误差理论与平差原则.ppt

第二章 误差理论与平差原则,1、理解偶然误差的统计规律及测量平差原则 2、熟知测量精度指标、权、协因数等概念 3、掌握误差、权倒数、协因数传播律及其在测量中的应用,第一节 偶然误差的统计规律,1、描述偶然误差分布的三种方法 1）列表法,相同条件下，对测区781个三角形内角进行观测，求出内角和的真误差,第一节 偶然误差的统计规律,1、描述偶然误差分布的三种方法 2）绘图法,第一节 偶然误差的统计规律,1、描述偶然误差分布的三种方法 3）密度函数法,第一节 偶然误差的统计规律,2、偶然误差的分布特性 （1）有界性： 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值，或偶然误差的绝对值大于某个值的概率为零。 （2）聚中性： 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 （3）对称性： 绝对值相等的正负误差出现的概率相等 （4）抵偿性： 偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0,第一节 偶然误差的统计规律,3、由偶然误差特性引出的两个测量依据 制定测量限差的依据 依据偶然误差的有界性，在实际工作中可根据观测条件确定一个误差限值，若观测值的误差绝对值小于该限值，认为观测值符合要求，否则应剔除或重测。 判断系统误差（粗差）的依据 依据抵偿性，若误差的理论平均值不为零，且数值较大，说明观测成果中含有系统误差和粗差。,第二节 衡量精度的指标,1、精度 定义： 误差分布的密集或离散的程度。 若两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。 所谓精度高低，是对不同观测组而言。对于同一组的若干个观测值，因对应于同一种误差分布，故每个观测值的精度都相同。 在相同观测条件下进行的一组观测，每一观测值都称为等精度观测值。,第二节 衡量精度的指标,1、精度,精确,准确,第二节 衡量精度的指标,2、衡量精度的指标 1）方差 设有一组同精度的独立观测值，其相应的一组真误差为1、2、 n ，则独立误差平方的平均值的极限为该组观测值的方差。 2）中误差 方差的算术平方根（统计学称为标准差），恒为正。,第二节 衡量精度的指标,2、衡量精度的指标 上述公式都是在 情况下定义的，实际工作中，观测次数不能无限多，一般只能得到方差和中误差的估计值：,第二节 衡量精度的指标,例题 某测区的16个三角形内角和的误差如下，试求三角形内角和中误差。,第二节 衡量精度的指标,练习 设有一列等精度观测值的真误差为：+0.22，-0.42，+0.12，-0.32，+0.65，+0.81，-0.45，-0.67，-0.74，+0.90。试求其中误差。,第二节 衡量精度的指标,练习 为了鉴定经纬仪的精度，对已知的水平角 ( = 450000)作了12次观测，其结果为： 45 00 06 , 44 59 55 , 44 59 58 , 45 00 04 , 45 00 03 45 00 04 , 45 00 00 , 44 59 58 , 44 59 59 , 44 59 59 45 00 06， 45 00 03 假设无误差，试求观测值的中误差。,第二节 衡量精度的指标,观测值方差的估算方法 1）当真值或理论值已知时 2）当真值未知时,第二节 衡量精度的指标,练习 在测站D上用经纬仪分别观测了三个方向A、B、C，得10个测回的方向观测读数a、b、c，试估算各个方向观测值的方差。,第二节 衡量精度的指标,2、衡量精度的指标 3）极限误差 绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%。 观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，称为极限误差。若对观测要求较严，也可规定两倍中误差为极限误差。,第二节 衡量精度的指标,练习 有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m 15mm，试估计这个观测值的真误差实际可能出现的范围是多少？求出该观测值的相对中误差。,第二节 衡量精度的指标,2、衡量精度的指标 4）相对误差 观测值的误差与观测值之比，称为相对误差 相对误差是衡量单位长度的精度，是个无名数，在测量中经常将分子化为1，分母化为整数N，即用 表示。 一般来说，当观测误差随着观测量的大小而变化时，用相对误差来描述其精度。 