三角函数教材分析

第四章 三角函数教材分析 2006.3.3三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所学的知识内容，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继知识内容和高等数学的基础。本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)： 4.1角的概念的推广约2课时4.2弧度制约2课时4.3任意角的三角函数约2课时4.4同角三角函数的基本关系式约2课时4.5正弦、余弦的诱导公式约3课时4.6两角和与差的正弦、余弦、正切约7课时4.7二倍角的正弦、余弦、正切约3课时4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质约4课时4.9函数y=Asin(x+)的图象约3课时4.10正切函数的图象和性质约2课时4.11已知三角函数值求角约2课时小结与复习约4课时一、内容与要求(一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等。(二)章头引言安排了一个实际问题求半圆内接矩形的最大面积。这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值。(三)第一单元是“任意角的三角函数”。首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的基本关系式及正弦、余弦的诱导公式。而且教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用。1.任意角，包括任意大小的正角、负角和零角，应该注意掌握终边相同的角、象限角、轴上的角（限界角）等概念的联系与区别，要求能准确地表示，还要注意与这些角有关的角的表示，如：已知角是第几象限的角，求、角所在的象限和2角所在的位置；运用“整数集=奇数集偶数集”写出终边在x轴或y轴上的角的集合。注意：“角的终边在x轴的非负半轴上”的叙述方式，与过去的说法“角的终边在x轴的正半轴上”的不同。角终边在x轴的非负半轴上=2k kZ角终边在x轴上=k kZ角终边在坐标轴上=k kZ角终边在x轴的非正半轴上=+2k kZ角终边在y轴的非负半轴上=+2k kZ角终边在y轴上=+k kZ角终边在y轴的非正半轴上=+2k kZ2.由于任意角的三角函数值仅与角的终边所在的位置有关，与其终边上的点的位置选取无关；而且三角函数的定义是同角三角函数关系式，乃至整章知识的基础，所以必须牢固掌握任意角的三角函数的定义。要结合单位圆内的三角函数线，掌握数形结合的数学思想方法解决三角函数问题。3.三角函数线：单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示。用三角函数线的数值来代替三角函数值要比由定义所规定的比值来求得三角函数值要直观得多，因此三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具，特别是在求取值范围、比较大小、解三角不等式等问题时，用三角函数线来求解十分简捷。另外，三角函数线又是绘制正弦曲线、正切曲线的基础。4.诱导公式在三角函数求值、化简三角函数式、证明三角恒等式中起着重要的桥梁作用，一定要熟记在心。可以用“奇变偶不变，符号看象限”或“纵变横不变，符号看象限”来帮助记忆。5.同角三角函数基本关系式，可用“正六边形记忆法”来记忆。当已知一个角的一个三角函数值时，可以按照“正六边形”图示来求出这个角的其他三角函数值，值得提示的是：应该首选倒数关系，尽量少用平方关系，因为用平方关系时，需要讨论三角函数值的符号。(四)第二单元是“两角和与差的三角函数”。先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出和角的余弦公式，然后顺次推出其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解。1.两角和与差的三角函数公式是本节所有公式（二倍角公式、半角公式以及万能公式、积化和差公式与和差化积公式）的基础，在教学过程中，要将公式之间的内在联系讲透。既要重视公式的正向运用，也要重视公式的逆用与变形运用训练，提高公式的灵活应用水平。2.三角公式的主要运用是三角函数式的化简、求值及证明三角恒等式。在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切割化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等。i）注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：常值代换，特别是“1”的代换，如：，等等；项的分拆与角的配凑；降次与升次；万能代换。ii）对于形如的式子，要引入辅助角并化成的形式，这里辅助角所在的象限由的符号决定，角的值由确定。对这种思想，务必强化训练，加深认识。iii）三角函数的化简与求值的常用方法和技巧：三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等。其他思想还有：异次化同次、高次化低次、切割化弦、特殊角三角函数与特殊值互化等。 三角函数的求值问题，主要有两种类型：一类是给角求值问题；另一类是给值求角问题。它们都是通过恰当的变换，与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系。选用公式时应注意方向性、灵活性，以创造出消项或约项的机会，简化问题。iv）求三角函数值的常用方法有：配方法；化为一个角的三角函数；数形结合法；换元法；基本不等式法（学完第六章以后）。3.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值。在应用诱导公式进行三角函数式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取。i）关于三角函数式的简单证明：三角恒等式的证明分为无附加条件和有附加条件两种，证明方法灵活多样。一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定。不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法。附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系。常用的方法是代入法和消元法。三角恒等式证明中的重点是掌握等价转化的思想和变量代换的方法。证明的关键是：发现差异观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式。ii）关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证，先证明的同名三角函数值相等，即，再证明在三角函数的同一单调区间内，进而由函数的单调性得出。4.根据正弦函数、余弦函数的有界性，在求三角函数的最大值和最小值时，要注意挖掘题设中的隐含条件，对于含有参数的问题，还要注意参数的作用，该分类讨论的就要分类讨论。5.求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等。其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值。(五)第三单元是“三角函数的图象和性质”。先利用正弦线画出函数 ，x0,的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线。接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质、正弦函数的简图的画法，以及y=Asin(x+)的图象是如何由y=sinx的图象经过图象变换得到的，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质。最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供遇到求角问题时用来表示答案。1.三角函数的图象是三角函数及其性质的直观反映，是解决三角函数及其有关问题的重要工具。