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文档简介

1,四、二重积分的计算,1定理1 若函数 在闭矩形域,可积，且,存在，,则累次积分,也存在，且,2,证明,设区间 与 的分点分别是,这个分法记为 ，把闭矩形域R分成,个小闭矩形，小闭矩形记为,设,有,3,一元函数 在 可积，有,将不等式对 相加，有,其中,4,此不等式乘以,再对 相加，,有,即,由函数 在R可积，有,5,若函数 在闭矩形域,可积，且,存在，,则累次积分,也存在，且,6,2推论1 若函数 在a,b可积，函数,在c,d可积，则乘积函数,在闭矩形域,也可积，且,7,证明,将函数 都看作二元函数,在R上可积，乘积 也在R可积,则,8,例 计算二重积分 ， 其中,例 计算曲顶柱体的体积，其底是正方形区域,其顶是定义在R上,的曲面 是常数）,9,例 若函数 在 是正值连续函数，,其中,证 函数 与 在,闭正方形区域R关于直线,对称有,则,都可积,10,则,11,X型与y型区域,定义 设函数 在闭区间,连续；函数 在闭区间,连续，则x型区域,y型区域,12,积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,如图,x型区域,13,y型区域,14,定理2 设有界闭区域R是由两条光滑曲线,以及直线x=a与x=b所围成。,在R可积，且,定积分,存在，,也存在，且,则累次积分,若函数,15,证明,取闭矩形域,使,在P上定义新函数,新函数 在P可积,由新函数定义，有,16,有,因此有,17,若有界闭区域R是 型区域,函数,存在，且,在R可积，,存在，,则累次积分,且 ，定积分,18,如何利用累次积分求二重积分(以 型为例),化为先对 ，后对 的累次积分.,首先将R投影到轴，得到闭区间 ，,在区间 上任取一点 ，关于 积分，,在R内 的积分限由 到 ,然后关于 从,到 积分,19,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,20,例 证明：若函数 在由直线,所围成的三角,形区域R连续,R既是x型
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