相对真误差、相对中误差、相对极限误差 为了与相对误差区别，真误差、中误差和极限误差统称为绝对误差。,第二节 衡量精度的指标,练习 已知S1=300.445m4.5cm, S2=660.844m4.5cm，试说明：它们的真误差是否相等？它们的最大误差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对误差是否相等？,第三节 观测向量的精度,1、观测量间的协方差 当观测量之间不再误差独立时,观测量Li和Lj之间的误差相关,描述这种相关程度的指标是协方差 ,表示观测值Li和Lj不相关,即相互独立 ,表示观测值Li和Lj相关,不相互独立,第三节 观测向量的精度,协方差的估算 1）当真值已知时 2）当真值未知时,第三节 观测向量的精度,练习 试估算三个方向观测值a、b、c之间的协方差。,第三节 观测向量的精度,2、观测向量的方差阵 观测向量： 若观测值有L1、L2、 Ln个，可将它们表示成一个向量L=（ L1,L2, Ln）T 方差阵DLL 观测向量的精度一般用方差矩阵DLL表示 DLL中既有各个观测向量的方差，表示其 精度，也有观测量之间的协方差，表示 观测值之间的误差相关关系。,第三节 观测向量的精度,2、观测向量的方差阵 主对角线上的元素为相应观测值的方差，其余元素为两个观测值的协方差 如果观测向量相互均不相关，则所有非对角线元素为零,第三节 观测向量的精度,练习,第三节 观测向量的精度,练习,第四节 误差传播律,实际工作中，往往会遇到某些量的大小不是直接测定，而是由观测值通过一定的函数关系计算出来的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。 观测值函数的中误差与观测值的中误差之间，存在着怎样的关系？ 中误差可由相应的方差开方得到，所以可通过方差和协方差的运算规律来导出。,第四节 误差传播律,1、线性函数 若观测值间独立，则函数的方差为: 若观测值间不独立，则函数的方差为：,第四节 误差传播律,1、线性函数,第四节 误差传播律,1、线性函数,第四节 误差传播律,1、线性函数 倍乘函数 和（差）函数,1、观测量独立时？ 2、n个独立观测量？ 3、各观测值精度相同时？,第四节 误差传播律,练习 在1：500的图上，量得某两点的距离d=20.5mm，d的量测中误差 ,求该两点实地距离S及其中误差。,第四节 误差传播律,例题 如图所示,观测了、三个角度,已知其中误差分别为12、24 、24 ，求角度的中误差。,第四节 误差传播律,例题 用钢尺分五段测量某距离，得到各段距离及其相应的中误差如下，试求该距离S的中误差及相对中误差。 S1=50.350m1.5mm S2=150.555m2.5mm S3=100.650m2.0mm S4=100.450m2.0mm S5=50.455m1.5mm,第四节 误差传播律,例题 同精度观测三角形的三个内角L1、L2、L3，其相应中误差为，且观测值之间相互独立。试求：三角形闭合差的中误差；将闭合差平均分配后角A的中误差。,第四节 误差传播律,练习 导线的转折角的中误差为 求方位角 的中误差。,第四节 误差传播律,练习 随机向量L的协方差阵为： 求 的方差。,第四节 误差传播律,练习,第四节 误差传播律,2、一般函数,第四节 误差传播律,例题 已知长方形的厂房，经过测量，其长x的观测值为90m，宽y观测值为50m，中误差分别为2mm、3mm，求其面积及相应的中误差。,第四节 误差传播律,练习 已知观测值L1、L2的中误差1=2=，12=0，设X=2 L1 +5, Y= L1 -2 L2, Z= L1 L2, t=X+Y，试求X、Y、Z和t的中误差。,第四节 误差传播律,练习 设有观测值向量L=L1 L2 L3T，其协方差阵为 试分别求下列函数的方差： F1=L1-3L3； F2=3L2L3,第四节 误差传播律,练习 由已知点A丈量距离S并测量坐标方位角，借以计算P点的坐标。观测值及中误差为S=127.00m0.03m, =30002.5,设A点坐标无误差，试求待定点P的点位中误差P。,第四节 误差传播律,第四节 误差传播律,练习 设测得导线边长 ， 坐标方位角 ，试求纵横坐标增量 的中误差。,第四节 误差传播律,多个观测向量线性函数的方差阵 若观测向量的多个线性函数为： 于是，观测向量的多个线性函数可写为Z=KX+K0 方差为：,第四节 误差传播律,多个观测向量线性函数的方差阵 若还有观测向量的另外r个线性函数：,第四节 误差传播律,练习 设有观测值向量L=L1 L2 L3T，其协方差阵为 现有函数1=L1L2；2=2L1-L3，试求函数的方差D1 、D2和互协方差D1 2,第五节 误差传播律在测量中的应用,1、水准测量的精度 设经过n个测站测定A、B两水准点间的高差，且第i站的观测高差为hi，则A、B两点的总高差hAB为： hAB= h1+ h2+ .