A3(第十二章第1、2、3、4节.ppt

2019年6月22日星期六,1,1 对弧长的曲线积分,（又称第一类曲线积分）,第十二章 曲线积分与曲面积分,2019年6月22日星期六,2,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,1. 引例：求曲线形构件的质量。,设一曲线形构件位于xoy平面上的一段 曲线弧 L 上, 线密度 (x, y)为 L 上的连续函 数，求该曲线形构件的质量 M。,光滑曲线,- 具有连续转动切线的曲线。,2019年6月22日星期六,3,A,B,思想方法：,(1) 分割：,插入分点：,设,每一小弧段长,(2) 取近似：,则小弧段质量：,2019年6月22日星期六,4,(3) 求和：,(4) 取极限:,2019年6月22日星期六,5,2、定义,设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧段，,M1, M2, , Mn-1 把 L 分成,若和式的极限,则称此极限值为,f (x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分。,函数 f (x, y) 在L上有界，,用L上的任意点,2019年6月22日星期六,6,也称为第一类曲线积分。记作,L 积分弧段（积分路径）,ds 弧元素,说明:,(1) f (x, y) 在 L 上连续, 则曲线积分必存在。,(2) f (x, y)虽为二元函数, 但点(x, y)被限制在L上,变量 x, y 不独立, 须满足曲线 L 的方程。,(3)若L是光滑闭曲线, 常记成,(4)推广到空间曲线, 有,2019年6月22日星期六,7,3. 性质,(与定积分性质相仿),(3) 若L是分段光滑的曲线段，即,2019年6月22日星期六,8,(4) 设在 L 上，,则,(5) (积分中值定理),设 f (x, y) 在 L 上连续，,则必存在,使得,其中 l 为 L 的长度。,2019年6月22日星期六,9,第一类曲线积分的对称性,(1) 如曲线 L 关于 y 轴对称，L1 是 L 的 部分，,(2) 若交换 x, y 两变量时，L的方程不变，则,- 轮换对称性,2019年6月22日星期六,10,二、对弧长的曲线积分的计算法,定理:,且,L 的参数方程为：,则曲线积分,存在，,且,2019年6月22日星期六,11,说明:,ds 弧长元素 (弧微分),(1),(2),2019年6月22日星期六,12,(3),(4),(5),上述所有计算公式中，等式右边的定积分,的积分下限都必须小于上限。,2019年6月22日星期六,13,一段弧(如图).,例1:,A,B,A (0, a),解：,法一：,选 x 为积分变量，,L：,a,2019年6月22日星期六,14,一段弧(如图).,法二：,选 y 为积分变量，,L：,A,B,a,2019年6月22日星期六,15,一段弧 (如图).,法三：,L 用参数方程表示:,A,B,a,t,2019年6月22日星期六,16,1,2,2,例2：,A,B,解：,o,2019年6月22日星期六,17,例3：,解：,L,利用极坐标。,a,利用对称性, 有,2019年6月22日星期六,18,例4：,解：,因为 L 关于 x 轴对称，,2xy 关于 y 是奇函数，,2019年6月22日星期六,19,课 外 作 业,习题12 1 (A),1(3), 2,习题12 1 (B),1(1, 4),2019年6月22日星期六,20,2. 对坐标的曲线积分 (第二类曲线积分),一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 求变力沿曲线所作的功。,常力作功:,变力作功,力 f (x) 的方向与运动方向一致,2019年6月22日星期六,21,思想方法: (元素法),x,y,A,B,(1)插入分点 M1(x1, y1) , ,Mn-1(xn-1, yn-1),n个有向小弧段,M1,Mn-1,Mi-1,Mi,将L任意分成,设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧L从A移动到,的作用，其中P, Q在,B。移动过程中，这质点受到变力,L上连续。现计算在上述移动过程中变力所作的功。,2019年6月22日星期六,22,x,y,A,B,Mi-1,Mi,(2),则由常力:,近似代替,则,2019年6月22日星期六,23,(3),(4),取极限,2019年6月22日星期六,24,2、定义,设 L 为 xoy 平面上从点A到B的一条有向,光滑曲线, 函数 P(x, y) 、Q(x, y) 在 L 上有界。