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第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、相关变化率,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、对数求导法,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,解,所求切线方程为,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6,解,四、相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,例7,解,仰角增加率,内容小结,1. 隐函数求导法则：直接对方程两边求导,2. 对数求导法 : 对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导；适用于幂指函数及某些用连乘、连除表示的函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,3. 参数方程求导法: 实质上是利用复合函数求导法则;,注意：求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,已知,4. 相关
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