基于kriging模型的结构可靠性分析及寿命估算

毕业设计基于kriging模型的结构可靠性分析及寿命估算102011329杜长春机械工程系学生姓名： 学号： 系 部： 机械设计制造及其自动化高丽红专 业： 指导教师： 二零一四年 六 月诚信声明本人郑重声明：本次毕业设计及其研究工作是本人在指导教师的指导下独立完成的，在完成设计时所利用的一切资料均已在参考文献中列出。 本人签名： 年 月 日 毕业设计任务书设计题目：基于kriging模型的结构可靠性分析及寿命估算 系部：机械工程系 专业：机械设计制造及其自动化 学号： 102011329 学生： 杜长春 指导教师（含职称）：高丽红（讲师） 专业负责人： 田静 1 设计的主要任务及目标 （1）了解国内外研究现状 （2）明确kriging模型的基本原理 （3）以kriging模型为基础的可靠性计算 （4）估算结构的寿命2设计的基本要求和内容 （1） 明确kriging模型的基本原理 （2）了解蒙特卡洛和一次二阶矩法 （3）以kriging模型为基础的可靠性计算 （4） 估算结构的寿命 最终完成开题报告、中期检查表及毕业设计说明书等相关文档的编写。3主要参考文献 1基于kriging模型的结构可靠性分析- 张崎；李兴斯 2006.4.30 2基于kriging方法的结构可靠性分析及优化设计-张崎2005.5 3基于kriging模型的密封圈性能非概率可靠性分析刘纪涛，张为华 2010.1.15 4 基于kriging法的单索面斜拉桥静力可靠性分析 -罗霞4进度安排设计各阶段名称起 止 日 期1查阅资料，开题报告2014.3.32014.3.232基于kriging模型的结构可靠性分析2014.3.242014.5.103估算结构的寿命2014.5.102014.5.254进行设计说明书的整理，准备答辩2014.5.252014.6.10 基于kriging模型的结构可靠性分析及寿命估算摘要：在结构可靠度分析中，模型方法由于能够大幅度减少工程分析中繁重计算量，而得到广泛应用。这些方法的基本思想是通过建立近似模型得到变量和响应的函数关系，从而代替可靠度分析中的极限状态函数。本文将Kriging 法与可靠度计算方法结合起来，编制了基于 Kriging 方法MATLAB 程序，采用 Kriging 法构建响应面方程，通过 Kriging程序预测各点的响应值，结合 FORM 法计算可靠度指标值， 进而，进行结构的寿命估算。首先,本文简要介绍了结构可靠度的基本概念,随后,介绍了一种半参数化的插值技术一kriging方法. matlab的dace工具箱是利用kriging法建立模型及预测所应用到的工具。本文以简单的悬臂梁受均布载荷为例，借助kriging法分析其可靠度及其寿命。关键词:可靠度分析，kriging模型，寿命估算Structural Reliability Analysis and life estimation Based on Kriging ModelAbstract: model methods are widely used in structural reliability to alleviate the computational burden of engineering analysis at present. The basic idea of these methods is to create approximate models and provide functional relationships between the responses and variables to replace the limit state function. This paper combined Kriging method with reliability calculation method, compiled the MATLAB program based on Kriging method. Response surface equation is constructed base on