+hn 设各测站观测高差的精度相同，其中误差为站，则：,第五节 误差传播律在测量中的应用,1、水准测量的精度 若水准路线布设在平坦地区，则各测站的距离s大致相等，令A、B两点间的距离为S，测站数 ，则 如果S及s均以公里为单位，则 表示单位距离(1km)的测站数， 就是单位距离观测高差的中误差。,第五节 误差传播律在测量中的应用,1、水准测量的精度 当各测站高差的观测精度相同时，水准测量中高差的中误差与测站数的平方根成正比 当各测站的距离大致相等时，水准测量中高差的中误差与距离的平方根成正比,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设多少站？,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 在已知水准点A、B(其高程无误差)间布设水准路线，路线长为S1=2km，S2=6km，S3=4km，设每公里高差中误差=1.0mm，试求： (1)将闭合差按距离分配之后P1、P2两点间高差中误差 (2)分配闭合差后P1点高程的中误差。,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 若要在两已知高程点间布设一条附合水准路线,已知每千米观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点C高程中误差不大于10mm,问该线路长度最多可达几千米?,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习,第五节 误差传播律在测量中的应用,2、导线边方位角的精度 当支导线以同样的精度测得n个转折角(左角)1、2、 、n，它们的中误差均为。第n条导线边的坐标方位角为：,第五节 误差传播律在测量中的应用,2、导线边方位角的精度 则第n条导线边的坐标方位角的中误差为： 支导线中第n条导线边的坐标方位角的中误差，等于各转折角之中误差的 倍。,第五节 误差传播律在测量中的应用,3、同精度独立观测值的算术平均值的精度 设对某量同精度独立观测n次，其观测值为L1、 L2、Ln、，中误差均为，取n个观测值的算术平均值作为该量的最后结果，即： 由误差传播律，可得算术平均值的中误差为：,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 有一角度测4测回，得中误差0.42，问再增加多少测回其中误差为0.28？,第五节 误差传播律在测量中的应用,4、若干个独立误差的联合影响 一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响，此时，观测结果的中误差可看成各个独立误差的代数和。,第五节 误差传播律在测量中的应用,5、根据实际要求确定部分观测值的精度 在测量实际工作中，常出现为了使观测值函数的精度达到某一预定值的要求，反推观测值应具有的精度。 在制定有关测量观测精度的规范中常采用这种方法。,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 一个三角形观测其两个内角和，第三个内角为，若已知角的测角中误差为 ，要求角的中误差 ，问角的测角精度不能低于多少？,第五节 误差传播律在测量中的应用,练习 ABC为等边三角形，观测边长和角度得观测值为bb=1000m0.015m，=600000，且= 。为使算得的边长a具有中误差a =0.02m,试问角和的观测精度应为多少？,第五节 误差传播律在测量中的应用,第六节 权与定权的常用方法,1、权的概念 在一组不等精度的观测值中，由于观测值的精度不同，观测值的可靠程度也不同。 观测值精度越高，可靠程度越大，否则，可靠程度越小 在数据处理时，不能将这些观测值等同看待，需要确定观测值在计算中所占的比重。,第六节 权与定权的常用方法,举例 已知角A=302536，观测两次A1=3025342，A2=3025424，求角A最或是值及其中误差。,第六节 权与定权的常用方法,1、权的概念 如果观测值的观测精度不相同，在做数据处理时，不能将观测值等同看待，而应该让精度高的观测值参与计算所占的比重大一些，精度低的观测值参与计算所占的比重小一些，并且二者的比重关系还必须适当。 