基于小波变换的图像消噪算法的仿真设计

SHANDONG 毕业设计说明书 基于小波变换的图像消噪 算法的仿真设计 学 院： 电气与电子工程学院 专 业： 自动化 学生姓名： 贾丹丹 学 号： 0812206947 指导教师： 刘丽娜 2012 年 6 月 摘 要 I 摘 要 图像在人们生活、学习、工作中有很重要的作用，有时，图像更易理解，使我 们的生活、学习、工作更容易。然而，图像在产生和传输等很多过程中都有可能产 生噪声，影响人们的正常识别，因此非常有必要对图像进行消噪处理。图像消噪的 目的就是尽可能地修复被噪声污染的图像，以供人们可以正常识别。图像消噪的方 法有很多。但是传统的消噪方法在消除噪声的同时也使图像细节变得模糊，损坏了 图像视觉效果，效果不令人满意。 20世纪80年代初，法国地球物理学家Morlet提出了小波变换的分析方法。小波分 析作为一种全新的信号处理方法，它将信号中各种层次的频率成分分解到互不重叠 的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提取提供了有效途径。小波分析在应用中 有着无可比拟的优点，成为信号分析的一个强有力的工具，被誉为分析信号的数学 显微镜。 本设计在对小波分析和图像消噪算法研究的基础上，提出三类小波消噪方法： 第一类方法是基于小波变换模极大值图像消噪方法、第二类方法是基于小波系数尺 度之间的相关性消噪、第三类方法小波阈值消噪方法。小波阈值消噪方法是计算量 最小，实现最简单的一种方法，因而取得了最广泛的应用。本设计使用小波阈值消 噪方法进行图像消噪，并得到有效的结果。 关键词关键词关键词关键词：图像消噪，小波变换，多分辨率分析，阈值消噪 Abstract II Abstract Images play a very important role in peoples lives, studies and work. Sometimes, the images make it easier for our living, learning and work more easily. However, the images are likely to generate noise in the process of generation and transmission which affects peoples normal identification. So image de-noising is necessary. The purpose of image de-noising is to try to repair the image with noise for people to identify properly. There are many ways for the image noise canceling. While the traditional de-noising methods eliminate noise the image details become blurred damaging the visual effect, so the result is not satisfying. In the early 1980s, Morlet, the French geophysicist proposed the wavelet transform analysis. As a new signal processing method, Wavelet analysis decomposes signal frequency components of the various levels into non-overlapping frequency bands, and provides an effective way for signal filtering, signal to noise separation and feature extraction. Being known as the analysis of mathematical microscope, Wavelet analysis has unparalleled advantages in the application to become a powerful tool for signal analysis. This paper proposed three types of wavelet de-noising method based on wavelet analysis and image noise cancellation algorithm. The first method is image de-noising based on wavelet transform modulus maxima method. The second method is eliminating noise based on the correlation between the scales of the wavelet