Kriging method, which is combined with FOSM method to calculate the reliability index,The response of each point is forecast by means of Kriging. Thus, do the life estimation of the structure. Firstly, this thesis describes the basic conception for structural reliability. in the second place,A semi一variable interpolation method一kriging is discussed. DACE（Design and Analysis of Computer Experiments）,which is a matlab toolbox for working approximations to computer models. In this paper, take a cantilever beam under uniform loading for example, By using kriging method to analyze its reliability and life expectancy.Key words : reliability analysis, kriging Model, life estimation 目 录1前言12 可靠性分析理论和方法22.1一般可靠性基础理论22.1.1 随机变量22.1.2 结构的可靠性与失效概率32.1.3 结构的可靠性指标52.2机械结构可靠度的计算62.2.1蒙特卡洛模拟方法62.2.2响应面法72.2.3一次二阶矩法73 基于kriging的可靠度计算83.1 kriging法简介83.2 Kriging 模型的建立原理93.3 kriging模型的预测原理113.4 kriging近似模型工具箱DACE133.4.1 dacefit函数133.4.2 predictor函数143.5 拉丁超立方体抽样144 算例164.1参数确定164.2可靠性指标的预测184.2.1抽取变量184.2.2预测响应量204.2.3计算可靠性指标225 结构的寿命估算24结论25参考文献26致谢28太原工业学院毕业设计1前言 工程结构是由钢、木、砌体及钢筋混凝土等建造的工业与民用的各种建筑物或构筑物的统称。它与其它人造产物相比具有突出特点：建造费用高；使用周期长。在正常使用期间，不但要承受人为造成的荷载，还要抵抗自然界环境荷载的作用，然而地震、风等自然灾害或人为因素导致工程结构破坏事故时有发生，不但影响了正常的生产活动更危及生命。因此如何保证安全性、适用性、耐久性成为工程结构的首要问题，这三方面也构成了工程结构可靠性的基本内容1。结构设计的主要目的即为需要以一定的可靠度水平实现下述要求：1） 满足正常使用功能要求；2） 能够承受在施工以及使用期内最大的和经常重复出现的作用；3） 在承受类似于火灾、爆炸、冲击或人为错误等偶然事件时不被损坏。 “以一定的可靠度水准”意味着从概率统计的意义上量化结构完成功能的能力，结构可靠度研究便是将概率统计的理论加入到结构设计中。早在20 世纪30 年代起，国际上就已开展了结构可靠度的基本理论研究，最初的研究工作主要在航空航天方面，随着深入研究和发展逐步扩展到建筑结构分析和设计的各个方面。到了70 年代，美欧各国规范都有基于概率统计的安全条文并且以此为基础的结构可靠度理论在土木工程领域进入了实用阶段。我国对于可靠度理论的研究开始较晚，于1992 年正式颁发了适用于全国的工程结构可靠度设计统一标准，近二十年来，我国在结构可靠度领域研究蓬勃发展并将其应用提高到一个新的水平。 尽管如此，相比较已经发展成熟的确定性分析方法（传统的安全系数法），虑随机不确定性的可靠度理论虽然已经建立起基本的理论框架2，并已经逐步应用于工程实际中，但仍存在大量问题需要进一步的研究和完善。 