《自动控制原理》PPT课件-2.ppt

1,第七章 线性离散系统的分析与校正,扬州大学 电气工程及自动化系,2,第七章、线性离散系统的分析与校正,本章主要内容： 一、离散系统的基本概念 二、信号的采样与保持 三、Z变换理论 四、离散系统的数学模型 五、离散系统的稳定性与稳态误差 六、离散系统的动态性能分析 七、离散系统的数字校正,3,本章要求 : 一、了解离散系统的基本概念 二、掌握采样系统信号采样与保持的基本概念 三、重点掌握Z变换与Z反变换的方法 四、了解离散系统的数学模型 五、重点掌握采样系统脉冲传递函数的求法 六、了解离散系统的稳定性与稳态误差 七、了解离散系统的动态性能分析,第七章、线性离散系统的分析与校正,4,离散系统与连续系统相比，既有本质上的相 同，又有分析研究方面的相似性。利用Z变换法 研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和 方法，推应用于线性离散系统。,第七章、线性离散系统的分析与校正,5,一、离散系统的基本概念,本节主要内容： 1、采样控制系统 2、数字控制系统 3、离散控制系统的特点 4、离散系统的研究方法,6,如果控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码， 换句话说，这些信号仅定义在离散时间上，则这样的系统称 为离散时间系统，简称离散系统。通常，把系统中的离散信 号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控 制系统；而把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统 或计算机控制系统。 1、采样控制系统 （1）采样控制系统举例 一般说来，采样系统是对来自传感器的连续信息在某些 规定的时间瞬时上取值。如果在有规律的间隔上，系统取到 了离散信息，则这种采样称为周期采样；反之，则称为非周 期采样。本章仅讨论等周期采样。下面举例说明。,一、离散系统的基本概念（1）,7,炉温 采样 控制 系统,一、离散系统的基本概念（2）,8,（2）信号的采样与复现 I、信号的采样 在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程 称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器，或 称采样开关。为了简化系统的分析，可认为 趋于零，即把 采样器的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉 冲 ， 如图 （b） 所示。,一、离散系统的基本概念（3）,9,II、信号的复现 在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程 称为信号复现过程。实现复现过程的装置称为保持器。,一、离散系统的基本概念（4）,10,III、采样系统的典型结构图 根据采样器在系统中所外的位置不同，可以构成各种 系统，如果采样器位于系统闭合回路之外，或者系统本身 不存在闭合回路，则称为开环采样系统；如果采样器们于 系统闭合回路之内，则称为闭环采样系统。在各种采样控 制系统中，用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统， 其典型结构图如下图所示。,一、离散系统的基本概念（5）,11,采样系统的典型结构图,一、离散系统的基本概念（6）,12,2、数字控制系统 （1）数字控制系统举例 数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有 连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。因此，数字控制 系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态 下的被控对象现两大部分。 下图是小口径高炮精度数字伺服系统,一、离散系统的基本概念（7）,13,一、离散系统的基本概念（8）,14,计算机控制系统典型原理图 （2）A/D转换器、D/A转换器 1） A/D转换 A/D转换包括两个过程：一是采样过程，二是量化过程。 2）D/A转换 D/A转换也经历两个过程：一是解码过程，二是复现过程。,一、离散系统的基本概念（9）,15,A/D转换 D/A转换,一、离散系统的基本概念（10）,16,(3)数字控制系统的典型结构图,一、离散系统的基本概念（11）,17,3、离散控制系统的特点 1）由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。 2）采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗扰能力。 3）允许采用高灵敏的控制元件，以提高系统的控制精度。 4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。 