数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用.docVIP

正定二次型的判断及应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。关键词：正定二次型 正定阵 顺序主子式 一、正定二次型的判断定理1、实二次型是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于 证明设实二次型经线形替换X=PY化为标准形 其中由于为可逆矩阵所以不全为零时也不全为零反之亦然. 如果是正定二次型那么当不全为零即不全为零时有 若有某个比方说则对这组不全为零的数代入式后得这与是正定二次型矛盾因此必有 即的正惯性指数等于如果的正惯性指数等于则于是当不全为零即当不全为零时式成立从而是正定型 定理2、实二次型是正定二次型的充要条件是对任何维实的非零列向量必有证明：由假设是正定二次型故存在实的非退化的线形替换使 对因非奇异故于是由可知设的秩与正惯性指数分别为与先证如则由惯性定理存在非退化的线形替换使得 由假设对任何但对列向量 （因是非奇异阵,1是的第个分量）却有 这与假设矛盾.故.再证.如果则式应化为 于是取 由即得又与假设矛盾,故即是正定二次型定理3、实二次型是正定二次型的充要条件是的规范形为证明：实二次型是正定二次型则由定理1可知的正惯性指数为n，则二次型可经过非退化实线形替换成 的规范形为则的正惯性指数为由定理1可知为正定二次型定理4、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵与单位矩阵合同证明：实二次型是正定二次型则由定理3可知的规范形为此即存在非退化线形替换其中可逆使得所以因此矩阵单位矩阵合同矩阵单位矩阵合同则存在可逆矩阵使得，令则因此由证明4可知是正定二次型定理5、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的主子式全大于零 证明：实二次型是正定二次型,以表示的左上角阶矩阵,下证考虑以为矩阵的二次型 由于所以当不全为零时,由正定二次型可知从而为正定二次型,固对二次型的元数作数学归纳法当时因为所以正定假设且对元实二次型结论成立由于用乘的第1列到第列,再用乘第的第1行到第行经此合同变换后可变为以下的一个矩阵 因为矩阵与合同所以是一个阶对称矩阵从而也是对称矩阵上述的变换不改变的主子式的值因此的主子式也全大于零,而的阶主子式等于的阶主子式乘以并且于是的主子式全大于零由归纳假设,与合同所以与单位矩阵合同此即是正定二次型定理6、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的顺序主子式全都大于零证明：实二次型是正定二次型,则由定理5可知的主子式全大于零,所以的顺序主子式也全大于零.对二次型的元数作数学归纳法当时由条件知所以是正定的. 假设充分性的判断对于元的二次型已经成立,现在来证元的情形.令= 于是矩阵可以分块写成：=则的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,是正定矩阵则存在可逆的阶矩阵使得令=于是再令=则有令 就有两边取行列式,则由条件因此.所以矩阵与单位矩阵合同,因此是正定矩阵即是正定二次型定理7、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵是实可逆矩阵证明：实二次型是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵使得则 令则若则 令则所以为正定二次型.定理8、实二次型是正定二次型的充要条件是正定矩阵其中是实可逆矩阵证明：实二次型是正定二次型,则是正定阵,令其中可逆)则 又因非退化线性替换不改变正定性,则是正定二次型,所以是正定阵是正定阵,令,则是正定二次型令 则是正定二次型定理9、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵A的全部特征值都是正的证明实二次型是正定二次型,则是正定阵,又对于任意一个阶实对称矩阵都存在一个阶正交矩阵使得成为对角形令=则否则与为正定二次型相矛盾，则特征值为均大于零即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A的特征值也均为正 的全部特征值均为正的则存在一个阶正交矩阵使得 = 其中为的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到令则 所以为正定二次型定理10、实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵A是正定阵证明：实二次型是正定二次型, 则由正定阵的定义可知是正定阵. 是正定阵,则的顺序主子式全都大于零.由定理6可知是正定二次型.二、实二次型的正定性证明不等式例1 设是一个阶实非退化矩阵求证证明：若是正定矩阵,必有, 其中是的主对角线上的元素因为是实非退化矩阵所以=是正定矩阵由上述定理得=此即三、 实二次型的正定性在极值问题中的应用例1、求三元函数的极值解：先求三个一阶偏导数令它们为0解方程组得驻点再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵由的正定性确定极值 得驻点 所以=因为为正定阵所以得极小值参考文献：1 王向东高等代数常用方法科学出版社2 霍元极高等代数北京师范大学出版社3 屠伯埙高等代数上海科技出版社4 张盛祝高等代数典型方法信阳师范学院数学系Is deciding two times of judgments and the applicationAbstract: In two center, was deciding two time holds the special status, this article summarizes has been deciding in two times of so judgments methods and its in the proof inequ