coefficients. The third method is wavelet threshold de-noising method. Wavelet threshold de-noising method is to calculate the smallest amount and the simplest methods, which makes the most widely used. This design uses the de-noising method based on wavelet threshold for image de-noising and gets the effective result. Keywords: Image de-noising, Wavelet transform, Multi-resolution analysis ， Threshold function 目 录 III 目 录 摘 要.I ABSTRACT .II 目 录.III 第一章 绪 论.1 1.1 课题背景及意义.1 1.2 图像噪声模型.1 1.3 图像消噪发展状况.2 1.4 本设计的主要内容.3 第二章 小波变换基本理论.5 2.1 小波及小波变换.5 2.1.1 傅里叶（Fourier）变换.5 2.1.2 连续小波变换6 2.2 离散小波变换.8 2.3 常用小波函数介绍.9 2.4 多分辨率分析.11 2.3.1 多分辨率分析概念的引入11 2.3.2 小波分解与重构12 2.4 图像小波变换分解与重构.13 第三章 基于小波变换的图像消噪.16 3.1 小波消噪问题的描述.16 3.2 小波阈值消噪方法.16 3.2.1 小波阈值消噪方法的提出16 3.2.2 小波阈值去噪方法原理18 3.3 阈值函数的选择与阈值估计.21 3.3.1 阈值函数的选择21 3.3.2 阈值的估计22 第四章 仿真实验与讨论.23 目 录 IV 4.1 图像消噪的评价标准.23 4.2 MATLAB 软件简述24 4.3 仿真实验.24 结 论.28 参考文献.29 致 谢.31 附 录.32 第一章 绪 论 - - 1 第一章 绪 论 1.1 课题背景及意义 随着多媒体技术的发展，计算机网络技术的广泛应用和宽带信息网的建立， 信息在人们的生活、工作和学习中充当的角色日益重要，其中图像信息是最主 要、最直接的信息。但由于图像在采集、处理、传输过程中都有可能被污染上 噪声，噪声的污染使图像偏离了真实情况，使图像像素点的灰度值不能正确地 反映空间物体灰度值，使图像的视觉效果遭到严重影响，甚至使人们无法正常 识别。因此，图像消噪是图像处理的重要内容，更是图像处理研究中一个永恒 不变的主题。 噪声是 “阻碍人们眼睛接收信源、信息理解的主要因素之一”，是损坏图 像质量的最主要的因素。噪声污染使图像违背了其真实面目，导致图像的视觉 效果受到影响，甚至使人们无法正常识别，因此，非常有必要在利用图像之前 消除噪声。噪声种类很多，图像噪声按其来源可分为加性噪声、乘性噪声、量 化噪声、“盐和胡椒”噪声等，按噪声的性质可分为高斯噪声（白噪声）和脉冲噪 声两类。为了抑制噪声，改善图像质量，便于高层次的处理，在处理图像前都 要进行降噪预处理。图像消噪的目的是要消除图像中的噪声，但同时要尽量保 持原图像的主要特征。其本质是依据噪声和图像不同的性态实现噪声和图像信 号的分离，再利用滤波的方法消除噪声1。 1.2 图像噪声模型 噪声是“阻碍人们眼睛接收信源、信息理解的主要因素之一”， 是损坏图 像质量的最主要的因素。噪声污染使图像违背了其真实面目，导致图像的视觉 效果受到影响，甚至使人们无法正常识别，因此，非常有必要在利用图像之前 消除噪声。噪声种类很多，图像噪声按其来源可分为加性噪声、乘性噪声、量 化噪声、 “盐和胡椒”噪声等，按噪声的性质可分为高斯噪声（白噪声）和脉 冲噪声两类。 图像噪声的主要来源有以下3方面2： 第一章 绪 论 - - 2 (1) 敏感元器件内部产生的高斯噪声，即器件中电子随机热运动而引起的电 子噪声。一般可用高斯白噪声（零均值）来表征这类噪声。 (2) 光电转换过程中产生的泊松噪声。这类噪声的模型经常用具有泊松分布 的随机变量表示。泊松分布在光照较强时趋向于更易描述的高斯分布，此时， 这类噪声的标准差仍然等于均值的平方根。 (3) 颗粒噪声（产生于感光过程中） 。在显微镜下可发现，照片上光滑细致 的影调在微观上呈现出随机的颗粒性质。颗粒噪声一般可用高斯过程(白噪声) 作为有效模型。 在大多数情况下，这三种噪声源均可以视为高斯分布。而在本设计中，我 们采用随机噪声。 1.3 图像消噪发展状况 图像消噪的方法有很多种。在小波分析技术没有出现以前，图像处理的方 法绝大多数都是采用以统计理论为基础的分析方法：快速傅里叶变换、基于快 速傅里叶变换算法上的经典谱分析、属于现代谱分析(参数化方法)的AR淞谱分 析、卡尔曼滤波以及经典维纳滤波等等。这些方法通常都侧重于在不同时域 (时 刻)测量的统计分析或侧重于与频率或谱有关的频域上的分析3。这些传统的消 噪方法不仅滤出了图像的噪声，同时会使图像细节变得模糊。 