5）对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定。,一、离散系统的基本概念（12）,18,4、离散系统的研究方法 为了克服运算过程中出现复变量的超越函数这个障碍， 需要采用Z变换法建立离散系统的数学模型。即采用Z变换 法分析离散系统。,一、离散系统的基本概念（13）,19,二、信号的采样与保持,本节主要内容： 1、采样过程 2、采样过程的数学描述 3、香农采样定理 4、采样周期的选取 5、信号保持,20,1、采样过程 把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采 样开关。采样器的采样过程，可以用一个周期性闭合的采样 开关来表示，如图所示。,二、信号的采样与保持（1）,21,采样过程可以看成是一个幅值调制过程。,二、信号的采样与保持（2）,22,2、采样过程的数学描述 采样信号的拉氏变换 对采样信号 进行拉氏变换，可得 从上可知 只描述了在采样瞬时的数值，所以 不能 给出连续函数在采样间隔之间的信息。,二、信号的采样与保持（3）,23,采样信号的频谱 由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息，所 以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。 式中,二、信号的采样与保持（4）,24,频谱图 连续信号频谱 采样信号频谱,二、信号的采样与保持（5）,25,3、香农采样定理 香农采样定理：如果采样器的输入信号 具有有限带 宽，并且有直到 的频率分量，则使信号 完满地从采 样信号 中恢复过来的采样周期 ，满足下列条件：,二、信号的采样与保持（6）,26,4、采样周期的选取 从频域性能指标来看，工程实践表明，随动系统的 采样角频率可近似取为 从时域性能指标来看，采样周期按下列经验公式选取： 或,二、信号的采样与保持（7）,27,5、信号保持 从数学上说，保持器的任务是解决各采样点之间的插值问题。 保持器的数学描述 保持器的外推公式 这样保持器称为m阶保持器。若取m0，则称零阶保持器； m1，称一阶保持器。,二、信号的采样与保持（8）,28,零阶保持器 零阶保持器的外推公式为 时，上式也成立。所以 零阶保持器的数学表达式为 见下张图,二、信号的采样与保持（9）,29,零阶保持器 的输出特性,二、信号的采样与保持（10）,30,零阶保持器具有如下特性： 1）低通特性。 2）相角滞后特性。 3）时间滞后特性,二、信号的采样与保持（11）,31, 一阶保持器 一价保持器外推公式 将 和 代入上式，有 得 于是，一阶保持器的数学表达式为,二、信号的采样与保持（12）,32,一阶保持器的输出特性,二、信号的采样与保持（13）,33,三、Z变换理论,本节主要内容： 1、Z变换定义 2、Z变换方法,34,1、Z变化定义 连续函数的拉氏变换为 对于采样信号 ，其表达为 故采样信号 拉氏变换,三、Z变换理论 （1）,35,由广义脉冲数的筛选性质可得 令变量 则采样信号 的Z变换定义为 记作,三、Z变换理论 （2）,36,2、Z变换方法 级数求和法 级数求和法是直接根据Z变换的定义 例76 试求单位阶跃函数 的Z变换 解 由于 在所有采样时刻上的采样值均为1，即 故由上式有,三、Z变换理论 （3）,37,例77 设 试求理想脉冲序列 的Z变换。 解 因为为T采样周期，故 又 故,三、Z变换理论 （4）,38,部分分式法 举例说明 例78 已知连续函数的拉氏变换为 试求相应的Z变换 。 解 将 展成如下部分分式： 取拉氏反变换，可得,三、Z变换理论 （5）,39,又 所以,三、Z变换理论 （6）,40,3、Z变换性质 线性定理 实数位移定理 复数位移定理 终值定理 卷积定理,三、Z变换理论 （7）,41,4、Z反变换 幂级数法 反演积分法 部分分式法 设已知的Z变换函数 无重极点，先求出 的极 点 ，再将 展开成如下部分分式之和： 然后逐项查Z变换表，得到 最后写出已知 的采样函数,三、Z变换理论 （8）,42,例713 设Z变换函数为 试求其Z反变换。 解 因为 所以,三、Z变换理论 （9）,43,5、关于Z变换的说明 Z变换的非惟一性 Z变换的收敛区间,三、Z变换理论 （10）,44,本节主要内容： 1、离散系统的数学定义 2、线性常系数差分方程及其解法 3、脉冲传递函数 4、开环系统脉冲传递函数 5、闭环系统脉冲传递函数 6、Z变换法的局限性及修正Z变换,四、离散系统的数学模型,45,1、离散系统的数学定义 将输入序列 ， 变换为输出序列 的一种变换关系，称为离散系统。记作 如果上式所示的变换关系是线性的，则称为线性离散 系统；如果这种变换关系是非线性的，则称为非线性离散 系统。,四、离散系统的数学模型 （1）,46,线性离散系统 如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统， 即有如下关系式 线性定常离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称 为线性定常离散系统。