,分成 n个有向小弧段,则称此极限值,把 L,2019年6月22日星期六,25,为函数 P(x, y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x,的曲线积分, 记作,同理,则称此极限值为函数 Q(x, y) 在有向曲线弧,常用其组合形式：,统称为第二类曲线积分。,L上对坐标 y 的曲线积分, 记作,2019年6月22日星期六,26,说明：,1),P(x, y), Q(x, y) 中的 x, y 受 L 的限制而相互有关。,2),对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关。,3),前述变力作功,(有向弧元素),变号,2019年6月22日星期六,27,4),对空间曲线 L, 有,5),在 L 上连续,则此曲线积分必存在。,2019年6月22日星期六,28,3、性质,(1),设有向曲线 L, L 与 L 方向相反,则有:,(2),其余性质类似于对弧长的曲线积分。,注：第一类曲线积分没有这一性质。,2019年6月22日星期六,29,二、对坐标的曲线积分的计算法,设曲线L由参数方程,一阶连续导数, 且,又函数 P(x, y), Q(x, y) 在L上连续,L 的起点 A,终点 B,描出有向曲线 LAB ,2019年6月22日星期六,30,起点 A (x = a), 终点 B (x = b),f (x) 在 a, b 或 b, a 上有连续导数, 则,特例：,2019年6月22日星期六,31,起点 A ( y = c ), 终点 B ( y = d ),g(y) 在 c, d 或 d, c 上有连续导数, 则,2019年6月22日星期六,32,空间曲线:,起点 A,终点 B,2019年6月22日星期六,33,例1.,(1) L: 圆心为原点,半径为1, 按逆时针方向绕行,的上半圆周。,A,B,1,-1,解：,2019年6月22日星期六,34,(2) L: 直线 AB.,A,B,1,-1,解：,= 0.,2019年6月22日星期六,35,(3) L: 折线 ACB.,A,B,C,1,-1,解：,1,0,0,-1,路径不同, 值不同。,2019年6月22日星期六,36,例2.,(1),(2),A,0,1,0,1,= 1.,2019年6月22日星期六,37,A,B,(3),0,1,0,1,路径不同, 值却相同。,2019年6月22日星期六,38,例3.,: 由点 (1, 1, 1) 到点 (2, 3, 4) 的直线段。,解：,求 的方程。, 的方向向量：, 的方程：,其参数式：,(t +1),d(t +1),+ (2t +1),d(2t +1),+ (t +1),+ (2t +1), 1d(3t +1),0,1,2,3,dt,= 13.,2019年6月22日星期六,39,三、两类曲线积分之间的联系,设有向线段 L:,其中,2019年6月22日星期六,40,类似有，,切线向量的方向余弦。,2019年6月22日星期六,41,例：,解：,其方向余弦,曲线上点 (x, y) 处,的切线的方向向量为:,2019年6月22日星期六,42,二者夹角为 ,例: 设,曲线段 L 的长度为 s, 证明,证:,设,在 L 上连续,2019年6月22日星期六,43,课 外 作 业,习题12 2 (B),1(1), 2, 4, 5,2019年6月22日星期六,44,3. 格林公式及其应用,一、格林公式,( Green 1793 1841 英 ),在一元函数积分学中, 牛顿 莱布尼茨公式：,表示：,f (x) 在区间a, b上的积分可以用它的原函数,现在要介绍的格林公式，,上的二重积分也可以用沿闭区域 D的边界曲线,F(x) 在这个区间端点上的函数值来表达。,表示在平面闭区域 D,L上的曲线积分来表达。,2019年6月22日星期六,45,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,平面区域的连通性的分类：,2019年6月22日星期六,46,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D内在他附近的那一部分总在他的左边, 则他行走的方向就是边界曲线L的正向。,2019年6月22日星期六,47,定理1,格林公式,2019年6月22日星期六,48,例1.,D,由格林公式：,解：,2019年6月22日星期六,49,A,B,D,解:,作辅助线:,C,用格林公式？,非闭曲线。