权P：衡量不同精度观测值在进行数据处理时所占分量的轻重。,第六节 权与定权的常用方法,2、权与单位权 1）单位权中误差 当P=1时，0= i ，就是说0是权为1的观测值的中误差。 权为1的观测值称为单位权观测值，与之相应的中误差称为单位权观测值的中误差，简称单位权中误差。,第六节 权与定权的常用方法,2、权与单位权 2）权的意义 权的大小可衡量观测值精度的高低： 观测值的权除与自身中误差有关外，还取决于单位权中误差0的大小， 0大小可以任意选取，只会改变观测值自身权的大小， 0一旦确定，观测值之间权的比例关系保持不变。 权不唯一 权的意义在于它们之间的相对意义，对一个观测值单纯谈论权的大小毫无意义。 0可以任意选取，在同一问题中只能选定一个0值，不能同时选定几个不同的数值，否则就破坏权之间的比例关系，失去观测值权的意义。,第六节 权与定权的常用方法,2、权与单位权 3）权与中误差的区别 权是一组观测值的相对精度指标，这组观测值可以是同类性质的，也可以是不同类性质的观测值。 中误差是表征精度的绝对的数字指标 权是表征精度的相对的数字指标。,第六节 权与定权的常用方法,2、权与单位权 4）权的单位 同类观测值，权是无量纲单位 不同类观测值，权的单位确定,第六节 权与定权的常用方法,练习 设某角的三个观测值及其中误差分别为：3041202.0 3041264.0、 3041161.0，现分别取2.0、 4.0、 1.0作为单位权中误差，计算三组不同的观测值权，再按各组权分别计算这个角的加权平均值及其中误差。,第六节 权与定权的常用方法,练习 不相同精度观测角A和角B，其权分别为 已知B=8，试求单位权中误差和角A的中误差。,第六节 权与定权的常用方法,3、测量中定权的常用方法 运用公式定权，必须事先知道观测值的中误差。实际作业中，观测值的中误差往往在平差计算后才能得到，而平差计算前必须知道观测值的权，可见采用基本方法定权有时很难实现。,第六节 权与定权的常用方法,3、测量中定权的常用方法 1）水准测量的权 设在水准测量中，每一测站观测高差的精度相同，且中误差为站 。若第i条水准路线共有ni站，这段水准路线观测的高差中误差为： 令C个测站测得的高差中误差为单位权中误差，即 水准测量中高差的权为：,第六节 权与定权的常用方法,3、测量中定权的常用方法 1）水准测量的权 常数C的含义 当ni=1，Pi=C：C是1测站的观测高差的权 当Pi=1， ni =C： C是单位权观测高差的测站数,第六节 权与定权的常用方法,练习 设某水准网由4条路线组成，各路线的观测高差分别为h1、h2、h3、h4，已知各路线的测站数为n1=20、n2=40、n3=80、n4 =10，且各测站观测高差的精度相同，试确定各观测高差的权，并指出一个测站的观测高差的权。,第六节 权与定权的常用方法,3、测量中定权的常用方法 1）水准测量的权 如果已知单位距离（1km）的观测高差中误差相等，设为km ，第i条水准路线的距离为Sikm，这段水准路线观测高差中误差为： 令Ckm观测高差中误差为单位权中误差，即 水准测量中高差的权为：,第六节 权与定权的常用方法,3、测量中定权的常用方法 1）水准测量的权 常数C的含义 当Si=1，Pi=C：C是1公里观测高差的权 当Pi=1， Si =C： C是单位权观测高差的公里数,第六节 权与定权的常用方法,练习 设路线的四条线路长度为S1=3km、S2=4km、S3=6km、S4 =12km，设每公里观测高差的精度相同，已知第4条线路观测高差的权为2，试求其他线路的权，并指明单位权观测值。,第六节 权与定权的常用方法,3、测量中定权的常用方法 1）水准测量的权 在水准测量中，究竟用水准路线的距离定权，还是用测站数定权，一般是这样理解的： 当地形起伏不大的地区，每公里的测站数基本相同，则用水准路线的距离定权； 当地面起伏较大时，每公里的测站数相差较大，则按测站数定权。,第六节 权与定权的常用方法,3、测量中定权的常用方法 1）水准测量的权 水准网中的所有水准路线都是按同一等级的水准测量规范的技术要求进行观测的，那么一般就可以认为每公里观测高差的精度是相同的，即假定每公里观测高差的中误差为公里。,第六节 权与定权的常用方法,练习 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A、B、C之间的高差，设该三角形边长分别为S1=10km，S2=8km，S3=4km令40km的高差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。