数学建模课程设计综合问题集锦

1、药物吸收问题设表示时刻体内药量，药物经口服吸收而进入血内，因代谢而逐步消除药物(排泄). 已知在t = 0时口服含X(克)剂量的药物后血内药物剂量 (纳克) (1纳克=克)与时间t (小时)的关系为，其中为未知的吸收速度常数，F为未知的吸收比例常数，K为未知的消除速度常数.现有一体重60千克的人在t =T1= 0时, 第一次口服某药(含剂量X=0.1(克)，测得不同时间的血药浓度数据如下:0.511.522.5357304.7508.75639.04715.6753.54763.94666.95509.51013151820312.83185.64130.2676.3953.37注:血药浓度 (纳克/毫升), V表示未知血液容积(毫升). 问题：设相同体重的人的药物代谢的情况相同.1. 问一体重60千克的人第一次服药X=X1=0.1克剂量后的最高血药浓度Cmax(纳克/毫升);2. 为保证药效, 在血药浓度降低到437.15纳克/毫升时应再次口服药物, 其剂量应使最高浓度等于Cmax(纳克/毫升). 求第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔T2(小时)和剂量X2(克).3. 画出符合2的二次服药情况下在24小时之内的血药浓度曲线(将所要求的三个量Cmax, T2，X2的数值的最后结果皆舍入到4位数字, 且要保证4位数字都是有效数字).2、 消防车的合理调度 某市消防中心同时接到三处火警报告,根据当前火势,三处火警地点分别需要2辆、2辆和3辆消防车前往灭火。三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度：记tij为第j辆消防车到达火警地点i的时间，则三处火警地点的损失分别为6t11+4t12，7t21+3t22，9t31+8t32+5t33。目前可供消防中心调度的消防车辆正好有7辆，分别属于三个消防站（可用消防车数量分别为3辆、2辆和2辆）。消防车从三个消防站到三个火警地点所需的时间如下表所示。该中心应如何调度消防车，才能使总损失最小？消防站到三个火警地点所需要的时间时间火警地点1火警地点2火警地点3消防站1679消防站25811消防站36910 如果三处火警地点的损失分别为4t11+6t12，3t21+7t22，5t31+8t32+9t33，调度方案是否需要改变？3、货物集散码头建设费用的合理分担沿江有三个城市，都在为地处下游的某外商提供同一种生产原料，它们的地理位置如图所示。为了尽快运出各自的产品，需要建立专用的货物集散码头。三城市既可以单独建立货物集散码头，也可以联合建立货物集散码头。如果联合建立，需要建设专用通道将产品集中到码头再外运。用Q表示产品外运量（万吨/天），L 表示城市之间距离，即需要建设专用通道的长度（千米）。按照经验公式，货物集散码头的建设费用CT = 730Q0.712（万元），专用通道的建设费用CP = 6.6Q0.51L（万元），L 的数值如图所示，三城市的货物外运量分别为Q1 = 5 万吨/天，Q2 = 3 万吨/天，Q3 = 5 万吨/天。(1) 从节约总投资的角度，三城市应该联合建设货物集散码头，试说明理由。(2) 如果三城市联合建设货物集散码头，对于各城市如何分担费用有人提出如下建议：码头建设费用按照货物外运量之比分担；专用通道建设费用根据谁用谁投资的原则，联合使用的则按照货物外运量之比分担。你认为这个建议能被采纳吗？说明理由。(3) 请你给出一个更合理的费用分担方案。4、航空公司的费用及利润问题当前金融危机冲击了航空公司，乘客数在减少，但航空公司为了保持住盈利，决定扩大业务员队伍到各类企业，事业单位去提供预订飞机票的服务。一架飞机一次飞行的总费用主要有燃料费，飞行员，空姐和地勤的工资等，收入则来自乘客支付的机票费。航空公司当然希望飞机能够满座，那么订票策略就显得至关重要。假定航空公司向顾客提供的机票分成高价票和低价票两种，持高价票的旅客允许迟到可以改签机票坐下一趟航班，而持低价票的旅客不能改签，只能作废。当预定机票数超过座位数时，继续订票称为超定，可能导致一部分旅客由于满员而不能乘坐飞机。此时，航空公司就要付出一定的赔偿费。假定飞机客量为300座，旅客未到可能性为0.05，有60%的乘客上座率（以低价票测算）航空公司就不赔钱，且超定的赔偿费定为票价的20%，提供150个座位给低价票且票价是高价票的75折。试建立航空公司的利润模型，并计算什么时候航空公司的期望理论最大。5、人力计划问题某公司正在进行改革，由于引进新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和半熟练工人的需求相对增加。另外，公司预测下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年内人力需求的估计数如表：分类不熟练半熟练熟练现在人数200015001000第一年需求100014001000第二年需求50020001500第三年需求025002000除公司解雇外，由于工人自动离职以及其他原因，还存在着自然减员的问题。