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1,第九节 连续函数的运算法则与初等函数的连续性,四则运算的连续性,反函数与复合函数的连续性,小结,初等函数的连续性,第一章 函数与极限,定理1,如,则,由于,1、四则运算的连续性,也在点 x0连续;,在其定义域内连续.,在点 x0连续;,在点 x0连续.,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,定理2,故,同理,2、反函数与复合函数的连续性,单调增加,且连续,单调的连续函数,必有单调的连续反函数.,也是单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,定理3,设函数,是由函数,与函数,复合而成,而函数,连续,则,注意,可交换次序;,2. 变量代换,的理论依据.,1. 在定理的条件下,即：,3. 把,例,解,Ex.,定理4,设函数,是由函数,与函数,复合而成,连续,而函数,连续,则复合而成,也连续.,若函数,例如,是由连续函数链,因此,复合而成 ,例 .,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角函数及反三角函数,(1),(2),(3),是连续的;,3、初等函数的连续性,单调且连续;,指数函数,对数函数,单调且连续;,(均在其定义域内连续 ),(4),幂函数,连续;,讨论,不同值.,在它们的定义域内,定义区间是指包含在定义域内的区间.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数 在定义区间内 连续,例,例,解,解,初等函数求极限的方法,注,代入法.,例. 求,解:,原式,例. 求,解:,原式,幂指函数: 形如 u(x)v(x) (u(x)0, u(x)1)的函数,若,则,注: 这里三个lim都表示在同一自变量变化过程中的极限.,例,例,例,例. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,求极限的又一种方法.,思考与练习,作业 P70 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6,1.
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