本文主要是说明kriging模型在结构可靠度计算中的一种运用。文中以悬臂梁受均布载荷为例。在已知载荷q,弹性模量E,惯性矩I以及结构极限状态方程的条件下，通过MATLAB的dace工具箱，建立模拟极限状态方程的kriging模型，进而通过已知数据点来预测不同载荷条件下，极限状态方程的响应值。从而通过一次二阶矩法计算出它的可靠度指标，进而通过可靠性指标和可靠度的关系算出结构的可靠度。最后通过可靠度与寿命的关系，估算出结构的寿命。 2 可靠性分析理论和方法 由于结构本身的复杂性以及承载的多样性，所以影响结构可靠性的因素呈现多样化，从工程背景来分类，主要体现在以下几个方面: 结构所承受荷载的不确定性: 材料特性参数的不确定性；约束边界件和初始条件的不确定性；结构的几何尺寸的不确定性；计算模型的不确定性3。不确定因素在实际工程中的各个方面都是不可避免的，只能研究其规律将其应用到工程实际中.按照可靠性相关理论的定义， 在结构的设计过程中，对一些设计参数，在概率论和数理统计学中称之为随机变量。与设计相关的一些参数都可以当做可靠性分析设计中的随机变量，象一些关键尺寸，材料特性，承受的裁荷，加上主梁的长度以及主粱截面的高度和宽度等。2.1一般可靠性基础理论2.1.1 随机变量 按照概率论和数理统计中的定义，随机变量就是在试验的样本空间或者样本空间中能够取得不同数值的量，即该变量在试验过程可以随机的取得一定范围内任一数值，是随机试验结果的量化，它具有特定的分布类型或者是数值特征。在进行试验之前无法确定这个变量的取值.在概率论与数理统计的研究领域里，按照规定随机变量根据其所取得的数值情况，即是取得的数值是连续的还是离散的，可以将其分为两大类: 离散型随机变量和连续型随机变量。 离散型随机变量的取值可以在取值范围内一一列举出来，连续随机变量在任一指定实数值处的概率都等于零，所以只研究其取值落在某一个区间内的概率: P(xlX x2 ) 。据定义: P(xlXx2 ) P(Xx2 )P(Xx1) (2-1)所以只要P(Xx2 )和P(Xx1) 已知就可以了. 此时定义函数 F(x) = P(X x) (2-2）为X 的分布函数。同时存在非负函数fx，使对于任意实数均有: (2-3) 则称f(x) 为连续型随机变量 X 的概率密度函数。连续型的概率密度函数在统计学中应用地位非常重要，可以根据连续积分计算变量的概率分布函数以及统计量的一些特征变量等。工程中常用的概率分布函数有正态分布、标准正态分布、准正态分布、指数分布、均匀分布、威布尔分布等。连续型随机变量的概率分布函数虽然能够体现随机变量的取值情况， 但在工程实际问题中，设计变量的概率分布函数往往不容易求得，加之目前的设计标准还不够完善。另一方面，在处理一些实际问题过程中，也不要求我们完全掌握随机变量取值的概率密度函数，只需要掌握一些与随机变量的分布类型及与概率分布规律有关联有关的随机变量的一些特征数值就可以解决相应的问题，例如知道随机变量的均值和方差，就可以大致知道随机变量的分布情况。从而比较轻易地能够解决响应的问题。随机变量的这些特征值不需要通过概率密度函数来求得，或者是在近似知道随机变量分布类型的情况下，能够比较快速地获取，基于这些原因，可以将这些特征数值称之为随机变量的数值特征。这些数值特征可以比较全面地反映随机变量的特性，随机变量的一些内在的信息。可靠性随机理论中常用的随机变量的数值特征有均值(数学期望)、方差、均方差、协方差及变异系数等。2.1.2 结构的可靠性与失效概率 工程实际中用于衡量结构可靠性程度. 即结构安全程度的指标称之为可靠度，结构可靠性设计就是使结构在使用过程中满足规定要求的可靠性程度，或者是能够完成指定功能的概率。可靠度是可靠性分析设计中一个重要的概念，同时也是一个衡量结构可靠性设计中的一个重要的技术指标。当结构在使用的过程中，承受的外载荷会使得结构的力学性能发生变化，当载荷过大时，结构可能不能继续安全地使用，或者是处于失效状态不能满足使用要求，这一状态是结构失效与可靠的一个分界线，称之为结构正常使用的极限状态。因此正常使用的极限状态是区分结构安全与否的一个标志。这种极限可分为结构承载能力极限状态和结构正常使用的极限状态4。 （1）结构在承受过大的载荷时所能达到的一种极限临界状态。该状态是结构的承载能力达到最大极限或达到最大变形的状态，即是结构因为强度不够而发生破坏或者是结构的刚度不足而发生过大的变形，以及在交变的动载荷载荷作用下发生疲劳或者是丧失稳定性等。结构达到极限承载能力后就不能满足正常使用的安全位要求。 （2）正常作业过程中的结构所承受的极限临界状态。极限临界状态是结构件达到正常使用或者是耐久性的各项规定的极限状态。当结构件在使用过程中出现过大的变形、裂纹或是裂缝而影响正常使用:局部破坏而影响正常使用的耐久性能;发生剧烈振动或者是过大的噪音而影响正常使用等5。结构在可靠性设计过程中按照承载极限状态设计后，还需要按照极限状态进行校核。在结构可靠性分析中，在不同的情况下，功能函数和极限状态方程均不相同。如果，为结构功能的n 个随机变量，则函数: Z=g() ( 2-4)在以概率论与数理统计为基础的可靠性分析设计中称为结构功能函数。，为设计变量或者是随机变量，可以是构件的材料特性、几何形状尺寸、载荷等。结构的可靠性分析中，其极限状态可以用数学表达式来进行表达，当功能函数的函数值大于零时，结构能够安全工作；当功能函数的函数值小于零时，结构便不能安全有效地工作，若继续工作有便可能处于危险的状态；当结构的功能函数等于零时， 结构即是处于正常使用与不能正常使用的一个临界状态。 Z=g() 0 (2-5)称为结构的极限状态方程。当结构功能函数小于零时，结构不能完成规定的功能时，即结构处于失效状态，即表示此时结构的失效概率。反之当结构能够完成指定要求的功能时，用Pf表示此结构安全工作的概率。Pf 与Pr 都可以根据概率论与数理统计的规律来求解，利用联合概率密度函数和多元函数的积分求解原理可以得出相应的计算公式: Pfz0fxx1，x2xndx1dx2dxn (2-6) Prz0fxx1，x2xndx1dx2dxn (2-7) 由概率论知识可得，结构在使用过程中的可靠度与失效概率之和为一，它们是一对相互对立的事件。 PfPr 1 (2-8)从理论上讲，结构的失效概率和可靠度在数学概念上是等效的，计算其中任何一个后便可以得出另外一个数值，但是由于采用积分的方法如(2-6 ) 与(2-7 )两式计算可靠度或者是失效概率有时是会非常复杂.目前己研究出一种比较简便、近似的计算方法来计算结构的可靠度或者是失效概率。先通过其他方法求得结构的可靠度指标，然后再根据可靠度与失效概率之间的关系求结构的失效概率。2.1.3 结构的可靠性指标 由于采用积分的方法如式(2-6) 与式( 2-7) 计算结构可靠度或者是失效概率非常复杂，工程中已经研究了一种比较简便，近似的计算方法，为此提出可靠度指标这一概念。 随机变量R和S均服从正态分布,其均值和标准差分别为,和。则功能函数 Z=R-S 也服从正态分布,其平均值和标准差分别为产: 及. Z 的概率分布密度f曲线如下所示， Z 的概率分布密度f曲线图 ZO 的概率即是z 轴左侧的阴影部分的面积，亦即为结构的失效概率: (2-9) 为该点处随机变量的取值在概率密度函数上的积分值，等于图中阴影部分的面积。由图可见，坐标原点到均值z的这段距离，可以用标准差去度量，即可以给出如下关系式: z = *z (2-10) 很容易看出，和是一一对应的反比例关系，越大Pr 就越大，则越小。当z 为定值时，是z 的函数，不会随其他的量变化而变化。增大时，概率密度曲线将向右移动，这时失效概率逐渐减小，对应的可靠度则逐渐增大。故与Pf 都可作为衡量结构可靠性与失效概率的一个重要的技术指标，工程可靠性设计中通常称 为可靠度指标。 PZ0= = (- （2-11)(为标准正态分布函数值。可靠性指标可以作相应的数学转换，等效变换后的可靠度指标的计算表达式为: (2-12)2.2机械结构可靠度的计算 由于与结构可靠性相关的随机变量的概率函数很难得到，或者是由于功能函数是非线性的甚至是不能用显式表达的隐式函数，用单一的函数表示随机变量的分布概率模型具有一定的困难，甚至是不可能完成的，因为计算结构的可靠度需要知道几个确切的结构功能函数表达式，而实际上有些结构的概率分布模型是未知的， 导致无法计算，基于此，在人们不断探索和实践下，研究出了许多具有实际可操作性的计算结构可靠度的方法，比如: 随机抽样法蒙特卡罗法、一次二阶矩法等。