小波变换最早是由法国地球物理学家Morlet于20世纪80年代初在分析地球 物理信号时作为一种信号分析的数学工具提出来的，到80年代中后期获得较快 发展，目前已成为一个数学分支学科。小波分析是调和这一数学领域半个世纪 以来的工作结晶，是目前在许多科学和工程技术中的一个非常广泛的课题。 它是继傅里叶变换之后的又一分析工具，属于调和分析，是一种时域、频 域分析。小波分析优于Fourier分析的地方是4，它在时域频域同时具有良好的局 部化性质和多分辨率分析的特点，是一种形状可以改变但窗口大小不变，即频 率窗和时间窗都能改变的时频局部化分析方法。小波变换在高频部分有较低的 频率分辨率和较高的时间分辨率，以便移近关注快变部分的信号；而在低频部 分则相反，以便移远关注信号的整体变化情况(慢变部分)。小波变换的这种特点 第一章 绪 论 - - 3 使其能有效提取非稳信号的瞬态稳态信息，有效地提取信号波形特征，获得信 号先验信息，可以很有效的分析非平稳信号。 作为一种全新的信号处理方法，小波分析将信号中各种不同的频率成分分 解到互不重叠的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提取提供了有效途径。 它不仅可以达到各种消噪的要求，如随机噪声及高通、低通的噪声的消除，且 比传统的一些消噪方法有效的多，成为信号分析中一个强有力的工具。 基于小波变换的图像消噪有3个最关键、 最重要方面5： (1) 选择小波模型。 有效的小波消噪方法只有在有效的小波系数模型上才可分析计算出；(2) 选择小 波基。对应于某图像含有的特定的噪声，选择不同的小波基会出现不同的消噪 效果；(3) 阈值的选择。 阈值选取是一个很重要的问题，阈值选取是否恰当直 接影响消噪后的图像的质量。 小波变换这一前沿研究领域近几十年来在国际上掀起新潮，是继傅里叶分 析的一个突破性进展。它既包括大量的数学理论知识，又为工程应用提供了强 有力的方法、工具，受到科技界所有人的广泛关注及高度重视。小波变换的快 速发展不仅推动了其他许多科学领域的快速发展，而且使其自身也含有多学科 相互结合且相互渗透的优点。然而，该学科仍处于迅速发展之中，还不能过早 的给出一个明确而统一的描述。 1.4 本设计的主要内容 小波理论在近年来虽然取得了许多非常重要的成果，在某些领域取得了惊 人的成就，但仍然有许多局限性，还有很多问题没有解决，仍需要继续研究、 发展。应用问题是否适合于小波分析，这是在研究小波中必须考虑的基本问题。 此外，针对不同角度的研究和特殊性的问题，选择有优良性能的小波基也是非 常重要的。 本文主要研究利用小波变换对图像进行消噪处理，并找到最好的解决的方 法。主要工作包括: 第一章是绪论部分，主要介绍了图像消噪的原因，意义，噪声的类型主要 有加性噪声和乘性噪声及简单了解小波变换。 第一章 绪 论 - - 4 第二章主要讨论了傅里叶变换，小波分析的基本理论，介绍了连续小波变 换、 离散小波变换和二进小波变换;然后介绍了多分辨分析及小波的分解与重构。 并通过比较证明，小波变换优于傅里叶变换。 第三章主要讲基于小波变换的图像消噪，介绍小波变换消噪的三种方法， 其中主要是小波阈值消噪法，介绍了阈值函数，阈值估计。 第四章仿真实验与讨论，主要介绍小波阈值消噪方法、消噪的程序、消噪 结果及原因分析。 第二章 小波变换基本理论 - - 5 第二章 小波变换基本理论 2.1 小波及小波变换 2.1.1 傅里叶（Fourier）变换 Fourier变换是利用积分将一个函数)(+a时，函数)( , t ba 具有伸展作用， 1a时，函数)( , t ba 具 有收缩作用。而傅里叶变换)(w则恰好相反。 第二章 小波变换基本理论 - - 7 随着参数a的减小，)( , t ba 的支撑区也随之变窄， 而)( , w ba 的频谱也会随着 向高频端展宽。窗口大小就有可能会实现自适应地变化，当信号频率增高时， 时窗宽度会变窄，而频窗宽度就会增大，从而有利于时域分辨力的提高，反之 亦然。 小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零）且均值为零。 不能任意选择小波， 但是小波的选择也不是唯一的。)( , t ba 是具有单位能量的归 一化的解析函数，所以它要满足的条件如下8。 （1）定义域应是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，也就 是该函数具有速降特性。 （2）平均值为零，即 + = 0)( dtt （2-5） 其高阶矩也为零，即 0)(= + dtt t k ) 1, 2 , 1 , 0(=NkL （2-6） 小波的容许性条件表示为 ccbcaWc f 。 （4）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。 3. 二维连续小波变换 若),(yxf是一个二维函数，则他的连续小波变换为 + + =dxdyyxyxfbbaW yxb bayxf ),(),(),( , （2-9） 式中， x b 和 y b 分别表示在yx,轴的平移。 = a by a bx a yx y x bba yx , 1 ),( , (2-10） 而为连续小波逆变换表示为 3 , ),(),( 1 ),( a da dbdbyxbbaW C yxf yxbbayxf yx + + + = （2-11） 2.2 离散小波变换 连续小波变换中的伸缩因子和平移因子都是连续变化的实数，在应用中需 要计算连续积分，所以在处理数字信号时很不方便，主要用于理论分析与论证。 而且，连续小波变换存在信息冗余，所以在实际应用中，尤其是在计算机上实 现时，常采用离散形式，即离散小波变换（DWT）。“离散”即尺度和位移的 离散，而对分析信号和分析小波中的时间变量t并没有被离散化。离散小波变换 可以通过离散化连续小波变换中的伸缩因子a和平移因子b得到。通常取 m aa 0 = , m anbb 00 =，Znm, 带入小波函数)( 1 )( , a bt a t ba =得到 Znmnbta a t m m nm = ,),( 1 )( 00 0 , （2-12） 这时的小波函数就是离散小波。相应的离散小波变换为 第二章 小波变换基本理论 - - 9 ()dtnbtatf a baW m m f00 0 )( 1 ),(= + （2-13） 特殊的，取1, 2 00 =ba，可以得到二进小波： )2(2)( 2 , ntt m nm m = Znm, （2-14） 二进小波与连续小波的离散形式不同，它不破坏在时间域上的平移不变量， 因为它只对尺度参数进行离散化，而对时间域上的平移量保持连续变化，这也 是它同正交小波基相比所具有的独特优点。此外，二进小波对信号的分析还有 显示出变焦作用10。设有一放大倍数 m 2，它所对应的是观测信号的某一部分内 容。假如我们想了解信号更粗的内容，就需要减小放大倍数，即加大m值；反 之，如果想了解信号包含的更小的细节，就可以使放大倍数增加即减小m值。 二进小波是离散小波中最常用的一种形式，是满足可容性条件的小波，它具有 许多优良的性质。 2.3 常用小波函数介绍 小波分析的小波函数不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以作 为小波函数，那么小波函数就成了十分重要的问题，实际选取小波的标准有以 下三种。 （1）自相似原则：对二进小波变换，如果选择的小波对信号有一定相似性， 则变换后的能量就比较集中，可以有效减少计算量。 （2）判别函数：针对某类问题，找出一些关键性的技术指标，得到一个判 别函数，将各种小波函数带入其中，得到一个最优准则。 （3）支集长度：大部分应用选择支集长度在59之间的小波，因为支集太 长会产生边界问题，支集太短不消失矩太低，不利于信号能量的集中。 下面介绍以下Matlab中常用的一些小波函数。 1. Haar小波 Haar小波是用的最早，最简单的小波，其本身是一个阶跃函数，可以用解析 的方法表达为如下形式。 第二章 小波变换基本理论 - - 10 = 其他, 0 1 2 1 , 1 2 1 0 , 1 x x H 2. Daubechies小波 Daubechies系列的小波简写为dbN，其中N表示阶数，db是小波名字的前缀 除db1（等同于Haar小波）外，其余的db系列小波函数都没解析的表达式。 Db 小波族的支集长度都是2N左右， 消失矩为N， 可见这个序列的小波扩展性比较好， 可以灵活地权衡增加支集长度带来的边界问题。 3. SymletsA(symN)小波族 sym小波的构造类似于db小波族， 两者的差别在于sym小波有更好的对称性， 更适合于图像处理，减少重构时的相移。 4. Biorthogonal(biorNr.Nd)小波族 这是一族双正交小波（也叫半正交小波） 。它对不同尺度伸缩下的小波函数 之间有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所 以用于分解和重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波 生成。 5. Coiflet(coifN)小波族 Daubechies提出的另一个小波系，有更长的支集长度（6N-1）和更大的消失 矩（2N） ，对称性比较好。本设计就是用该小波。 6. Morlet小波 Morlet小波是一个具有解析表达式的小波，但它不具有正交性，所以只能满 足连续小波的可允许条件，单不存在紧支撑，不能做离散小波变换和正交小波 变换。 7. Mexican Hat小波 第二章 小波变换基本理论 - - 11 类似于Morlet， Mexican Hat小波同样有解析的小波函数， 同样不存在尺度函 数，所以不具有正交性。 2.4 多分辨率分析 对于图像信号的应用来说，要正确理解图像信号，多分辨率分析方法至关 重要，因为在各个不同的分辨率或尺度中信号常常包含有物理相关特性。多分 辨率分析，是建立在函数空间概念上的理论，又称多尺度分析或多分辨率逼近， 是小波分析中最重要的概念之一。多分辨率分析可用于正交小波的分解和重建， 也称为金字塔算法。 多分辨分析的基本思想是11：将原始信号分为不同分辨率的几个信号，然 后选择合适的分辨率处理此信号。如果我们把尺度理解为照相机镜头的话，当 尺度由小变大变化时，就相当于将照相机镜头由近及远的远离目标。