,四、离散系统的数学模型 （2）,47,2、线性常系数差分方程及其解法 线性定常离散系统可通过n阶后向差分方程描述 即,四、离散系统的数学模型 （3）,48,线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程来描述： 或表示为 常系数线性差分方程的求解方法有经典法、迭代法和Z 变换法,这里仅介绍工程上常用的后两种解法。,四、离散系统的数学模型 （4）,49, 迭代法 若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以利 用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。 例716 已知差分方程 输入序列 ，初始条件为 ，试用迭 代法求输出序列 。 解 根据初始条件及递推关系，得,四、离散系统的数学模型 （5）,50,四、离散系统的数学模型 （6）,51, Z变换法 利用Z变换的实数位移定理，得到以Z为变量的代数方程， 然后对代数方程的解 取Z反变换，求得输出序列 。 例717 试用变换法解下列二阶差分方程 或 设初始条件 。 解 对差分方程的每一项进行Z变换，根据实数位移定理：,四、离散系统的数学模型 （7）,52,得Z代数方程,四、离散系统的数学模型 （8）,53,3、脉冲传递函数 脉冲传递函数定义 设开环离散系统如下图所示，线性定常离散系统的 脉冲传递函数定义为系统的初始条件为零时系统输出采样信 号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，记作,四、离散系统的数学模型 （9）,54,在零初始条件下，线性定常散系统的输出采样信号为 然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信 号 ，而不是采样信号 ，则在系统输出端虚设一 个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，虚设的采 样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的， 只是输出函数 在采样时刻上的离散值 。,四、离散系统的数学模型 （10）,55, 脉冲传递函数意义 输入单位序列： 单位脉冲响应序列: 即 脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数 ，就 等于系统加权序列 的Z变换。,四、离散系统的数学模型 （11）,56, 脉冲传递函数求法 连续系统或元件的脉冲传递函数 ，可以通过其 传递函数 来求取。 脉冲过渡函数的采样拉氏变换 记作 习惯表示为,四、离散系统的数学模型 （12）,57,例718 设某环节的差分方程为 试求其脉冲传递函数 。 解 对差分方程取Z变换，并由实数位移定理得 当 时， ，在离散系统中其物理意义是代 表一个延迟环节。它把其输入序列右移一个采样周期后 再输出。,四、离散系统的数学模型 （13）,58,例719 设图723所示开环系统中的 试求相应的脉冲传递函数 。 解 将 展成部分分式 查Z变换表得,四、离散系统的数学模型 （14）,59,4、开环系统脉冲传递函数 采样拉氏变换的两个重要性质 1）采样函数的拉氏变换具有周期性，即 其中， 为采样角频率。 2）若采样函数的拉氏变换 与连续函数的拉氏变换 相乘后再离散化，则 可以从离散符号中提 出来，即,四、离散系统的数学模型 （15）,60,有串联环节时的开环系统脉冲传递函数 1）串联环节之间有采样开关 设开环离散系统如图(a)所示，由图可得 于是有,四、离散系统的数学模型 （16）,61,2）串联环节之间无采样开关 设开环离散系统如图 (b)所示，显然 这里 为 的拉氏变换,四、离散系统的数学模型 （17）,62,上式中 通常 对输出取Z变换，得 于是开环系统脉冲传递函数,四、离散系统的数学模型 （18）,63,显然， 在串联环节之间有无同路不采样开关隔离时，其总的脉冲 传递函数和输出Z变换是不相同的。但是，不同之处仅表现 在其零点不同，极点仍然一样。这也是离散系统特有的现 象。,四、离散系统的数学模型 （19）,64, 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 设有零阶保持器的开环离散系统如下图 (a)所示。,四、离散系统的数学模型 （20）,65,由图(b)可得 根据实数位移定理及采样拉氏变换性质，可得,四、离散系统的数学模型 （21）,66,例721 设离散系统如前图所示，已知 试求系统的脉冲传递函数 。 解 因为 因此，有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,四、离散系统的数学模型 （22）,67,5、闭环系统脉冲传递函数 下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。,四、离散系统的数学模型 （23）,68,由上图可见，连续输出信号和误差信号的拉氏变换为 因此有 所以,四、离散系统的数学模型 （24）,69,定义 为闭环离系统对于输入量的误差脉冲传递函数。 