有很多人受雇不满一年便自动离职，干满一年后，离职的情况便很少发生，自然减员情况如下表分类不熟练半熟练熟练工作不满一年25%20%10%工作一年以上10%5%5%公司现有工人皆已受雇一年以上，为了公司的生存及发展，董事会在招工，再培训，解雇，超员雇佣及半日工等问题上制定下列策略：招工：每年新召的熟练工及不熟练工不超过500名，半熟练工不超过800名。再培训：每年可培训200名不熟练工成为半熟练工，其费用400元/名；培训半熟练工成为熟练工，费用为500元/名。培训人数不能超过熟练工人数的1/4。可将工人降低程度等级使用，但这样的工人因待遇问题将有50%离职。解雇：解雇一名不熟练工需支付其200元，解雇一名半熟练或熟练工需支付其500元。超员雇用：公司可超需要雇用150人，额外费用为每年；不熟练工1500元/人；半熟练工2000元/人；熟练工3000元/人。半日工：各等级工人可各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。公司支付其费用为每年：不熟练工300元/人，半熟练工及熟练工400元/人。 请你为该公司未来三年制定一个招工，人员再培训，解雇和超员雇佣及半日工的计划方案，以使解雇人员最少。6、宠物销售问题 背景：一家宠物店卖某种宠物（比如狗或猫）。这家店每天需要在每只宠物身上花费12元钱，因此宠物店不想在店里存储太多的宠物。通过调查研究，在给定的天数x内，所卖出的宠物的数量服从泊松分布(=0.1)。 宠物店每十天平均能卖出一只宠物，而每卖出一只宠物的利润是1000元。当一个顾客来到宠物店里时，如果店里没有宠物卖，那么该顾客就会到别的宠物店去。如果宠物店预定宠物的话,则所预定的宠物需要到5天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定宠物的最好策略。 策略A：每卖出一只宠物，宠物店就新预定一只。这个策略意味着每次店里只有一个宠物，因此宠物店就不会花费太多在宠物身上。 策略B：宠物店每隔10天就预定一只新的宠物，该宠物5天后到。使用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店，则宠物店必须花大量的钱在小狗上。 问题： 1、编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。2、尝试提出第三种更好的策略，并加以验证。7、深洞的估算 假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=10S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。1、不计空气阻力；2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.06；3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.002；4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。8、居民区供水问题 某居民区的民用自来水是由圆柱形水塔提供,水塔高12.2米,直径17.4米.水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水,一般每天水泵工作两次.现在需要了解居民区用水规律与水泵的工作功率.按照设计,当水塔的水位降至最低水位,约8.2米,水泵自动启动加水;当水位升高到一个最高水位, 约10.8米,水泵停止工作. 可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率,表1是某一天的测量记录数据,测量了28个时刻,但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水,而无水位记录(表1中用/表示). 试建立合适的数学模型,推算任意时刻的用水率,一天的总用水量和水泵工作功率. 表1 原始数据(单位:时刻(小时),水塔中水位(米)时刻t00.9211.8432.9493.8714.9785.900水位9.6779.4799.3089.1258.9828.8148.686时刻t7.0067.9288.9679.981110.92510.95412.032水位8.5258.3888.220/10.82010.500时刻t12.95413.87514.98215.90316.82617.93119.037水位10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662时刻t19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位8.4338.220/10.82010.59710.35410.1809、导弹攻击 某军一导弹基地发现正北方向120千米处海上有一艘敌艇以90千米/小时的速度向正东方向行驶.该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导弹速度为450千米/小时,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。 试问导弹在何时何地击中敌艇? 