在小尺度 空间里，可观测到物体的细节部分，相当于从近处观察目标；在大尺度空间里， 只能看到物体的大致概貌，相当于从远处观察目标。因此，随着尺度由大到小 的变化，在各尺度上可以由粗糙到精细地观察目标。 多分辨率分析（MRA）不仅能把以前的各种正交小波基的构造法巧妙地统 一起来，而且还给出了构造其他小波基的方法。特别的，它给出了可以构造具 有紧支撑小波的正交小波基的方法。在正交小波基构造的框架下，Mallat给出了 把信号和图像函数分解为不同频率信道的算法及信号重构算法，这就是著名的 Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典 傅里叶分析中的地位。 2.3.1 多分辨率分析概念的引入 我们可以引出多分辨率的定义，空间)( 2 RL中的多分辨率分析是指)( 2 RL满 足如下性质的一系列闭子空间 j V，Zj： （1）单调一致性： 1+ jj VV，对任意的Zj。 （2）渐进完全性： 0= j Zj V I ，即所有 j V的交是零函数。 （3）逼近性：)( 2 RLVclose j Zj = U。 第二章 小波变换基本理论 - - 12 （4）伸缩完全性： 1 )2()( + jj VtfVtf，对Zj；伸缩性体现了尺度的 变化、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。 （5）平移不变形：对Zk ,有 jj VktVt jj )2()2( 22 。 （6）Riesz基存在性：存在 0 )(Vt ，使得Zkkt j )2( 2 构成 j V 的Riesz 基。对于性质（6）可证明存在 0 )(Vt ，使它的整数平移系Zkkt j )2( 2 构 成 j V 的规范正交基，我们称)(t为尺度函数。这样我们只要找到构成多分辨率 的尺度函数，就可以构造出一组正交小波。 2.3.2 小波分解与重构 信号的分解可进行多级分解即可以迭代。如果只对信号的低频分量连续进 行分解，高频分量不再分解，就会得到许多分辨率较低的低频分量，形成一棵 比较大的树，这种树叫做小波分解树。其小波分解树以一个三层的多分辨率分 析为例，如图2-1所示。从图中可知，多分辨率分析对高频部分不予以考虑，只 是对低频部分进行进一步分解。 图2-1 小波分解树 设以 j V 表示的小波分解中的“粗糙”部分（低频部分） j A ， j W 表示小波分 解中的“细节”部分 j D 或高频部分，则 j W 是 j V 在 1+j V上的正交补，即 1+ = jjj VWV Zj （2-15） 显然： 1 )2()( + jj WtfWtf Zj （2-16） 第二章 小波变换基本理论 - - 13 则用有限个子空间来逼近可以得到多分辨率分析的子空间 0 V ，即 11122110 WWWVWWVWVV NNN LL= （2-17） 若令 ji Vf 表示分辨率为 j 2的函数)( 2 RLf 的逼近（低频部分或“粗糙”部 分），而 jj Wd 代表逼近的误差（高频部分或“细节”部分），重复这个过程， 则有 1212210 dddfddffff NNd +=+=+=LL （2-18） 0 ff =，则式（2-19）可缩写为： = += N i N dff 1 1 （2-19） 这表明， 任何函数)()( 2 RLtf都可以按照分辨率为 N 2时f的低频部分和分辨率 为Nj j 1 ,2的高频部分进行完全重构。这就是著名的Mallat塔式重构算法的 思想。 从包容关系 10 VV， 我们很容易得到尺度函数)(t的一个极有用的性质。 因 为 1+ = jjj VWV，则小波函数 0 )(Wt尺度函数 0 )(Vt都属于子空间 1 V，而子 空间 1 V是用Zkktt k =)2(2)( 2 1 , 1 生成的， 所以， 函数 0 )(Wt 和函数 0 )(Vt 都可以展开成)( , 1 t k 的线性叠加，即存在两个系数序列 k p和 2 lqk（l表示序 列空间），使 = k k ktpt)2(2)( （2-20） = k k ktqt)2(2)( （2-21） 对于所有Rt成立。式（2-20）和（2-21）分别称为尺度函数的双尺度方程 和小波函数的双尺度方程。 双尺度方程（2-20）和（2-21）表明，小波基)( , t kj 可由尺度函数)(t的平 移和伸缩的线性组合获得，其构造归结为滤波器)(wP()(kp的频域表示)和)(wQ （)(kq的频域表示）设计。 2.4 图像小波变换分解与重构 现假设图像是一个二维函数)(),( 22 RLyxf且是有限能量， 则它的多分辨分 第二章 小波变换基本理论 - - 14 析就是为了使它们满足多分辨率定义的二维推广形式这一性质而构造子空间 系。要实现二维小波多分辨率分解可以用分别在水平和垂直方向进行滤波的方 法。 将图像),(yxf视为一个分辨率为120= 的离散逼近fA0， 然后它就可以分解 为一个低分辨率 j 2的逼近fAj和若干高分辨率)0(2Jj j 的逐次细节逼近 fDj的和。 由二维连续信号的小波分解表示式可以知道：小波函数)(t带通信号，而 尺度函数)(t则是相对于带通的低通信号。