三角函数的性质是高考考查的重点，在讲课时，要使学生牢记三角函数的图象，并有意识地训练从数形结合的角度去分析、解决问题（如：三角函数的图象的识别、特征（对称轴、对称中心）分析、变换（图象变换）、根据图象写出三角函数的解析式），还要注意与其它知识的综合运用，特别是与平面向量相结合，加强三角函数作为工具的应用意识。要将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调区间等。对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性。2. 周期性是三角函数的独特性质，求三角函数的最小正周期是每年高考的必考内容，而且基本上都是围绕考查y=Asin(x+)（或经过变形化为y=Asin(x+)）的最小正周期T=来设计。3. 函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间内的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小。主要体现在：解简单的三角不等式、比较大小、求最大值或最小值、判断单调区间，或者与三角函数的图象、三角函数线（用与单位圆有关的线段表示三角函数）、三角函数的概念、已知三角函数值求角等知识综合考查。(六)本章的教学要求： 1.使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。2.使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数间的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。3.使学生掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。4.使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆），重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上。对于，等表达式，要会结合乘法公式熟练地进行变形，并利用等三角公式进行化简。5.使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A、的物理意义。6.使学生在由已知三角函数值求角时，会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。二、考点要求1.理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算。2.掌握任意角的三角函数的定义、三角函数值的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求的周期。3.了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。4.能推导并掌握两角和与差、二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式。5.能正确地运用公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值；证明比较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题。三、高考考查的热点：1.同角三角函数基本关系式和诱导公式：三角函数值的符号、同角三角函数关系、诱导公式溶于一体，或与两角和与差的三角函数公式综合考查。2.两角和与差的三角函数：主要是求三角函数式的值，或者通过三角函数式的变换研究三角函数的性质。3.三角函数的图象：一般考查三角函数的图象的识别、特征（对称轴、对称中心）分析、变换（图象变换）的应用，以及根据图象写出三角函数的解析式。四、三角函数中应注意的问题本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用，和角的正弦、余弦公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质。本章内容的难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数的图象与正弦曲线的关系。本章内容的关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清和角的余弦公式的特征及其到差角公式、和角的正弦公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质。大纲有这样的要求：不要随意补充已被删简的知识点。例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲，三个；除（kZ）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示，比如求tan可转化为 来求；积化和差与和差化积公式、半角公式只是作为和(差)角公式的应用出现，结果不要求记忆，不要求运用，但记住并能应用会更好；此外，不要过多地补充“把化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题。在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性。事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R及之间建立起一种一一对应的关系。说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的。所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应。有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致，关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制和六十进制并用的，例如角其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的，这样，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进数)，要经过一番计算，这就不太方便了。定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有 ，才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，而不是这六种函数的函数，例如可以说是2x的正弦函数(这时可说它是三角函数)，也可以说是正弦函数与正比例函数的复合函数，但不能说是x的正弦函数。另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说(或写)“正弦函数y=sinx”，需知“函数，”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体。已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利用设辅助角(即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用)来求解，把求解过程调整为：1.如果函数值为正数，则先求出对应的锐角，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角； 2.决定角x可能是第几象限角；3.如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出 内对应的角如果它是第二象限角，那么可表示为 ;如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 或。也可以把上述辅助角看作参变量(x为自变量)，那么所提供的方法就可以看作参数的应用。新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒学生注意使用，这是有好处的。本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板书中逐渐达到规范化。物理中也是这样做的。因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理(力学、电学)有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从。