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第9章 谓词逻辑基础,考察这样两个命题：,P: 张天是大学生,Q: 王夜是大学生,在命题逻辑中不能统一表示,为统一表示引入谓词逻辑,9.1谓词逻辑的基本概念,9.1.1 个体、谓词、谓词表达式,一个原子命题主要是由主语和谓,语组成。主语就是论述的对象称,为个体。,个体可是具体的，或抽象的,常用a，b，c等表示,个体可是一个对象，或多个对象,当个体是一个对象时,谓语表示它的性质,当个体是多个对象时,谓语表示它们之间的关系,谓语称为谓词,常用P,Q,R,A,B等表示,也常用英文单词来表示,GREAT:大于;BETWEEN:位于,之间,当一个个体a具有性质P时，就表,示为P(a)。这时称P为一元谓词,设P：是大学生,a: 张天,b: 王夜,则两个命题可分别表示为,P(a)，P(b),设R：大于,则 2大于3可表示为R(2 , 3),这时称R为二元谓词,命题：武汉位于北京和广州之间,设B: 位于和之间,w: 武汉 b:北京 g:广州,则命题可表示为B(w,b,g),这时称W为三元谓词,注意：当谓词涉及多个个体时,千万不能随意交换个体顺序,如上述R(3, 2)表示3大于2,R(2, 3)表示2大于3,把语句写成如上形式,P(a),R(2,3),B(w,b,g)等就称为,谓词表达式。,例 将下列语句写成谓词表达形式,(1)苏格拉底是要死的。,设D: 是要死的,s: 苏格拉底,则语句写成谓词表达式为D(s),(2) 3+ 5 = 8,设ADD: + = ,则写成谓词表达式为ADD(3,5,8),个体常元,代表一个确切的个体,个体变元,代表任意个体的个体,例如,设D: 是要死的,s: 苏格拉底,s:某块石头,D(s)为真,D(s)为假,当谓词表达式随个体变元的取值,不同而真值也不同时,该谓词表达式不再是命题，称为,命题函数,9.1.2 命题函数与个体域,简单命题函数,由一个特定谓词P和n个个体变元,x1,x2, , xn组成的P(x1,x2, , xn),的表达式。,简单命题函数可用所有的命题联,接词组成复合命题函数。,A(x): x 学习数据结构课程,B(x): x 学习计算机数学基础,则A(x) B(x):表示x学习数据结,构和计算机数学基础课程,A(x) B(x):表示若x学习数据结,构，则他必学习计算机数学基础,个体域,个体变元的变化范围,全总域,讨论对象遍及一切个体时，,个体域特称为全总域,例,x是小于100的质数,设L(x,100)：x小于100,P(x)：x是质数,则可表示为L(x,100)P(x),y是非负实数当且仅当y大于等于0,设NN(y)：y是非负的,E(y,0)：y等于0,G(y,0)：y大于0,则可表示为,NN(y) E(y,0)G(y,0),9.1.3 量词与辖域,谓词逻辑区别于命题逻辑还有,一点更重要的是要讨论量词,即指,“所有,一切,任一个,有,某些,存在”,分别用符号 和 来表示,所有,一切,任一个为全称量词,用符号 表示.,有,某些,存在为存在量词,用符号 表示.,x P(x)表示个体域中所有的个体,都满足谓词P,x P(x) 表示个体域中有个体满足,谓词P,设 M(x)：x是人,B(x)：x是勇敢的,则 x (M(x)B(x) 表示为,有的个体是人且是勇敢的,或有人勇敢,则 x M(x)B(x) 表示为,若个体是人，则必定勇敢,设L(x,2)：x小于2,则x (L(x,2)L(x,2) 表示为,所有个体或者小于2或者不小于2,则x (L(x,2) 表示为,有的个体不小于2,量词的辖域,每个量词会有一个量化范围，,即对哪个谓词中的个体变元是全,称的，哪个又是存在的。,x P(x),量词x的辖域是P(x),x (M(x)B(x),量词x的辖域为M(x)B(x),xM(x)D(x),量词x的辖域为M(x),约束变元,量词中的变元,量词辖域中的相应变元,自由变元,不是约束变元的,x M(x)D(x),xM(x) 中的x是约束变元,D(x) 中的x是自由变元,注意：,为避免x在同一公式中的变元不同,特对约束变元或自由变元作更改,x M(x)D(x)可改为,x M(x)D(y)或y M(y)D(x),例 确定下列量词的辖域，约束,变元与自由变元，并对约束变元,或自由变元作适当的更改。,(1) x(P(x) x B(x),解：x的辖域是P(x) x B(x),x的辖域是B(x),x是约束变元,x(P(x) x B(x)可改为,y (P(y)xB(x),或x(P(x)y B(y),(2) x(P(x)y R(x,y)Q(x,z),解：x的辖域是P(x)y R(x,y),y的辖域是R(x,y),x(P(x)y R(x,y)中的x,y是约束,变元,Q(x,z)中的x, z为自由变元,x(P(x)yR(x,y)Q(x,z)可改为,u(P(u)y R(u,y)Q(x, z),或x(P(x)y R(x,y)Q(t, z),注意：,全部被量化的命题函数，,在给定的个体域中有确定的真值,因而是命题,如x P(x),x(P(x)y R(x,y),对于被量化的命题函数，在有限,的个体域中可将量词消去，用枚,举的方法有如下等价式：,设个体域D= a1, , an,xP(x) P(a1)P(an),xP(x) P(a1) P(an),例 设个体域为a,b，消除以下,谓词中的量词。,(1) x (P(x)Q(x),(2) x y R(x,y),解：,(1) x (P(x)Q(x),(P(a)Q(a)(P(b)Q(b),(2) x y R(x,y), x (R(x,a)R(x,b), (R(a,a)R(a,b)(R(b,a)R(b,b),例 求下式的真值,x (P(x)Q(x),其中个体域D=1,2,P(x):x=1,Q(x):x=2,解：,x (P(x)Q(x), (P(1)Q(1)(P(2)Q(2), (10)(01), 11, 1,9. 1. 4 谓词公式及语句的形式化,与命题公式相同，在谓词逻辑中,一个合法的符号串即为一个谓词,公式。,定义 归纳定义谓词公式,谓词公,式又称合式公式，简称公式。,(1)谓词公式是公式,命题常元是公,式(看作零元谓词),常称原子公式,(2)如果A,B是公式,x为任一变元,那么(A),(AB),(xA),(xA),(AB),(AB),(AB)都是公式,(3)只有有限步使用(1)，(2)条款所,形成的符号串是公式。,语句形式化过程的主要步骤是：,(1)准确地从语句中提取谓词。表,示性质的谓语用一元谓词表示，,表示关系的谓语用二元或更多元,数的谓词来表示。,(2)准确地使用量词和确定量词的,辖域，当辖域中多于一个谓词时,必须注意括号的使用。,例 把下列语句形式化,有一个大于10的偶数,解：首先定义如下谓词,E(x)：x是偶数,G(x,y)：x大于y,则语句形式化为,x(E(x)G(x,10),任何整数都是实数,