如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定敌艇即刻以135千米/小时的速度向与导弹方向垂直方向逃逸,问导弹何时何地击中敌艇? 敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?结论中有何启示?10.超市收费系统 一小超级市场有 4 个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1s），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5min，付款则仅需0.5min 。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。 请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到达平均间隔时间是 0.5min ，顾客购买商品件数按如下频率表分布。 件数 919 2029 3039 4049 相对频率 0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12 【设计任务】 根据题目要求建立模型并求解。 附录计算机模拟方法介绍1步骤（1）分析问题，收集资料。需要搞清楚问题要达到的目标，根据问题的性质收集有关随机性因素的资料。这里用得较多的知识为概率统计方面。在这个阶段，还应当估计一下待建立的模拟系统的规模和条件，说明哪些是可以控制的变量，哪些是不可控制的变量。（2）建立模拟模型，编制模拟程序。按照一般的建模方法，对问题进行适当的假设。也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部考虑。模拟模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。如果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有必要建立费时、复杂的模型。当然，如果开始建立的模型比较简单，与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。编写模拟程序之前，要现画出程序框图或写出算法步骤。然后选择合适的计算机语言，编写模拟程序。（3）运行模拟程序，计算结果。为了减小模拟结果的随机性偏差，一般要多次运行模拟程序，还有就是增加模拟模型的时段次数。（4）分析模拟结果，并检验。模拟结果一般说来反映的是统计特性，结果的合理性、有效性，都需要结合实际的系统来分析，检验。以便提出合理的对策、方案。以上步骤是一个反复的过程，在时间和步骤上是彼此交错的。比如模型的修改和改进，都需要重新编写和改动模拟程序。模拟结果的不合理，则要求检查模型，并修改模拟程序。2控制模拟时间的方法：（1）固定时间增量法，是选用一段合适的时间作单位，然后每隔一个单位时间就计算一次有关参数的值，到达预定的模拟时间后，模拟程序结束。在编写这种程序时，一般可以建立一个“模拟时钟”变量。程序的主体框架一般是个大的循环，循环变量，则为模拟时间；在每个循环体内，就是对每个时段作处理。例如，有些排队论模型，可能就是以每隔一段时间（一天或者一个月）进行处理。（2）可变时间增量法，模拟也有一个“模拟时钟”变量，但它是在一个事件发生时，“模拟时钟”才向前推进。需要注意的是，该模拟方法每一步经过的时间是可变的，而且会自动寻找下一个最早使系统状态发生变化的事件。整个模拟直到“模拟时钟”到达指定的时间长度为止。可以参考有关离散系统仿真的内容。参考案例：渡口模型一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，可以并排停放两列车辆的渡船。他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置，才能安全地运过最多数量的车辆。分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车。准备工作： 观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况： (1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；(2) 来到车辆，轿车约占40，卡车约占55,摩托车约占5；(3) 轿车车身长为3.55.5米，卡车车身长为810米。问题分析这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题。解决方法：采用模拟模型方法。因此需考虑以下问题：(1) 应该怎样安排摩托车？ (2) 下一辆到达的车是什么类型？(3) 怎样描述一辆车的车身长度？ (4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？本实验主要模拟装载车辆的情况，暂时不考虑渡船的安全。模型建立设到达的卡车、轿车长度分别为随机变量。结合实际，这里不妨假设卡车、轿车的车身长度均服从正态分布。由于卡车车身长为810m，所以卡车车长的均值为m，由概率知识中的“”原则，其标准差为，所以得到。同理可得。模拟程序设计由以上的分析，程序设计时的应划分的主要模块（函数）如下：（1） 确定下一辆到达车辆的类型；（2） 根据车的类型确定到达车辆的长度；（3） 根据一定的停放规则，确定放在哪一列。