,第六节 权与定权的常用方法,练习 设已知点A、B之间的附合水准路线长为80km，令每公里观测高差的权等于1，求平差后线路中点（最弱点）C点高程的权及该点平差前的权。,第六节 权与定权的常用方法,练习 由已知水准点A、B和C向待定点D进行水准测量，以测定D点高程。各线路长度为S1=2km，S2=S3=4km， S4=1km，设2km线路观测高差为单位权观测值，其中误差0=2mm，试求D点高程最或是值（加权平均值）的中误差D。,第六节 权与定权的常用方法,第六节 权与定权的常用方法,3 测量中定权的常用方法 2)三角高程的权 用三角测量推算的高差观测值，其精度随边长的增加而急剧下降，其两点间高差观测值权的计算公式为： Si为任意一边的水平距离；C为任意常数,第六节 权与定权的常用方法,3 测量中定权的常用方法 3)同精度观测值的算术平均值的权 设L1、L2 Ln分别是N1、N2Nn次同精度观测值的算术平均值，若每次观测值的中误差均为，则Li的中误差为： 令 ，则Li的权为：,第六节 权与定权的常用方法,3 测量中定权的常用方法 3)同精度观测值的算术平均值的权,第六节 权与定权的常用方法,练习 某人对三个角L1、L2、L3同精度分别观测3个测回、6个测回、12个测回，试求：(1)三个角的平均值的权；(2)单位权观测值的测回数；(3)一测回的权。,第六节 权与定权的常用方法,练习 设n个同精度观测值的权为P，其算术平均值的权为 ，问P与 的关系如何？,第六节 权与定权的常用方法,练习 设对角A进行4次同精度独立观测，一次测角中误差为2.4，已知4次算术平均值的权为2。试问：(1)单位权观测值是什么？(2)单位权中误差等于多少？(3)欲使角A的权等于6，应观测几次？,第六节 权与定权的常用方法,练习 设对某一长度进行同精度独立观测，已知一次观测中误差=2mm，设4次观测值平均值的权为3。试求：(1)单位权中误差；(2)一次观测值的权；(3)欲使平均值的权等于9，应观测几次？,第六节 权与定权的常用方法,4 协因数与协因数阵 1)观测值的协因数 由权的定义可知，观测值的权与它的方差成反比，设有观测值Li和Lj ，它们的方差分别为i2和j2 ，它们之间的协方差为ij ，令,第六节 权与定权的常用方法,4 协因数与协因数阵 1)观测值的协因数 观测值的协因数与方差成正比，因而协因数与权有类似作用，也是比较观测值精度高低的一种指标。 互协因数与协方差成正比，是比较观测值之间相关程度的一种指标。 互协因数的绝对值越大，表示观测值相关程度越高，反之越低。 互协因数为零，表示观测值之间不相关，也称为独立观测。,第六节 权与定权的常用方法,4 协因数与协因数阵 2)协因数阵 当一组观测值L1、L2Ln构成观测值向量 ，每个观测值均有自己的协因数，任意两个观测值之间也有互协因数，与向量的方差阵类似，定义观测向量L的协因数阵：,第六节 权与定权的常用方法,4 协因数与协因数阵 2)协因数阵 主对角线上的元素分别为各个观测值的协因数(权倒数)，非主对角线上的元素为相应观测值之间的互协因数（相关权倒数），Qij= Qji 当观测值之间相互独立时,第六节 权与定权的常用方法,4 协因数与协因数阵 3)权阵 协因数阵可以表示观测向量的相对精度，但在相关平差计算中，常常直接用其逆阵参与运算，定义协因数阵的逆阵为观测向量的权阵，用P表示：,第六节 权与定权的常用方法,4 协因数与协因数阵 3)权阵 对单个观测值来说，相对精度指标为权和协因数，二者互为倒数；对观测向量来说，相对精度指标为协因数阵和权阵，二者互为逆阵关系。 观测值的协因数均可在其观测向量的协因数阵中（主对角线上的元素）找出，而观测值的权不一定能在其观测向量的权阵中找出。 若观测值之间相互独立，权阵为对角阵，主对角线上元素为相应观测值的权； 若观测值之间不相互独立，权阵中主对角线上元素不是相应观测值的权，但它们之间的比例关系与观测值间的比例关系相同,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知观测向量L的协因数阵为 ，试求观测值的权PL1、PL2。,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知观测向量L的权阵为 ，试求观测向量L的协因数阵及观测值L1、L2的权。,第六节 权与定权的常用方法,例题 已知观测向量L的权阵为 ，单位权方差为3，试求,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知观测向量L的方差阵为 ，以及L1的协因数 ，试求单位权方差、权阵和权PL1、PL2。