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文档简介

第二节、随机变量的方差和标准差,一、随机变量的方差和标准差的 概念和性质,1、方差和标准差的定义 XEX表示随机变量 X 对数学期 望 EX 的离差；为避免离差符号的影响，人们常使用X 对数 学期望 EX 的平方离差,它显然也是随机变量；称,的数学期望,为随机变量X的方差，称 为随机变量X的标准差,2、方差的性质,(1) DX0，并且DX0当且仅当X（以概率）为常数；,(2) 对于任意实数，有 ；,(3) 若随机变量X1 , X2 , Xm两两独立，则,(4) 对于任意常数C，有,例4.9 设随机变量X的概率密度为,(1) 求随机变量Y = 1/X的数学期望EY； (2) 求随机变量X的数学期望EX和方差DX,解 (1) 随机变量Y = 1/X的数学期望：,(2) 随机变量X的数学期望：,例4.10 设随机变量X和Y相互独立，证明，若DX,DY 存在，则DXYDXDY,证明 事实上，有,其中,二、切贝绍夫不等式,设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对于任意0， 事件|XEX|的概率有如下估计式切贝绍夫不等式：,证明 (1) 设X是非负离散型随机变量，其一切可能值为Xi， 则对于任意0，有,其中前两个和式表示对于满足| xi EX|的X 的一切可能 值xi求和，后一个和式表示对于X 的一切可能值xi求和,(2) 设X 是连续型随机变量，其概率密度为f (x)，则,例4.11 设随机变量X的数学期望为，方差为 ，则由切,贝绍夫不等式，有,然而，假如,则利用附表1，可得,例4.12 对于任意非负随机变量X和0任意，证明不等式,证明 (1) 设X是离散型随机变量，其一切可能
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