定义 为闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数。 闭环离散系统的特征方程：,四、离散系统的数学模型 （25）,70,需要指出，闭环离散系统脉冲传递函数不能从 和 求变换得来，即 这是由于采样器在闭环系统中有多种配置之故。,四、离散系统的数学模型 （26）,71,例722 设闭环离散系统结构图所示，试证其闭环脉冲 传递函数为,四、离散系统的数学模型 （27）,72,6、变换法的局限性及修正变换 变换法的局限性 修正变换法,四、离散系统的数学模型 （28）,73,本节主要内容： 1、s域到z域的映射 2、离散系统稳定的充分必要条件 3、离散系统的稳定性判据 4、采样周期与开环增益对稳定性的影响 5、离散系统的稳态误差 6、离散系统的型别与静态误差系数,五、离散系统的稳定性与稳态误差,74,1、s域到z域的映射 s域到z域的基本映射关系式为,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （1）,75,等 线映射,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （2）,76,等 线映射,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （3）,77, 等 线映射,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （4）,78,2、离散系统稳定的充分必要条件 定义 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序 列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。 时域中离散系统稳定的充分必要条件 设线性定常差分方程 差分方程的特征方程如下,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （5）,79,设特征方程有各不相同的特征根 当特征方程的根 时，必有 ，故系统 稳定的充分必要条件是： 当且仅当差分方程所有特征根的模 ， 则相应的线性定常离散系统是稳定的。,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （6）,80, z域中离散系统稳定的充分必要条件 设典型离散系统结构图如图所示，其特征方程为,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （7）,81,在z域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单 位圆内，或者所有特征的模均小于1，即 ， 相应的线性定常离散系统是稳定的。,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （8）,82,例727 设离散系统如图所示，其中 试分析该系统的稳定性。 解 所以该离散系统不稳定。,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （9）,83,3、离散系统的稳定性判据 w变换与劳思稳定判据 双线性变换 显然,五、离散系统的稳定性与稳态误差（10）,84,例728 设闭环离散系统如图所示，其中采样周期 ，试求系统稳定时K的临界值。 解：,五、离散系统的稳定性与稳态误差（11）,85,闭环特征方程 令 ，得 得W域特征方程,五、离散系统的稳定性与稳态误差（12）,86,列出劳思表 为了保证系统稳定，必须使 和 ， 即 。故系统稳定的临界增益 。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（13）,87, 朱利稳定判据 朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程 的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判 断该离散系统是否稳定。 设离散系统n阶闭环特征方程可以写为 利用特征方程的系数，按照下述方法构造 行、 列朱利阵列，见下表。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（14）,88,朱 利 判 据 表,五、离散系统的稳定性与稳态误差（15）,89,这里 ,五、离散系统的稳定性与稳态误差（16）,90,朱利稳定判据 特征方程 的根，全部位于Z平面 上单位圆内的充分必要条件是 以及下列 个约束条件成立,五、离散系统的稳定性与稳态误差（17）,91,4、采样周期与开环增益对稳定性的影响 举例说明 例730 设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试求： 1)当采样周期 分别为1s和0.5s时，系统的临界开环增益 2)当 ， ， 分别为 时，系 统的输出响应 。