模拟程序function sim_dukou%渡口模型的模拟n=input(输入模拟次数：);if isempty(n) | (n500) n=500;endN=zeros(1,3);%依次为摩托车数量、卡车数量、轿车数量for i=1:n isfull=0; L=0 ,0;%第一列长度,第二列长度 while isfull t=rand; %模拟下一辆到达车的类型if t=0.55, id=1; %到达卡车elseif tL(2) if L(1)+newlen32 pos=1; elseif L(2)+newlen32 pos=2; else full=1; endelse if L(2)+newlen32 pos=2; elseif L(1)+newlen32 pos=1; else full=1; end end模型求解结果及分析（一）运行结果程序名为sim_dukou，运行程序，输出结果如下：sim_dukou输入模拟次数：1000平均每次渡船上的车数mean_n = 5.4840 3.9180 0.5160（二）结果分析上面为运行一次模拟程序，模拟次数为1000次的模拟结果。从模拟结果，你能得出什么结论？发现摩托车的平均数量不到1辆，因此从另外一方面看，忽略摩托车的长度是合理的。统计结果显示平均每次渡口时船上卡车、轿车、摩托车数量分别为5.484、3.918、0.516辆。11.高速公路问题A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型适合于下两个限制条件的情况呢？1. 当道路转弯时，角度至少为140度。2. 道路必须通过一个已知地点（如P）。问题分析在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要作出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。变量说明：记为第i个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i1，2，4；x530（指目的地B点的横坐标），记为第i段南北方向的长度（i1，2，5）；为第i段上所建公路的长度（i1，2，5）；由问题分析可知，C1：平原每公里的造价（单位：万元/公里）C2：高地每公里的造价（单位：万元/公里）C3：高山每公里的造价（单位：万元/公里）模型假设1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比；2、 假设在相同地貌中修建高速为直线。在理论上，可以使得建造费用最少，当然实际中一般达不到。模型建立在A城与B城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A城与B城之间建造高速公路的费用。模型求解(Matlab最优化函数求解)这里采用Matlab编程求解。模型求解时，分别取Ci如下。平原每公里的造价C1：400（单位：万元）高地每公里的造价C2：800（单位：万元）高山每公里的造价C3：1200（单位：万元）（注意：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有数据）主程序：function x=model_road clear allglobal C LC=400 800 1200;L=4 4 4 4 4; x=fmincon(objfun_road,1,1,1,1,zeros(1,4),.ones(1,4)*30,mycon_road);optans=objfun_road(x)C=ones(3,1);len = objfun_road(x)模型中描述目标函数的Matlab程序function obj=objfun_road(x)global C Lobj= C(1)*sqrt(L(1)2+x(1)2) + C(2)*sqrt(L(2)2+(x(2)-x(1)2).+ C(3)*sqrt(L(3)2+(x(3)-x(2)2) + C(2)*sqrt(L(4)2+(x(4)-x(3).2)+ C(1)*sqrt(L(5)2+(30-x(4)2);模型中描述约束条件的Matlab函数function c,ceq=mycon_road(x)c(1)=x(1)-x(2);c(2)=x(2)-x(3);c(3)=x(3)-x(4);c(4)=x(4)-30;ceq=;程序运行结果：输入主程序model_road.m，运行结果如下：model_roadoptans = 2.2584e+004len = 38.9350ans = 12.1731 14.3323 15.6677 17.8269模型结果及分析通过求解可知，为了使得建造费用最小。建造地点的选择宜采取下列结果。x(1)=18.1229；x(2)=0.5607；x(3)=28.1015；x(4)=24.4806。建造总费用为2.2584亿元，总长度为38.9350公里。学生训练题：飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如下图所示，高频多向导航设备（VOR）能够得到飞机与该设备连线的角度信息；距离测量装置（DME）能够得到飞机与该设备的距离信息。