正弦函数引入.ppt

锐角三角函数 正弦函数,楼甜甜,问题 :为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？,这个问题可以归结为，在RtABC中，C=90，A30，BC35m，求AB,根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即,可得AB2BC70m，也就是说，需要准备70m长的水管,分析：,情 境 探 究,在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？,结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于,A,B,C,50m,35m,B ,C ,AB2B C 250100(m),在RtABC中，C90，由于A45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:,因此,即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于,综上可知，在一个RtABC中，C90，当A30时，A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当A45时，A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.,一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？,结论,问题,在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC,这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值,如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做A的正弦（sine），记作：sinA 即,例如，当A30时，我们有,当A45时，我们有,c,a,b,对边,斜边,正 弦 函 数,正弦函数的起源,正弦是最重要也是最古老的一种三角函数。 早期的正弦函数，是伴随着天文学的测量计算需要而产生的。 古希腊天文学派希帕霍斯为了天文观测的需要，制作了一个“弦表”，即在圆内不同圆心角所对弦长的表，可惜没有保存下来。流传下来的最早的弦表是托勒密的天文学大成中的一张弦表。 希腊的数学转入印度，阿耶波多作了重大的改革。他计算半弦（相当于现在的正弦线）而不是希腊人的全弦。 （板书）,六十分之一,弧长,对弦,意大利数学家利提克斯（1514-1574），改变了前人的做法，即过去一般称AB为弧AD正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起， 而利提克斯却把它称为AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。 到欧拉(Euler) 时，令圆的半径为1，置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。,正弦函数符号的由来,印度数学家阿耶波多称半弦为jiva（猎人、弓弦），后来印度的书籍被译成阿拉伯文,jiva被音译成jiba，但此字在阿拉伯文中没有意义，辗转传抄，又被误写成jaib（胸膛、海湾）。 12世纪，欧洲人从阿拉伯的文献中寻求知识。1150年左右，意大利翻译家杰拉德将jaib意译为拉丁文sinus，这就是现存sine一词的来源。英文保留了sinus这个词，意义也不曾变。 sinus并没有很快地被采用。同时并存的正弦符号还有Perpendiculum（垂直线），表示正弦的符号并不统一。计算尺的设计者冈特在他手画的图上用sin表示正弦，后来，英国的奥特雷德也使用了sin这一缩写，同时又简写