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（18）,92,解: 开环脉冲传递函数 闭环特征方程为 当 时，有,五、离散系统的稳定性与稳态误差（19）,93,W域特征方程 根据劳思判据易得 。 当 时，W域特征方程为 根据劳思判据得 。 令 ， 分别为 可由 的反变换求 出 ，分别画于下张图之中。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（20）,94,图： 阶 跃 响 应,五、离散系统的稳定性与稳态误差（21）,95,由例可见，K与T对离散系统稳定性有如下影响： 1)采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变 差，甚至使系统变得不稳定； 2)当开环增益一定是，采样周期越长，丢失的信息越多，对 离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去 稳定性。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（22）,96,5、离散系统的稳态误差 介绍利用Z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散 系统在采样瞬时的稳态误差。 设单位单馈误差采样系统如下图所示，,五、离散系统的稳定性与稳态误差（23）,97,其中 为系统误差脉冲传递函数。 若离散系统是稳定的，则可用Z变换的终值定理求出采 样瞬时的稳态误差,五、离散系统的稳定性与稳态误差（24）,98,例7-31 设离散系统如下图所示，其中 ，输入连续信号 分别为 和 ，试求离散 系统相应的稳态误差。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（25）,99,解: 系统的误差脉冲传递函数 因为 所以系统稳定，应用终值定理方法求稳态误差。 当 ， 求得,五、离散系统的稳定性与稳态误差（26）,100,当 ，相应时 ， ，求得,五、离散系统的稳定性与稳态误差（27）,101,6、离散系统的型别与静态误差系数 单位阶跃输入时的稳态误差 当系统输入为单位阶跃函数 时，其Z变换函数 稳态误差为 定义静态位置误差系数：,五、离散系统的稳定性与稳态误差（28）,102, 单位斜坡输入时的稳态误差 当系统输入为单位斜坡函数 时，其Z变换函数 稳态误差为 定义静态速度误差系数,五、离散系统的稳定性与稳态误差（29）,103, 单位加速度输入时的稳态误差 当系统输入为单位加速度函数 时，其Z变换函数 稳态误差为 定义静态加速度误差系数,五、离散系统的稳定性与稳态误差（30）,104,表：单位反馈离散系统的稳态误差,五、离散系统的稳定性与稳态误差（31）,105,本节主要内容： 1、离散系统的时间响应 2、采样器和保持器对动态性能的影响 3、闭环极点与动态响应的关系,六、离散系统的动态性能分析,106,1、离散系统的时间响应 通常假定外作用为单位阶跃函数 ，如果可以求出离 散系统的闭环脉冲传递函数 ，则系统输出量 的Z变换函数 将上式展成幂级数，通过Z反变换，可以求出输出信号的脉 冲序列 。 代表线性定常离散系统在单位阶跃输入 作用下的响应过程，根据单位阶跃响应曲线可以方便地分析 离散系统的动态和稳态性能。,六、离散系统的动态性能分析 （1）,107,例732 设有零阶保持器的离散系统如下图所示，其中 。试分析该系统的动态性能。 解：,六、离散系统的动态性能分析 （2）,108,闭环脉冲传递函数 单位阶跃序列响应的Z变换：,六、离散系统的动态性能分析 （3）,109,输出序列 为 根据上述数值，可以绘出离散系统的单位阶跃响应，如下 张图所示。,六、离散系统的动态性能分析 （4）,110,图：离散系统输出脉冲序列,六、离散系统的动态性能分析 （5）,111,2、采样器和保持器对动态性能的影响 举例说明 在例732中，如果没有采样器和零阶器，则成为连续系统， 其闭环传递函数 该系统的阻尼比 ，自然频率 ，其单位阶跃响应为,六、离散系统的动态性能分析 （6）,112,如果在例732中，只有采样器而没有零阶保持器，则系统 的开环脉冲传递函数为 相应的闭环脉冲传递函数 代入 ，得系统输出Z变换,六、离散系统的动态性能分析 （7）,113,在例732中，既有采样器又有零阶保持器的单位阶跃响应 曲线，见曲线3。,六、离散系统的动态性能分析 （8）,114,根据上张图，可以求得各类系统的性能指标如下表所示。,六、离散系统的动态性能分析 （9）,115,采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使 超调量增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 然而，在某些情况下，例如在具有大延迟的系统中，误差采 样反而会提高系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时