注意符合学生的认识规律除了从实际问题引入数学概念之外，在这方面的措施有：(1)重建数形结构。首先通过平面直角坐标系 (数形结合)定义任意角的三角函数，在得到“终边相同的角的同一三角函数的值相等”即第一组诱导公式后，就引入与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式(三角函数线)表示出来；然后学习同角三角函数的两个基本关系式，其他诱导公式，以及两角和与差的三角函数，这一部分属于式的化简、求值、恒等关系的证明以及它们的简单应用，研究方法以数为主，以形为辅；最后学习三角函数的图象和性质、其应用包括已知三角函数值求角，这一部分的研究方法则以形为主，以数为辅；(2)利用学生已有的认知结构。首先利用二次函数的知识来解决问题；建立任意角的概念时，利用学生观看体操节目已有的例如对于“转体720度”的直觉和语词记忆；画余弦函数的图象时，利用正弦曲线和诱导公式，已知三角函数值求角时，利用三角函数的图象和性质；(3)精简认知结构，略去或简化不必要的程序。例如，从锐角三角函数直接推广到任意角三角函数，略去了讲钝角三角函数这一程序。这样做不仅节约了课时，而且密切了“任意角”与 “任意角三角函数”的联系，反而加强了知识的发生和形成过程。附: 20042005年高考试卷中三角函数部分题目一、2004年高考题1. 在ABC中，“A30”是“sinA”的（ ） 浙江8题5分(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件2. tan15+cot15的值是（ ） 福建2题5分A2 B2+ C4 D3. 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）福建12题5分A(22)a万元 B5a万元 C(2+1) a万元 D(2+3) a万元4（ ）重庆5题5分 A B C D5. 函数是 ( ) 函数. 广东5题5分A.周期为的偶 B.周期为的奇 C. 周期为2的偶 D.周期为2的奇6. 当时,函数的最小值是( ) 广东9题5分 A. 4 B. C.2 D. 7. 若则（ ） 广东11题5分A. B. C. D.8. 函数y=2cos2x+1(xR)的最小正周期为 ( ) 江苏2题5分(A) (B) (C) (D)9. 设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ） 湖北12题5分ABCD10.设若则=（ ）ABCD4 11. 函数的最小正周期是（ ） 陕西2题5分（A） （B） （C）2 （D）412. 在ABC中,AB=3, BC=, AC=4,则边AC上的高为（ ）(A) (B) (C) (D) 陕西11题5分13. 三角方程2sin(-x)=1的解集为( )(A)xx=2k+,kZ. (B) xx=2k+,kZ.(C) xx=2k,kZ. (D) xx=k+(-1)K,kZ.14.下列函数中，既为偶函数又在（0，）上单调递增的是（ ）Ay=tg|x|. By=cos(-x). C D.15.已知函数ytan(2x+)的图象过点(,0)，则可以是（ ）A.-B.C.-D.16.函数ysin4xcos2x的最小正周期为（ ）A.B.C.D.217.函数)为增函数的区间是（ ）A B C D 18.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，则的值为（ ）A B C D 19.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（ ）ABCD 20. “”是“A=30”的 （ ）条件(A) 充分而不必要 (B) 必要而不充分 (C) 充分必要 (D) 既不充分也必要21.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度22. Tan2010的值为 . 湖北13题4分23.函数的最大值为 . 陕西15题4分24.若tg=,则tg(+)= .25.函数在区间上的最小值为 . 陕西14题4分26.函数的最小正周期T= .27.在ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则ABC= .（结果用反三角函数值表示）28.曲线C：（为参数）的普通方程是_ _，如果曲线C与直线有公共点，那么实数a的取值范围是_ _.29.函数的最小正周期是_.30.（本小题满分12分）求函数的最小正周期、最大值和最小值.31. (本题满分12分)浙江17题12分在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且cosA=()求sin2+cos2A的值；()若a=,求bc的最大值。32.（本小题满分12分）福建17题12分设函数f(x)=ab，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，xR.（）若f(x)=1且x，求x；（）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值. 33.（本小题满分12分）重庆17题12分求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间.34. (本小题满分12分) 陕西17题12分已知为锐角,且求的值.35. 已知0，tan+cot=，求sin()的值.36.（本小题满分12分）已知 (I)求的值；(II)求的值.37.已知为第二象限角，且 sin=求的值.二、2005年高考题1.当时，函数的最小值为（ ） 全国一理6A2B2C4D42.在ABC中，已知,给出以下四个论断（ ） 全国一理10tanAcotB=1 0sinA+sinB sin2A+cos2B=1 cosA2+cos2B=sin2CABCD3. 对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ） 北京理5ABC D4. 函数（ ） 北京理8A在上递减B在上递减C在上递减D在上递减5. 函数的部分图象如图，则（ ） 福建理6ABCD6.函数在下列哪个区间上是减函数（ ）福建文4A B C D7.若（ ） 湖北理7ABCD8.若的大小关系（ ） 湖北理9ABCD与x的取值有关9. tan600的值是（ ） 湖南文2ABCD 10.的周长为（ ） 江苏5A B C D 11.若（ ） 江苏10ABCD 12.设函数为（ ） 江西理5A周期函数，最小正周期为B周期函数，最小正周期为C周期函数，数小正周期为D非周期函数 13.在OAB中，O为坐标原点，则OAB的面积达到最大值时，（ ） 江西理11ABCD 14.已知（ ） 江西文2ABCD 15.在ABC中，设命题命题q:ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ） 江西文8A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件YCY16.函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ） 全国二理1ABCD2 17.已知函数内是减函数，则（ ） 全国二理4A01B10C1D1 18.锐角三角形的内角A、B满足tanA=tanB，则有（ ） 全国二理7Asin2AcosB=0 Bsin2A+cosB=0 Csin2AsinB=0Dsin2A+sinB=0 19. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）A横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 天津理820. 已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）全国三理1 A第一或第二象限 B第二或第三象限 C第一或第三象限 D第二或第四象限21.=（ ）全国三理8A B C1 D 22. 已知、均为锐角，若， ，的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 重庆理623.（ ） 重庆文2ABCD 24.已知均为锐角，若的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 重庆文625.设,且,则（ ） 全国