这些方法都成功地被运用到具体的工程实践中，而且取得了良好的应用效果，同时也创造了不少的社会价值6。2.2.1蒙特卡洛模拟方法 蒙特卡洛方法是以数理统计原理为基础的,又称随机模拟方法,是随着电子计算机的发展而逐步发展起来的一种独特的数值方法。用蒙特卡洛方法来研究事件的随机性是结构可靠度分析的一个重要方面。我国港口工程结构可靠度设计统一标准(GB5015892)已将它列入其中。这意味着结构可靠性分析的蒙特卡洛方法正逐步为广大工程技术人员所接受,并成为结构可靠度分析的一个重要组成部分7。蒙特卡洛方法的优点是,它回避了结构可靠度分析中的数学困难,不需要考虑结构极限状态曲面的复杂性,只需要得到结构的响应即可;缺点是计算大,因此目前还不作为一种常规的结构可靠度分析的方法来使用,只适用于一些情况复杂的结构,由于其具有相对较高的精度,常用于结构可靠度各种近似方法计算精度的检验和计算结果的校核。使用蒙特卡洛方法解决问题,首先要用某种特定的方法产生大量的随机数，这一过程称为随机抽样。通过计算机产生均匀分布随机数的方法大致分为三种,即数理方法、随机数表方法和数学方法。最为常用的是数学方法,包括迭代取中法、移位法和同余法。在上产生均匀分布的随机数尚需通过反函数法、舍选法等变换为已知分布的随机样本值。直接抽样方法是蒙特卡洛分析最基本的一种方法,对于基本随机变量,其概率密度函数为f(x),对应结构某一状态的功能函数为。将随机样本值序列x代入功能函数Z=g(x),若Z0,则模拟的结构失效一次。若总的模拟数为N,功能函数Z0的次数为,则结构失效概率的估计值为： （2-13）2.2.2响应面法一般的可靠度计算方法均用于显示表达的情况，但是许多比较复杂的结构，其功能函数难以用显式表达，若采用完全的数值模拟的方法，工作量太大，对计算机要求高，需要耗费大量的时间，计算效率很低，响应面法解决了这一问题。响应面法(RSM 法)的基本思想是用一个简单的显示函数去逼近实际的隐式的极限状态函数，先假设一个包括一些未知参数的极限状态方程解析表达式，然后用插值方法来确定表达式中的未知参数，确定显式的响应面方程替代原本复杂的隐式功能函数，再结合 FORM 法、SORM法或 MC 法等计算可靠度指标，使可靠度计算得到简化。响应面法首先由 Box 和 Wilson提出，当时只是研究如何用统计的方法得到一个近似函数用以逼近一个复杂的隐式函数。直到 1985 年，F.S.Wong提出用一次响应面法分析土坡稳定的可靠度问题，即取响应面函数为一次多项式。此后，响应面法在可靠度中的应用在国内外得到不断的拓展8。2.2.3一次二阶矩法一次二阶矩法(FOSM)是可靠度计算中最为常用的一种方法,其基本思想就是将非线性化的功能函数进行线性化，然后通过基本变量的一阶矩和二阶矩来计算线性化后的功能函数的一阶矩和二阶矩，进而近似得到功能函数的失效概率。一次二阶矩方法包括均值一次二阶矩方法（MVFOSM）和改进一次二阶矩方法（AFOSM）,因其只用到了功能函数泰勒展开式的一次项和随机变量的前两阶矩,故得名。本文例题中所给出的功能函数是线性函数，因此，只需要通过功能函数计算出其均值u和标准差。因此，借助公式和求出其可靠度指标和可靠度。3 基于kriging的可靠度计算3.1 kriging法简介 Kriging 法是以南非矿业工程师 D.G.Krige 名字命名的一项估计技术。1962 年被法国的 G马特隆教授用应用于地质统计学中，用于解决矿床储量计算和误差估计问题。这种方法不依赖于完整的信息样本，只需根据一个较小区域附近的若干信息特征就可以对该区域的同类特征作一种线性无偏、最小方差估计，具有较强的预测信息能力。它很早就在地质统计学中得到广泛应用，直到 1989 年，Sack 等将其应用于工程设计当中，为 Kriging 在工程设计领域的应用打开了一扇大门。2004 年，Romero 等将其应用于结构可靠度分析领域，自此，一些学者开始研究 Kriging 方法在可靠度领域的应用与优化9。 