,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知观测向量L的方差阵为 ，单位权方差 为2，现有函数F=L1+3L2-2L3，试求函数F的方差和协因数。,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知观测向量 的权阵为 ，试求PXX、PYY、PX1、PX2、Py。,第六节 权与定权的常用方法,5 协因数及权倒数传播律 1)协因数传播律 由协因数传播公式得到观测向量X的函数向量Z=KX的协因数传播公式：,第六节 权与定权的常用方法,5 协因数及权倒数传播律 1)协因数传播律,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知观测向量L的协因数阵为 ，试求向量 的协因数阵。,第六节 权与定权的常用方法,练习 在测站O上观测了、三个角度，构成观测向量L=（ ）T，已知其协因数阵为： 求角度的协因数。,第六节 权与定权的常用方法,练习,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知观测向量L的协因数阵为 ，设有函数 ，试求协因数阵QYY，QYZ，QZZ，QYW，QWW。,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知观测向量L的方差阵为 ，观测值L1的权 PL1=1，现有函数F1=L1+3L2-4， F2=5L1-L2+1，试求：(1) F1与F2是否统计相关？(2) F1与F2的权PF1、 PF2。,第六节 权与定权的常用方法,练习 如图，令方向观测值li(i=1,2,10)的协因数阵Qll=I，试求角度观测值向量L的协因数阵QLL,第六节 权与定权的常用方法,第六节 权与定权的常用方法,5 协因数及权倒数传播律 2)权倒数传播律 当观测值L1,L2,Ln之间相互独立时，组成观测向量L，其协因数阵为对角阵，即： 设有独立观测值函数Z=f(L1,L2,Ln)，则函数协因数,第六节 权与定权的常用方法,5 协因数及权倒数传播律 非线性函数的协因数 设有观测向量X的非线性函数: Z=f(X)=f(x1,x2,xn) 当各观测值相互独立时，函数协因数为：,第六节 权与定权的常用方法,练习 已知独立观测值Li的权为Pi，求加权平均值的权。,第六节 权与定权的常用方法,练习 设有一系列不等精度的独立观测值L1、L2和L3，它们的权分别为P1、P2和P3，试求下列各函数的权倒数（协因数）：,第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用,由中误差定义看出，要想计算出中误差，必须已知观测值真误差，而要求出观测值真误差，必须已知观测值真值，但真值往往是未知的，因而就无法利用定义式计算观测值中误差。 特定环境下，由观测值构成的函数真值已知可求出函数值的中误差，再利用误差传播律反求观测值的中误差。,第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用,1 由三角形闭合差计算测角中误差 设在一个三角网中，以同精度独立分别观测n个三角形的三个内角。由各观测值计算出n个三角形内角和的真误差(三角形闭合差)12n,则三角形内角和的中误差为： 由于三角形的内角和是三内角观测值的和，即： 则有：,菲列罗公式：主要用于三角网的外业结束后估算测角中误差。 三角形个数不宜太少。,第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用,2 用不同精度的真误差计算单位权中误差 设一系列非等精度观测值及其对应的真误差和权为： 将非等精度观测值Li乘以相应权Pi的平方根，组成一组虚拟观测值Li，则Li与Li关系为： 虚拟值Li中误差为：,第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用,2 用不同精度的真误差计算单位权中误差 说明虚拟观测值的中误差相同，且都等于单位权中误差，故可以把虚拟观测值看作等精度的观测值，其权为1，所以求单位权中误差，实际上就是求虚拟观测值的中误差。 这就是利用非等精度观测值的真误差计算单位权中误差的计算公式。,第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用,3 由双观测值之差计算中误差 在测量工作中，经常