可以得到如下结论12： )()(yx对应x方向低通，y方向低通，记为LL； )()(yx对应x方向低通，y方向带通，记为LH； )()(yx对应x方向带通，y方向低通，记为HL； )()(yx对应x方向带通，y方向带通，记为HH。 图2-2 )(x和)(x对频域的划分 图像可以看作二维信号)(),( 22 RLyxf，在分辨率为j时的离散近似记为fAd j ， 离散细节记为fDj。 小波分解就是原信号通过yx,方向的滤波后输出的离散采样 值，即： fAd j 表示将信号分解到yx,方向都低通的频带上。 在图像信号中， 是原图像 的近似图像即表示的是对原图像均滤掉行、列方向的高频； 第二章 小波变换基本理论 - - 15 fDj 1 表示将把信号分解到x，y方向分别为低通、高通的频带上。对应的是 图像的竖直边缘，表示的是滤掉原图像的行方向上的高频且在列方向上只保留 高频； fDj 2 表示将把信号分解到x，y方向分别为高通、低通的频带上。对应的是 图像的水平边缘，即表示滤掉原图像列方向上的高频且在行方向上只保留高频； fDj 3 表示将信号分解到yx,方向都为高通的频带上。 对应着图像的角边缘即 表示保留原图像行、列两个方向都为高频的部分。 第三章 基于小波变换的图像消噪 - - 16 第三章 基于小波变换的图像消噪 3.1 小波消噪问题的描述 图像消噪的方法有很多，总的来说，图像消噪的方法可以分为空间域方法 和变换域方法。空间域方法有：维纳滤波、中值滤波、线性滤波等。变换域法 是指对图像进行某种变换处理，把图像数据从空间域变换到变换域，然后再对 变换系数进行某种处理，最后再进行小波逆变换将图像恢复到空间域，从而达 到消噪的目的。图像变换域消噪方法有傅里叶变换、小波变换等。小波变换在 时域和频域都有很好的局部化特征，并且在高频部分采用的时频取样步长是逐 渐精细的，可以充分地突出图像的细节，所以得到非常广泛的应用。 小波变换具有4个特性12： (1)低熵性。因为小波系数是稀疏分布的，图像变换 后的熵降低；(2)去相关性。因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变 换后有白化趋势，所以小波域比空间域更利于去噪；(3)多分辨性。小波变换采 用了多分辨率分析， 所以它可以很好地描述信号的非平稳性特征，如尖峰、边 缘、断点等；(4)选基灵活性。小波变换可以灵活选择小波基，所以对不同的图 像，可以选用不同的小波函数，从而获得最佳的效果。这就是小波变换成功地 应用于图像消噪的原因。基于小波变换的消噪实际上是特征提取和低通滤波功 能的综合，其流程框图如图3-1所示。 图3-1 小波消噪的流程图 3.2 小波阈值消噪方法 3.2.1 小波阈值消噪方法的提出 小波消噪方法中最早提出的是小波阈值去噪方法，它是一种简单且有效的 第三章 基于小波变换的图像消噪 - - 17 消噪方法。近几年，随着对小波消噪算法的深入研究，小波消噪的方法也丰富 起来。到目前为止，基于小波消噪的方法概括起来可分为三类14:第一类方法是 基于小波变换模极大值图像消噪方法。最初由Mallat提出，根据有用信号和噪声 的小波变换在奇异点的模极大值的不同特性，采用多分辩率分析方法，由粗到 细地跟踪各尺度下的小波变换极大值来消除噪声；第二类方法是基于小波系数 尺度之间的相关性去噪，即对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间小波 系数的相关性，然后根据相关性的大小区分小波系数的类型，从而进行取舍， 直接重构信号；第三类方法是Donoho提出的阈值消噪方法，即对小波系数设置 阈值，在众多小波系数中，把绝对值较小的系数（小于阈值的系数）置零处理， 而让绝对值较大的系数（大于阈值的系数）保留或收缩，分别对应于硬阈值和 软阈值消噪方法，得到估计小波系数。然后对阈值处理后的系数进行小波逆变 换，直接进行信号重构。该方法认为信号对应的小波系数包含有信号的重要信 息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较 多，但幅值小。 基于小波变换模极大值原理的消噪方法是依据信号与噪声在小波变换下随 尺度变化表现出的不同变化特性而提出来的，所以消噪性能很稳定。它无需计 算噪声方差，所以不依赖噪声，尤其是对低信噪比的图像进行消噪时就更能体 现出它的优越性。但是消噪时，由模极大值来重构小波系数导致该方法大大增 加了计算量，经常在实际应用时因为不能满足对算法的实时性要求而失去了其 应用价值，这是一个根本性的缺点。而且，实际上其消噪效果也不是特别好。 基于小波系数尺度之间的相关性消噪的实现思想比较简单，也可取得比较 好的消噪效果，且效果比较稳定，比较适合高信噪比信号。它的不足之处是， 对噪声的依赖较大，需要估计噪声方差，而且需要进行迭代，导致计算量较大。 小波阈值消噪方法是计算量最小，实现最简单的一种方法，因而取得了最 广泛的应用，但是阈值的选取比较困难。虽然Donoho在理论上证明并找到了最 优通用阈值，但实际应用中效果并不是特别好。另外，阈值的选取需要估计噪 声方差，要依赖于噪声的方差。阈值选取是否合适直接影响着消噪结果。此外， 阈值函数的选取也很重要，一般硬阈值函数和软阈值函数因自身都有缺点，所 第三章 基于小波变换的图像消噪 - - 18 以消噪效果并不十分理想。 