kriging是由一个参数模型和一个非参数随机过程联合构成的。它比单个的参数化模型更具有灵活性,同时又克服了非参数化模型处理高维数据存在的局限性,比个的参数化模型具有更强的预测能力。相比于其它传统的插值技术,kriging模型有两方面的优点。第一,kriging模型以已知信息的动态构造为基础充分考虑到变量在空间上的相关特征,即只使用估计点附近的某些信息,而不是所有的信息对未知信息进行模拟。第二,kriging同时具有局部和全局的统计特性,这个性质使得krignig可以分析己知信息的趋势、动态10。 与其它的近似模拟技术相比,kriging是一种更具有“统计性”的近似技术。同时,kriging模型的有效性并不依赖于随机误差的存在,在可靠性分析中,相同的结构数据(截面积、惯性距、外力荷载等)必定得到相同结构响应(应力、位移等),对于这种问题,kriging模型在已知信息中插值未知信息的精度会更高11。 在过去的几十年中,kriging技术在许多的领域得以应用。作为一种半参数化的插值技术,其目的就是通过部分已知的信息去模拟某一点的未知信息。传统的模拟技术大都为参数化的模拟(如响应面法),使用参数化的非线性模型,首先必须选择一个适合的数学模型(如二次多项式),其次模型确立之后，必须确定其待定系数。而半参数化的kriging模型并不需要建立一个特定的数学模型,相对于参数化模型言,kriging模型的应用就更加的灵活和方便。 kriging作为线性回归分析的一种改进的技术,包含了线性回归部分和非参数部分,其中的非参数部分被视作随机过程的实现。假设随机过程服从高斯分布,其中协方差矩阵的系数可以通过最大似然估计法确定。线性回归的不同选择对所模拟模型的性质没有很大的影响。kriging在某一点进行模拟要借助于在这一点周围的己知变量的信息,即通过对这一点一定范围内的信息加权的线性组合来估计这一点未知信息。加权选择则是通过最小化估计值的误差方差来确定,因此,kriging模型被视为最优的线性无偏估计12。 本文采用基于 MATLAB 的 DACE 工具箱进行Kriging 模型的建立、估计与预测。 3.2 Kriging 模型的建立原理 我们平时采用的计算模型都是确定性的，因此，得出的响应也缺少随机性误差。Kriging 是线性回归分析的一种改进的技术，它包含了线性回归部分和非参数部分，其中的非参数部分被视作随机分布的实现，因此，Kriging 模型组成形式见下式 y (x) = F （, x) + z(x) （3-1） F ( , x)可以理解为线性组合的多项式形式，可表示为式（2-2）， z ( x )为随机分布过程，随机过程的存在就是 Kriging 法与传统响应面法的不同之处。 (3-2)式中： 为线性回归系数； f(x) 为变量x的多项式函数，p为的数目。这相当于响应面法中的多项式形式，为模型建立提供模拟的全局近似。DACE 工 具箱中包含了 3种回归模型： （1）常数，p=1: (3-3)(2)线性，p=n+1： （3-4） （3）二次，： （3-5） 对于非线性程度不高时，采用常数形式的回归模型就可以得到较为理想的结果，但对于线性程度较高的情况，应采用线性或二次的回归模型13。本文采取常熟形式的回归模型。随机过程 z(x)提供了模拟的局部近似。z(x)服从正态分布,均值为0，协方差非零，可以用式(2-6)的形式表示： （3-6）式中，为响应组合的标准差，为w、x和参数 的相关函数，它对模拟的精确程度起着决定性作用，相当于核函数，其中，w 和x为样本空间中的任意两个样本点14。 Kriging 法可以拟合出一个随机过程的样本路径 z ( x )，它提供了模局部偏差近似，即 y (x)的局部变化。而相关函数反映数据的局部特性，其表达式为： (3-7)式中，中常见的核函数见表3-1。 表3-1 核函数形式函数名称 函数形式指数函数 广义指数函数 高斯函数 线性函数 在上述几种核函数中，高斯函数被认为是计算效果最好的，比较适用于模拟非线性程度高的函数，因此本文采用高斯函数作为相关函数的核函数15。3.3 kriging模型的预测原理 建立好 Kriging 模型后，可以另取样本点来验证模型的精度，以保证模型的有效性。