.数学分析的方法与题解M.陕西师范大学出版社2005，169-2168华东师范大学数学系.数学分析习题详解（上）M.华中科技大学出版社，2005，175-1969白