这三类方法做简单的定性比较见表3-1。 表3-1 三类小波消噪方法定性比较 消噪方法 模极大值消噪法 相关性消噪法 阈值消噪法 计算量 大 较大 小 稳定性 稳定 较稳定 依赖信噪比 消噪结果 较好 好 好 适应范围 低信噪比 高信噪比 高信噪比 从比较结果看，三种方法都有优，缺点，不是非常完美，没有一种方法完 全优于另一种方法，每一种方法都在不断的更新当中。事实上，在实际运用过 程中，常把这三种方法有机地结合起来使用，这样效果会更加明显。本设计主 要介绍小波阈值消噪方法。 3.2.2 小波阈值去噪方法原理 设有如下观测信号 )()()(tntstf+= （3-1） 其中为)(ts为原始信号，)(tn是均值为零，方差为 2 宽平稳加性高斯白噪声，即 服从高斯分布), 0( 2 N。直接从观测信号)(tf把有用信号)(ts提取出来是十分困 难的，所以必须借助于其他变换方法才能提取。小波变换克服了传统方法处理 非平稳信号时的局限性，为信号消噪提供了强有力的工具。 应用小波变换的时频特性，可以达到较好的消噪效果，图像经过采样得到 一系列矩阵，然后对图像进行小波变换，经过小波变换的图像可以分成一个低 通分量LL和三个高通分量 （HL，LH，HH） ， 即一个高频分量和两个次高频部分。 分解过程如图3-2所示。 第三章 基于小波变换的图像消噪 - - 19 图3-2 图像的小波分析 我 们 首 先 对 一 维 信 号)(tf离 散 采 样 ， 得 到N点 离 散 信 号 , 1,2 , 1 , 0),(=NnnfL其小波变换为 = = 1 0 )2()(2),( 2 N n j f knnfkjW j （3-2） 其中，),(kjWf是小波系数，简记为 kj w , ，但是在实际应用中，)(t一般没有显 式表达式，而且直接利用（3-2）式计算比较繁琐，所以可借助双尺度方程，即 Mallat算法，这样就得到小波变换的递归实现方法： ),(),(), 1(kjhkjSkjS ff =+ （3-3） ),(),(), 1(kjgkjSkjW ff =+ （3-4） 其中，g和h分别对应于小波函数)(t和尺度函数)(t的低通和高通滤波器， ), 0(kSf是原信号，),(kjSf是尺度系数，),(kjWf是小波系数。则小波变换的重 构公式为 ),( ),(),( ),(), 1(kjgkjWkjhkjSkjS fff += （3-5） 其中h 和g 分别对应于重构的低通和高通过滤波器。 我们对信号)()()(tntstf+=进行离散小波变换后， 由小波变换的线性性质知 道， 分解得到的小波系数 kj w , 仍然由 kj u , 即信号)(ts所对应的小波系数和 kj v , 即噪 第三章 基于小波变换的图像消噪 - - 20 声)(tn所对应的小波系数。 小波阈值消噪方法以小波系数的特性作为出发点15: （1） 原信号)(ts空间分布不均匀， 因此它所对应的各尺度上的小波系数 kj u , 在大部分),(kj位置上的幅值很小。只有在少数的某些),(kj位置上， kj u , 有较大 的幅值，这些点对应于信号)(ts的奇变位置和重要信息，并且 kj u , 的幅值随着尺 度的增大而增大； （2） 高斯白噪声)(tn的小波变换仍服从高斯分布的，所以它所对应的小波 系数 kj v , 在整个 J N kjjkj 2 , 2 , 1, 2 , 1),(LL=域上是一致分布的，而且 kj v , 的 幅值随尺度的增大而减小。 根据以上两个性质可以知道，高斯白噪声)(tn对所有),(kj点的 kj w , 都有影 响；而信号)(ts只对少数某些特定),(kj位置上的 kj w , 有影响。所以，从能量的观 点看，在小波域，原信号)(ts的能量只能分布在一小部分特定小波系数 kj w , 上； 而噪声)(tn的能量分布在所有 kj w , 上。因此我们可以把 kj w , 分成两类：一类是小 波系数由信号变换得到，并且包含噪声的变换结果，这类小波系数目较小，数 幅值大；另一类是小波系数由噪声变换后得到，这类小波系数数目较多，幅值 小。 基于此，我们可以设定一个合适的数T作为阈值，绝对值小于此阈值的小波 系数规定为第一类小波系数，就将其做置0处理；而对于绝对值大于T的小波系 数（主要由信号)(ts引起） ，规定为第二类小波系数，则对其保留或按某一固定 量向0收缩（分别是硬阈值方法和软阈值方法） ，从而得到估计小波系数 kj w , ，然 后利用 kj w , 直接对信号进行重构，达到消噪的目的。 第三章 基于小波变换的图像消噪 - - 21 3.3 阈值函数的选择与阈值估计 3.3.1 阈值函数的选择 小波阈值法的理论依据是：信号的能量往往集中于一小部分幅值大的小波 系数上，而噪声却均匀地分布于整个小波域，因此设定一个合适的阈值，把该 阈值作用于每个小波系数便可以达到消噪的目的，此方法的关键之处在于阈值 的选取上，阈值过大则产生“过扼杀现象，滤掉一些重要的图像特征，引起偏 差；反之，如果阈值太小，消噪后图像仍有噪声存在，不能有效的消除噪声。 