Kriging 法提供了曲面上每个点的一阶梯度16，这为采用 FORM 法计算可靠度指标提供了方便。本节将介绍 Kriging 模型预测的原理。设有训练样本点集 ，其多项式函数为： （3-8）随机分布 z 关于训练样本点（），的相关函数为： , (3-9)待测点x 和样本点s之间的相关向量为： (3-10)确定一个待测点的响应值，我们可以利用己知训练样本的响应值来构造方程，通过求解方程参数得到待测点的响应。这里采用线性组合来估计任一个待测点的响应，即： (3-11) 预测值和真实值之间的偏差为： (3-12) 为了保证预测过程的无偏性，偏差的均值必须为零，即，可得： （3-13） 均值的均方差为： （3-14）为了确定估计参数c，可将问题转换为最小化偏差的均方差问题： （3-15）引入拉格朗日乘子并进行求导，可得： (3-16)令，可得： (3-17)式中，将求得的c和代回到式,得： (3-18）因为,采用极大似然估计可得到： (3-19) 将式（2-19）代入式（2-18），得到预测值为： (3-20)由上式(2-20)可知，只要预测模型参数和核函数的具体形式确定，就可以得到各个点的预测值，由式(2-19)可知参数相关函数R 有关，而相关函数 R 取决于核函数。总的来说，我们还需要确定核函数的参数 ，就可以得到各个预测样本点的预测值17。 3.4 kriging近似模型工具箱DACE DACE（Design and Analysis of Computer Experiments）是Soren N. Lophaven等人利用MATLAB编制的kriging工具箱。它有两个主要函数dacefit和predictor，函数dacefit根据试验数据点建立kriging模型看，而函数predictor根据kriging模型计算待测点的响应值。3.4.1 dacefit函数 Dacefit函数根据已有的试验数据点来建立Kriging模型，它的调用格式有： dmodel, perf = dacefit(S, Y, regr, corr, theta0) dmodel, perf = dacefit(S, Y, regr, corr, theta0, lob, upb) 输入参数： S : 试验数据点矩阵（ m n矩阵） Y : 对应试验数据点 S 的响应（ m q矩阵） regr : 回归模型函数句柄 corr : 相关函数句柄 theta 0 : 优化参数向量。如果 lob 和 upb 不作为输入参数，theta0 作为相关函数参数向量 ；否则 theta 0作为相关函数参数 向量的初值。 lob ，upb 可选向量。如果作为输入参数，应与 theta0 向量等长度， 并作为相关函数向量 的下限和上限。输出参数： dmodel Kriging 模型，MATLAB 结构体。 perf 优化信息。 由dacefit 的调用格式可以看出，在构建Kriging模型时要提供回归模型和相关函数句柄。DACE工具箱提供了三种回归模型和六种相关函数.回归模型有常数模型 regpoly 0、一次多项式模型 regpoly1 和二次多项式模型 regpoly 2，相关函数有指数函数、广义指数函数、gauss函数、线性函数等和三次样条函数18。本文中，回归模型取常数模型 regpoly 0，相关函数取gauss函数来构建连续代理模型。 另外构建Kriging模型时还要给定相关函数参数向量 的初值 theta 0和它的取值范围lob,upb 。一般来说，它们的长度等于设计变量的个数。但是如果所解决问题为各向同性问题，它们也可以取为标量，这样优化计算量就会减小。由于theta 0, lob 和 upb 需要用户自己给定，所以它们的取值会直接影响到模型的精确度。一般来说要经过多次试算才能给出比较合适的值。但是有这么一个原则，在试算时可以参考，即 的取值较小时，所得模型比较光滑，但是如果过小，所得模型则会过分简单，不能有效描述模型的变化规律； 的取值过大时，所得模型在局部范围内会急剧变化，产生过拟合。 