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文档简介

重积分,第三节 三重积分的计算方法,第三节 三重积分的计算法,一.在直角坐标系中的计算法,化成三次积分,仿照二重积分研究其计算方法:,在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域 分成 n 份(大部分是小长方体),可知:,体积元素,1.设积分区域 的边界曲面与平行于 坐标轴的直线相交不多于两点.,例如,与平行于 z 轴的直线相交不多于两点.,D为 在 xoy 面上的投影域.,上下曲面为:,若D是X型域,先对z后对y再对x的三次积分,同理,可将 投影到 yoz 面或 zox 面上,使三重积分化成其他顺 序的三次积分:,2.设积分区域 的边界曲面与平行于坐标轴的直线相交多于 两点.可以将积分域分成简单子域,利用积分可加性计算.,例1 计算,解,将 向 xoy 面作投影,则,计算三重积分时也要注意积分次序的选择,例2 计算,计算过程繁琐,能否把极坐标结合到空间坐标系内?,柱面坐标系,二.在柱面坐标系中的计算法,设空间一点M(x,y,z),点M在xoy面上的投影P 的极坐标为,则 称为点M 的柱面坐标.,变化范围,坐标面,以 z 轴为轴的圆柱面,过 z 轴的半平面,平行于xoy面的平面,与直角坐标的关系,体积元素,这是因为:,如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体,近似看作长方体,则:,化成三次积分,三. 在球面坐标系中的计算法,设空间一点M(x,y,z)可用下列三个数确定:,则 称为点M 的球面坐标.,变化范围,与直角坐标的关系,(1).点M与原点的距离 r ;,(2). 与 z轴正向的夹角 ;,(3). 在xoy面上的投影向量与z 轴的夹角 .,体积元素,化成三次积分,坐标面,以原点为心的球面,过z轴的半平面,以原点为顶点,以 为半顶角的圆锥面.,例3 计算,例5.选择适当的坐标系,将 化成三次积分.,由半径为a 的球面与半 顶角为 的内接锥面围成,注:选择合适的坐标系是计算三重积分的关键,(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;,一般的:,(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如
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