ch4-5可降阶的二阶ch4-6解的结构.ppt

2019/6/22,第五节 可降阶的二阶微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,四、可降阶二阶微分方程的应用举例,第四章,2019/6/22,一、 型的微分方程,特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分二次即得通解 .,解,例1,逐次积分的解法可用于解高阶微分方程,解法: 只要连续积分 n 次即得通解 .,2019/6/22,二、 型的微分方程,特点：,解法：,可得通解.,关于P(x)的一阶微分方程,方程不显含未知函数 y ，,则, 代入原方程, 得,但显含 x .,如,2019/6/22,例2,已知一曲线满足方程 ，,其在(0,1)处的切线为y= 2x+1, 求该曲线.,解,代入得,解线性方程, 得,两端积分,得原方程解为,故所求原方程的解为:,2019/6/22,三、 型的微分方程,关于P(y)的一阶微分方程,特点：,解法：,则,解出P(y).,代入原方程, 得,将 P 代入 后,可求得原方程的通解,但显含 y .,方程不显含 x ，,如,2019/6/22,解,代入原方程得,原方程通解为,例 3,（即作业P88 二5）,2019/6/22,四、可降阶二阶微分方程的应用举例,例 交通事故的勘察,在公路交通事故的现场,常会发现事故车辆的车轮底下留有一段拖痕.这是紧急刹车后制动片抱紧制动箍使车轮停止了转动,由于惯性的作用,车轮在地面上摩擦滑动而留下的.,如果在事故现场测得拖痕的长度为10m,那么事故调查人员是如何判定事故车辆在紧急刹车前的车速的？,10,2019/6/22,10,解：,设拖痕所在直线为 x 轴，,拖痕的起点为原点，,车辆的滑动位移为x(t),滑动速度为v(t).,经测定摩擦系数为 =1.02.,则,设t1为滑动停止时刻，,则,滑动过程只受摩擦力f =,mg,2019/6/22,五、小结,解法,通过代换将二阶微分方程化成一阶微分方程来求解.,2019/6/22,练 习 题,2019/6/22,练习题答案,2019/6/22,第六节 线性微分方程解的结构,一、二阶线性微分方程概念,二、线性微分方程的解的结构,第四章,2019/6/22,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,特点:方程左边关于 y, y 及 y 都是一次的,一、二阶线性微分方程概念,2019/6/22,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程的一个特解 (C=0),回顾,2019/6/22,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶线性齐次方程解的结构:,定理1,问题:,例：设 y1 为 (1) 的解 , 则 y2=2 y1 是 (1) 的解, 但是 , y=C1 y1+C2 y2 不为 (1) 的通解 .,不一定,2019/6/22,定义:若在区间,I,上有,则称函数,与,在,I,上,线性无关,.,例如,2019/6/22,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,2019/6/22,例2 设 是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用 表示方程的通解.,( 如作业P87 一4),2019/6/22,解的叠加原理,2019/6/22,n 阶线性微分方程,二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:,2019/6/22,四、小结,主要内容,2、二阶线性微分方程解的结构定理,1、函数的线性相关与线性无关；,2019/6/22,补充内容,可观察出一个特解,2019/6/22,思考题,思