《重积分计算》PPT课件.ppt

第二节 重积分的计算,直角坐标系下计算二重积分 举例 小结,A(x),dV=A(x)dx,x,定积分中已知截面面积为 A(x)的立体-元素法/微元法,.,a,V,b,二重积分的计算1 (D是矩形区域),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域 a,b ; c,d,z=f (x,y),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域 a,b ; c,d,z=f (x,y),问题：Q( y)是什么图形？,Q( y ) =,是曲边梯形。,.,二重积分的计算1 (D是矩形区域),.,I,y,a,b,c,d,D,.,Q( y ) =,I,同理，也可以先对 y 积分,.,.,z=f (x,y),D是矩形区域 a,b ; c,d,二重积分的计算1 (D是矩形区域),二次积分,二次积分,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,X型,积分区域的类型：,如果积分区域为：,Y型,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),y,D: (y) x (y) c y d,二重积分的计算2（D是曲线梯形区域）,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),.,y,问题：Q( y)是什么图形？,D: (y) x (y) c y d,也是曲边梯形 !,.,Q( y ) =,I =,二重积分的计算2（D是曲线梯形区域）,.,x=(y),y,c,d,D,.,D: (y) x (y) c y d,.,Q( y ) =,I =,二重积分的计算2（D是曲线梯形区域）,x=(y),z=f (x,y),D: x1(y) x x2(y) c y d,I =,x2(y),x1 (y),c,d,y,二重积分计算的两种积分顺序,D,Y型,c,d,y,D,x2(y),x1 (y),I =,二重积分计算的两种积分顺序,.,D: x1(y) x x2(y) c y d,Y型,c,d,y,D,D: y1(x) y y2(x) a x b,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,I =,二重积分计算的两种积分顺序,.,D: x1(y) x x2(y) c y d,Y型,X型,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,二重积分计算的两种积分顺序,.,I =,D: x1(y) x x2(y) c y d,D: y1(x) y y2(x) a x b,Y型,X型,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,二重积分计算的两种积分顺序,.,I =,D: x1(y) x x2(y) c y d,D: y1(x) y y2(x) a x b,Y型,X型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 积分次序：先Y后X。,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 积分次序：先X后Y。,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则须进行分割.,解：,积分区域如图,如果积分区域即是X-型又是Y-型的 ，则重积分既可以转化为先对x后对y的 ，也可以转化为先y后x的二次积分（累次积分）,解：,积分区域如图,解：,原式,2a,2a,a,D:,解：,0 x 2a,D1,D2,.,.,.,.,另： 将积分换序,.,注：这种方法要求 f (x, y) 在D2上有定义甚至连续,解：,1,1,3,y = x,x = y 2,D,.,.,.,例5、计算,解：,解：,1,1,y = x2,D,2 先对 y 积分（从下到上）,1 画出区域 D 图形,3 先对 x 积分（从左到右）,.,.,.,y = x,.,.,.,用两种顺序计算,a,b,1,D1,（定积分三角代换）,.,.,瓦里斯公式,=,附：,瓦里斯公式,二重积分在直角坐标下的计算公式,在积分中要正确选择积分次序与正确给出积分限，且定积分中的各种技巧在这里仍然适用。,本节小结,Y型,X型,D: 由四条直线 : x=3，x=5, 3x 2y+4 = 0, 3x 2y+1 = 0 共同围成的区域 .,3,5,5,8,3x 2y+4 = 0,3x 2y+1 = 0,D,.,D1,D2,D3,先对y积分【X-型】,先对x积分【Y-型】（需分块）,.,.,.,.,练习一：将二重积分化成二次积分,如果先对 y 积分,无法进行,因此先对 x 积分,二次积分中的第一次积分要易于计算， 且最终形成只是关于第二个变量的函数。,一