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第18章 隐函数定理及其应用,1 隐函数,一、 隐函数概念,下面看隐函数的例子.,二、隐函数存在性条件的分析,三、隐函数定理,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,则,并求,连续 ,由 定理可知,导的隐函数,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,例2. 设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,作业：P151, 1,2 , 3(2)(5), 5.,四、隐函数问题举例(自练),2 隐函数组,一、 隐函数组概念,二、隐函数组定理,例2. 设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习: 求,答案:,由题设,故有,三、反函数组与坐标变换,作业：P157, 1, 2(2), 3(1), 6.,3 几何应用,因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数(组)给出，故在求它们的切线(或切平面)时都要用到隐函数(组)的微分法。,一、 平面曲线的切线与法线,例:求x2+y2=4在(2,2)处的切线.,二、 空间曲线的切线与法平面,所求切线方程为,法平面方程为,三、 曲面方程的切平面与法线,解,令,切平面方程,法线方程,作业：P163, 2(2), 3(1), 5, 7.,4 条件极值,一、 条件极值的概念,以前所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。但是，另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制。,这种附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题。,二、 拉格朗日乘数法,过去把条件极值问题化为无条件极值问题.例如上述水箱设计问题.,这样就把条件极值问题(4)、(5)转化为函数(10)的无条件极值问题，这种方法称为拉格朗日乘数法。 (10)中的函数L称为拉格朗日函数，辅助变量称为拉格朗日乘数。,三、 例题,解,则,练习2,解,得,小结： 条件极值的概念； 拉格朗日乘数法的推导和理论； 拉格朗日乘数法的应用(解决条件极值问题): 极值、最值、不等式, 典型例题。,作业：P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示:仿例3).,“第18章 隐函数定理及其应用”的习题课,一、内容要求,1、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定理，掌握隐函数的求导法,2、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法，了解反函数定理与坐标变换,3、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面，曲面的切平面与法线,4、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题(极值、最值、不等式),二、作业问题,P15
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