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微积分讲课提纲,微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:,第二节 函数的微分,一.微分的概念,微分的基本性质,三.近似计算与误差估计,一、微分的定义,面积的改变量：,因此,微分,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,定义,(微分的实质),由定义知:,2) 式中的 A 究竟等于什么?,问题：,定理,证,(1) 必要性,可微与可导的关系,(2) 充分性,例,解,x,y,0,P,Q,T,N,是曲线的切线上点的纵坐标相应的增量.,因此，在点M的邻近可用切线段近似代替曲线段.,二、微分的几何意义,三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则,函数的微分的表达式,求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例,解,四. 复合函数的微分法则,按微分的定义,但,故,定理,在点 x0 处可微.,证：,当u为中间变量时的微分形式与u为自变量时的微分的形式相同，均为dy =f(u)du ,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性 .,例.,求,解,另解,利用微分形式的不变性,令,再解,例.,求,解,另解,例.,求,解,另解,于是 xdy-ydx=xdx+ydy, .,例 设由 确定y为x的函数,求dy.,解 应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有,导数与微分的区别:,五、参数式函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,例,解,所求切线方程为,星形线是一种圆内摆线,例,解,例,解,例,解,解,例,再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,O,建立了极坐标系的平面称为极坐标平面,引一条射线OX，,叫做极轴。,在平面内取一定点O，叫做极点。,六、极坐标方程确定函数的导数,.极坐标系,对于平面内异于极点O的任意一点M，|OM| =叫做点M的极径(向径)，以极轴OX为始边、射线OM为终边的角 叫做点M的极角，有序实数对（，）就叫做点M的极坐标。,当M在极点时，它的极径=0，极角可以取任意值。此时点M的极坐标是（0，）,极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示。,2.极坐标与直角的互化,M,七. 近似计算与误差估计,例,解,.计算函数增量的近似值,2、计算函数的近似值,例,解,常用近似公式,证明,例,解,3、误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.,定义：,问题:在实际工作中,绝对误
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