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,柱体体积=底面积高,曲顶柱体的体积=？,曲顶柱体的体积,第九章 重积分,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,曲顶柱体,求曲顶柱体的体积采用的方法:,分割求和取极限,演示,计算曲顶柱体体积的步骤：,(2) 近似:,(1) 分割:,(3) 求和:,(4) 取极限:,(1) 分割;,(2) 近似;,计算平面薄片的质量,(3) 求和；,(4) 取极限:,求解步骤如下：,二、二重积分的概念,定义,曲顶柱体,平面薄板,积分区域,积分和式,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,相关术语：,二重积分号,解:,例1,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D.,故二重积分可写为:,则面积元素,关于面积元素的说明:,关于二重积分的定义及存在性的说明:,二重积分的几何意义:,(1)被积函数大于零时,二重积分表示曲顶柱体的体积.,(2)被积函数小于零时,二重积分表示曲顶柱体体积的负值,(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分和点的选取是任意的.,(2)若被积函数在闭区域上连续或分片连续，则二重积分必存在.,(3)被积函数有正有负时,二重积分表示曲顶柱体体积的代数和,性质,当 为常数时，,性质,二重积分与定积分有类似的性质:,三、二重积分的性质,性质,对积分区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质(二重积分估值不等式）,性质(二重积分中值定理),解,例2,解,例3,思考题,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结与教学基本要求:,理解：,求曲顶柱体的体积采用的方法:,分割求和取极限.,求曲顶柱体的体积采用的方法:,分割求和取极限.,求曲顶柱体的体积采用的方法:,分割求和取极限.,求曲顶柱体的体积采用的方法:,分割求和取极限.,求曲顶柱体的体积采用的方法:
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