小波阈值消噪算法主要有三个步骤16： （1）步骤l：选择合适的小波基并确定小波分解的层数，对有噪声的图像进 行小波变换，得到一组小波分解系数 kj w , ； （2）步骤2：在小波变换域设定阈值，并对小波系数进行阈值处理，获得 新的小波系数 kj w , ，使得 kjkj uw , 尽可能小； （3）步骤3：通过小波逆变换，利用 kj w , 进行小波重构，重构图像，得到降 噪图像。 上述三个步骤中步骤2中如何选择阈值和如何进行阈值处理最为关键。常用 的阈值处理函数有硬阈值(Hardthresholding)函数和软阈值(Softthresholding) 函数两种。 硬阈值处理函数为（见图3-2（a） ） ： = Tw Tww w kj kjkj kj , , , , 0 , （3-6） 软阈值处理函数为（见图3-2（b） ） ： = Tw TwTww w kj kjkjkj kj , , , , 0 ),)(sgn( （3-7） 其中，)sgn(为符号函数。 第三章 基于小波变换的图像消噪 - - 22 （a） 硬阈值函数 （b）软阈值函数 图3-2 两种阈值函数 3.3.2 阈值的估计 对于小波阈值消噪法，除了阈值函数的选取，阈值的估计也很关键。从直 观上看，对于给定的小波系数，阈值随噪声的增大而增大。目前使用的阈值主 要分为全局阈值和局部阈值。全局阈值采用统一的阈值对各层所有的小波系数 进行处理；而局部适应阈值是依照当前系数周围的局部信息来确定。 全局阈值主要有：统一阈值：阈值T满足 N Tlog2=，其中是噪声标准 方差，N是信号的长度或尺寸；基于零均值正态分布的置信区间阈值：T满足 43=T；BayesShrink阈值；MapShrink阈值；最小最大准则阈值(minimax 阈值)和理想阈值。考虑到算法的实现的复杂程度以及消噪的效果，大多数系统 采用了统一阈值。 统一阈值与信号的尺寸对数的平方根成正比， 所以当N较大时， 阈值基本上把所有的小波系数都置零。 然而，在实际应用中，在选取阈值时，图像中的噪声标准方差是不知道的， 所以要用估计方法来确定噪声标准方差。比较常用的估算公式为： () 6745.0 )(kdmedian j = （3-8） 式中， j 是小波分解尺度，median是Matlab中求中值的运算命令。这种计算方法 的缺点是比较复杂，消噪效果也不能令人满意。所以我们采用一种简单有效的 阈值估计方法:在图像进行正交小波分解的第一级，取小波系数的HH部分，以它 的标准方差的估计值，再利用统一阈值计算出阈值。 第四章 仿真实验与讨论 - - 23 第四章 仿真实验与讨论 4.1 图像消噪的评价标准 图像经过消噪处理后，质量如何，是否改善，如何评价，对我们判断消噪 方法的优劣有非常重要的意义。目前，评价方法一般分为主观评价和客观两种： (1) 主观评价 主观评价就是直接用眼观察消噪后的图像。图像消噪后，图像得到明显改 善的情况可以通过这种方法评价。但这种方法带有一定的主观性，只应用于消 噪效果明显的图像。 (2) 客观评价 在实际应用中，我们找到图像处理中图像质量评价的客观标准：峰值信噪 比PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)。PSNR值越大，就表示失真越少。 PSNR 是使用最广泛且最普遍的评价图像质量的客观测量法，但是很多实 验结果都显示，PSNR 测量的结果无法和用人眼测量的结果保持一致，有时 PSNR 较高的图像看起来反而比 PSNR 较低的图像差。这是因为视觉对误差的 敏感度并不是绝对的，所以人眼看到的结果会受到很多因素的影响导致与实际 结果不一致。例如：对比一些差异时，人眼对亮度的敏感度比对色度的，对空 间频率较低的对比差异敏感度较高，人眼对一个区域的感知结果会受到其周围 邻近区域的影响。 采用峰值信噪比PSNR作为消噪性能的评价标准，定义为： () NM jiBjiA PSNR ji = 2 , 2 256 ),(),( log10 （4-1） 其中， () NM jiBjiA MSE ji = , 2 ),(),( 表示均方误差（Mean Square Error） 。图像尺寸 大小为NM ，),(jiB为未加噪的原始图像在位置),(ji上的像素值， ),(jiA为 第四章 仿真实验与讨论 - - 24 消噪后的图像在位置),(ji上的像素值，信噪比单位是分贝（dB）。 4.2 MATLAB 软件简述 Matlab软件最初由美国MathWorks公司推出，经过近30年的不断发展、改进 和完善，已经成为现代最优秀的科学计算软件之一。该软件具有很强大的符号 计算和数值计算功能，重视实现数值分析和计算的可视化的功能，非常适合应 用于科学教学，成为各大学的数理统计、线性代数、微分方程、动态系统仿真、 数字信号处理、数字图像处理和模拟与数字通讯等很多课程的常用工具。 MATLAB软件具有可编程、命令控制功能，现有大量已经定义好了的函数 和命令。MATLAB软件可以应用于可视化研究、数据分析、符号和数值计算、 数字信号与图像处理等很多方面。它包含有几十种工具箱，功能强大，主要功 能包括分析、设计线性控制系统的健壮性，线性以及非线性函数的优化，设计 自动控制系统，图像的高级处理和分析，MC建模以及仿真等等17。 在Matlab工具箱中，小波(wavele