图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离（括号内是相应设备测量的精度，即绝对误差限），并已知这4种设备的x，y坐标（假设飞机和这些设备在同一平面上）。请你根据这些信息确定当前飞机的位置，要求建立相应的数学模型并给出解答。提示：对角度信息进行处理时，可以考虑使用MATLAB的 atan2 函数。0yxVOR2x=629, y=375309.00 (1.30)861.3(2.0)飞机x=?, y=?VOR1x=764, y=1393161.20 (0.80)DMEx=155, y=987VOR3x=1571, y=25945.10 (0.60)北DMEx=155, y=987飞机与监控台（图中坐标和测量距离的单位是“公里”）参考解答：数学模型为 得到飞机的坐标为（978.117，723.5586）。附主要程序示例： function e=fun(x)X=746 629 1571 155;Y=1393 375 259 987;theta=161.2,45.1,309.0-360*2*pi/360; % 角度转换sigma=0.8,0.6,1.3*2*pi/360;d4=864.3; sigma4=2;e=0;for i=1:3; e=e+(atan2(x(1)-X(i),x(2)-Y(i)-theta(i)/sigma(i)2;ende=e+(d4-sqrt(x(1)-X(4)2+(x(2)-Y(4)2)/sigma4)2;主程序：x0=900,700; % 初值x,norm,res,exit,out=lsqnonlin(fun,x0)12.火箭发射小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）。重力加速度取9.8米/秒2.A. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、及火箭到达最高点的时间和高度。参考解答: 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。 模型分两段：1） m=900-15t , t1 =600/15=40秒为引擎关闭时刻。2） ，m=300Matlab 程序function dx=diff1(t,x)k=0.4;T=30000;g=9.8;m=900-15*t;dx=x(2);(-k*x(2)2+T-m*g)/m;x0=0;0;tspan=0,40;t,x=ode45(diff1,tspan,x0) ;function dx=diff2(t,x)k=0.4;g=9.8;m=300;dx=x(2);(-k*x(2)2 -m*g)/m;x0=8323;259;tspan=0,40;t,x=ode45(diff2,tspan,x0) ;引擎关闭瞬间火箭的高度8323米，速度259米/秒，加速度0.7709米/秒2， 99.2291米/秒2；到达最高点的时间51秒，高度9192米。学生训练题：一个二级火箭的总重量为2800公斤。第一级火箭的重量为1000公斤，其中燃料为800公斤。第一级火箭燃料燃烧完毕后自动脱落，第二级火箭立即继续燃烧。第二级火箭中的燃料为600公斤。假设火箭垂直向上发射，两级火箭中的燃料同质，燃烧率为15公斤/秒，产生的推力为30000牛顿。火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4公斤/米。（1）建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求第一级火箭脱落时的高度、速度和加速度；（2）建立第二级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求火箭所有燃料燃烧完毕瞬间的高度、速度、和加速度。（提示：牛顿第二定律f=ma，其中f为力，m为质量，a为加速度。重力加速度9.8米/平方秒。）答案：第一级火箭：模型建立设时间变量t，高度为h(t)。第一级火箭模型为令：，则有计算结果：第一级火箭燃烧完毕瞬间：t=53.333秒，高度：2620.0(米)，速度：114.6米/秒，加速度：5.2米/平方秒。第二级火箭：模型建立设时间变量t，高度为h(t)。第二级火箭模型为令：，则有计算结果：第二级火箭燃烧完毕瞬间：t=93.333秒，高度：9400.2米，速度：205.2米/秒，加速度： -2666.0米/平方秒。火箭的最大高度：模型建立设时间变量t，高度为h(t)。第二级火箭模型为计算结果：达到最高点时间t=93.333+15.31=108.643秒，高度： 10733米。13.数据处理设计题目 某地区作物生长所需的营养素主要是氮（ N ）、钾（ K ）、磷（ P ）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中 ha 表示公顷， t 表示吨， kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时， P 与 K 的施肥量分别取为 196kg ha 与 372kg ha 。若氮（ N ）、钾（ K ）、磷（ P ）和土豆、生菜的市场价格如表1所示：表1 市场价格（元/吨）商品 N PK 土豆生菜 价格350 320