3.4.2 predictor函数 Predictor函数根据kriging模型计算待测点的响应，它的调用格式为： y = predictor ( x , dmodel) 输入参数： x ： 待测点的矩阵 dmodel ： MATLAB结构主体 输出参数： y ： 待测点的响应3.5 拉丁超立方体抽样 拉丁超立方体抽样(Latin Hypercube Sampling，简称 LHS) 是北美洲学者提出的，将试验点均匀地散布于输入参数空间，也称为 “充满空间的设计”。LHS 给出的试验点带有随机性，也称为抽样，其理论依据是使试验点对输出变量的总均值提供一个无偏估值，且方差较小。 拉丁超立方抽样是一种多维分层抽样技术， 其本质在于控制抽样点的位置，避免抽样点在小邻域内重合，相对于单纯的分层抽样，拉丁超立方抽样的最大优势就在于任何大小的抽样数目都能容易地产生。它的基本原理是如果进行m次抽样，那么就把n个随机变量都分成等概率的m个区间，于是整个抽样空间就被分成等概率的个小格子。对于每个变量来说，m次抽样则一定分别落在每个小区间中，因而实际得到的抽样点等概率地分散在整个随机空间中，利用这样的方法构造的近似响应的整体性能比较好19。假设我们要在 n 维向量空间里抽取 m 个样本。拉丁超立方体抽样的步骤是： （1） 将每一维分成互不重迭的 m 个区间，使得每个区间有相同的概率 （通常 考虑一个均匀分布，这样区间的长度相同）。 （2） 在每一维里的每一个区间中随机的抽取一个点； （3） 再从每一维里随机抽出（2）中选取的点，将它们组成向量。 4 算例矩形截面悬臂梁受均匀分布荷载作用,如图所示，梁的自由端的最大竖向位移不能超过允许变形的 ，其结构功能函数是, 其中弹性模量E为，变异系数为0.1。梁的长度L为1m，惯性矩I为8，变异系数为0.2。载荷单位为KN，悬臂梁的规定寿命为h。借助kriging模型计算其可靠度。 4.1参数确定 在kriging模拟中,必须拥有一定数量的已知信息,这些信息的获取是通过确定性的试验来完成的。因此,需要在设计空间的一定范围内选取一定数量的样本点,并对其进行数值试验。在设计空间中选取个样本点。如果抽样空间的选取范围过大,则会降低结构响应整体模拟的精度;相反,会导致对可靠性指标影响最大的点被排除在抽样空间之外,进而影响计算精度。考虑到工程实际的需要,选取为抽样空间,以拉丁超立方抽样(LHS)选取样本点,这种抽样方式的主要优点就是对于产生的样本点可以确保其代表向量空间中的所有部分。为了获取载荷q，惯性矩I,弹性模量E的均值和方差。我们选取一定的样本空间，通过MATLAB随机数产生过程，模拟现实中各变量的随机过程。我们分别对三个变量进行5000次的随机抽样，统计算出他们的均值和方差。统计结果见表4-1。 表4-1随机变量单位随机变量取值范围均值u标准差分布类型载荷qkN(10-20)152.88正态分布弹性模量E/Mpa（3.6-4.4）40.23正态分布惯性矩I（6.4-9.6）80.92正态分布 对三个随机变量进行15次随机抽样，选用拉丁超立方抽样，抽样范围为，抽样过程如下： 将载荷q,弹性模量E,惯性矩I分别分成 15 个区间，使得每个区间 有相同的概率。 分别在载荷q,弹性模量E,惯性矩I的15个区间中选取一个样本点。 将它们重新组合成15个向量。 基于MATLAB程序： X = gridsamp(a;b, 15) 在之间，均匀的选取15个随机变量 X=X(randperm（15) 将选取的15个随机变量随机排列 S=q，E，I 生成新的已知变量的向量已知变量S=()如下所示： 由于本例题中，结构功能函数已经给定，因此，我们可以通过结构功能函数来计算出相应的响应量。对于结构功能函数未知的情况下，我们可以通过有限元建模分析出梁的变形量，因为本文主要说明kriging法的在结构可靠度计算中的应用，因此，本文中不在讨论结构功能函数为隐形的情况。 随机变量对应的响应量Y： 把变量S，响应量Y作为已知条件，保存到matlab的数据存储文件中，文件名为：Lol.mat。4.2可靠性指标的预测为了使数据具有说服力，我们选取10组数据来预测相应量的值，从而通过一次二阶矩法计算出其响应量。每组数据的个数分别为5,10,30,60,90,150,