,2019年6月22日星期六,50,A,B,D,C,2019年6月22日星期六,51,格林公式的简单应用:,2019年6月22日星期六,52,例4：利用曲线积分，求下列曲线所围的图形的,星形线,解：,面积 A =,面积：,0,y,x,2019年6月22日星期六,53,设函数 P(x, y), Q(x, y) 在单连通域 G 内,二、 四个等价命题,定理2.,(1),(2),的值与路径无关，只与起点 A 与终点 B 有关。,(3),(4),具有一阶连续偏导数, 则下列四命题等价:,2019年6月22日星期六,54,证明：,设G内闭曲线 L由,A,B,L1,L2,G,即曲线积分与路径无关，只与 A, B 点有关。,2019年6月22日星期六,55,积分与路径无关，仅与起点,.,.,2019年6月22日星期六,56,P, Q 有一阶连续偏导数，,2019年6月22日星期六,57,对 G 内任一条闭曲线 L，其所围区域,由格林公式：,说明：,(1),常用 (4),来判定 (1)、(2)、(3) 的成立。,2019年6月22日星期六,58,(2),.,.,2019年6月22日星期六,59,(3),四个等价命题只适用于单连通域，,不适用于多连通域。,例：,在闭区域 D 上，,多连通域,x,o,y,D,。,在此 D 上四个命题不再等价.,2019年6月22日星期六,60,例1：,证明：,与路径无关，并求,证：,积分与路径无关。,x,y,.(1,1),.(1, 1),2019年6月22日星期六,61,例2：,计算,积分与路径无关。,解：,2019年6月22日星期六,62,证：,2019年6月22日星期六,63,。,2019年6月22日星期六,64,例4：,其中：(1) C1不包围也不通过原点的任意,无重点闭曲线。,(2) C2以原点为中心的正向单位圆。,(3) C3包围原点的任意无重点正向闭曲线。,解：,除原点外，,2019年6月22日星期六,65,(1) C1 不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线,即所围闭区域 D1为单连通域，,在 D1 上, 都有,(2) C2 以原点为中心的正向单位圆,D1,D2,1,C1,C2,在(0,0)点,P, Q 无一阶连续偏导数，,不可用等价命题！,由定义求。,2019年6月22日星期六,66,D3,C2,C3,(3) C3 包围原点的任意无重点正向闭曲线。,D3 中含有 P, Q 的不连续点(原点),为排除原点，,为边界曲线的平面区域,上, 恒有,C2 为圆周(取如图方向)。,加辅助线 C2，,2019年6月22日星期六,67,课 外 作 业,习题12 3(A),4(2), 5(2), 6(2),1(2, 3), 3, 5,习题12 3(B),2019年6月22日星期六,68,4. 对面积的曲面积分,（又称第一类曲面积分）,一、对面积的曲面积分的概念与性质,1. 引例,求曲面型构件的质量。,设有一张曲面, 其边界曲线是分段光 滑的闭曲线, 且曲面光滑, 面密度 (x, y, z) 在上连续，求曲面的质量。,2019年6月22日星期六,69,x,y,z,0,(1) 任分为 n 块小曲面,(2) 任取一点,则小曲面的质量：,(3),(4),.,2019年6月22日星期六,70,2. 定义,(1),(2),(3),(4),则称此极限值为f (x, y, z)在曲面上,对面积的曲面积分。,若,2019年6月22日星期六,71,记作, 积分曲面,dS 曲面面积元素,可见，曲面形构件的质量：,又称为第一类曲面积分，,2019年6月22日星期六,72,说明：,(1),f (x, y, z) 虽为三元函数，但点(x, y, z)被,限制在曲面上, 变量 x, y, z 不相互独立，,而依赖于曲面的方程。,(2),(3),若 f (x, y, z) 在光滑曲面 上连续，则,上述曲面积分存在。,(4),其性质与第一类曲线积分相仿。,特别，,若是闭曲面, 则记作,2019年6月22日星期六,73,二、对面积的曲面积分的计算法,设曲面 ：z = z (x, y),(1),(2),(3),z = z(x, y) 在Dxy 上具有连续偏导数；,f (x, y, z) 在光滑曲面上连续；,2019年6月22日星期六,74,同理：,2019年6月22日星期六,75,例1：,内部的部分。,把1 投影到 xoy 平面，,解：,2019年6月22日星期六,76,内部的部分。,解：,把2 投影到 xoy 平面，,例1：,2019年6月22日星期六,77,所围区,解：,域的边界曲面。,例1：,2019年6月22日星期六,78,例2.,1,1,1,