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概率论在保险中的应用概率论在保险中的应用 摘要摘要：概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学科学是对随机现象的统计规律进行的演绎和 归纳的科学.随着社会的不断发展,概率论与数理统计的知识越来越重要.运用抽样数据进行推断已成为现 代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式.本文就概率论与数理统计的方法和思想,并就其在保险中的应 用进行分析和讨论,从中可以看出在经济领域和日常生活中以概率方法和数理统计的思想解决问题的高效 性,简捷性和实用性 关键词：概率论,保险,大数定律 一、概率统计与保险.1 1.概率论的研究对象 1 2.概率论的起源 1 3.概率论与保险的关系 2 二、随机变量及其分布与保险.2 三、数字特征与保险.2 四、大数法则与保险.3 1 切比雪夫大数法则 .3 2.贝努里大数法则 3 3.泊松大数法则 4 4.大数定律对风险转移的作用 4 5.大数定律在保险中的适用性 4 五、应用概率进行保险计算.4 六、总结.5 参考文献.5 山西大同大学毕业论文（设计） 1 一、概率统计与保险 1.概率论的研究对象 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.随机现象是相对于决定性现象而言的,在一定条件下必然 发生某一结果的现象称为决定性现象.例如在标准大气压下,纯水加热到 100时水必然会沸腾等.随机现 象则是指在基本条件不变的情况下,一系列试验或观察会得到不同结果的现象.每一次试验或观察前,不能 肯定会出现哪种结果,呈现出偶然性.例如,掷一硬币,可能出现正面或反面,在同一工艺条件下生产出的灯 泡,其寿命长短参差不齐等等.随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.随机试验的每一可能结果称为 一个基本事件,一个或一组基本事件统称随机事件,或简称事件.事件的概率则是衡量该事件发生的可能性 的量度.虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的,但那些可在相同条件下大量重复的随机试 验却往往呈现出明显的数量规律.例如,连续多次掷一均匀的硬币,出现正面的频率随着投掷次数的增加逐 渐趋向于 12.又如,多次测量一物体的长度,其测量结果的平均值随着测量次数的增加,逐渐稳定于一常 数,并且诸测量值大都落在此常数的附近,其分布状况呈现中间多,两头少及某程度的对称性.大数定律及中 心极限定理就是描述和论证这些规律的.在实际生活中,人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况 随机过程.例如,微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）,这就是随 机过程.随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率,特别是研究与随机过程样本轨道 (即过程的一次实现)有关的问题,是现代概率论的主要课题.概率论与实际生活有着密切的联系,它在自然 科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用. 2.概率论的起源 概率论的起源与赌博问题有关.16 世纪,意大利的学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题.17 世 纪中叶,法国数学家 B.帕斯卡、P.de 费马及荷兰数学家 C.惠更斯基于排列组合方法,研究了一些较复杂的 赌博问题,他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题等.随着 18、19 世纪科学的发展,人们注意到在某些生物、 物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性,从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时 这也大大推动了概率论本身的发展.使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家 J.伯努利,他建 立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定律,阐明了事件的频率稳定于它的概率.随后 A.de 棣莫弗和 P.S.拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式.拉普拉斯在系统总结前人工作 的基础上写出了分析的概率理论,明确给出了概率的古典定义,并在概率论中引入了更有力的分析工具,将 概率论推向一个新的发展阶段.19 世纪末,俄国数学家 P.L.切比雪夫、A.A.马尔可夫、A.M.李亚普诺夫等 人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变 量近似服从正态分布.20 世纪初受物理学的刺激,人们开始研究随机过程.这方面 A.N.柯尔莫哥洛夫、N.维 纳、A.A.马尔可夫、A.R 辛钦、P.莱维及 W.费勒等人作了杰出的贡献. 山西大同大学毕业论文（设计） 2 3.概率论与保险的关系 概率则是研究风险的不确定性在大数中所呈现的规律性,而保险学是利用风险的不确定性在大数中消 失来化解风险的,概率论的研究对象正是保险学建立和发展的基础.由此可见,保险学和概率论是密不可分的, 概率论是保险技术的数理基础. 二、随机变量及其分布与保险 随机变量即用数量来描述随机试验的不同结果.概率分布是描述随机变量取值及其对应概率的方式.在 保险经营上,随机变量及其分布指各种损失的数量及其损失可能性的大小. 例: :某单位有 5 辆汽车投保,发生事故的车辆数就是一个随机变量,可能取值是 0、1、2、3、4、5 六种 结果,根据保险公司的统计资料,每种结果发生的概率为 发生事故车辆数01 2 345 对应概率0.950.040.01000 以上表达方式即为车辆发生事故次数的概率分布.在风险估计中,经常采用理论概率分布.理论概率分 布是根据某些随机现象的性质和大量实际统计数据用数学方法抽象出来的率分布规律,它可用数学公式对 随机现象进行精确的描述.保险经营理论中遇到的随机现象符合于一定形式的理论概率分布或与它近似吻 合,我们可以利用数字特征来确定理论概率分布,并用它来解决实际问题.例如：确定保费、赔偿金、保险 公司盈利的多少及所担风险的大小等.在保险理论中常用到的理论概率分布有二项分布和正态分布.二项分 布常用来计算在 n 个投保个体中,正好有 k 个需要赔偿的概率.正态分布常用于当信息量不足时的近似估计,还 可对二项分布进行近似计算,更重要的是正态分布是大数规律的一般表现形态,是大量社会经济现象的典型 分布.无论保险业务经营,还是保险理论探讨都离不开正态分布. 三、数字特征与保险 随机变量的数字特征可以总体上掌握随机变量某一侧面的性质,概率论中最常用的数字特征有两个:一 个是数学期望,一个是方差.期望表征随机变量的取值水平即平均数,是各事件发生的结果与其发生可能性 乘积之和.在保险经营中,常用求数学期望的方法确定损失期望值,是确定纯费率重要的重要依据.对保险人 来说,知道了损失期望值,也就知道了预期损失总额,而保险费的收取,恰是以补偿预期损失为基础的.对被 保险人来说,他可将预期收入与保费相比较,然后作出是否购买保险的决定.方差是描述随机变量取值离散 程度(相对数学期望)的一个数量指标.在保险经营中常用方差来衡量企业所担风险的大小.方差越小,则期 望损失越稳定,企业对预期损失可有所准备,减少所担风险.反之,如果方差大,则期望损失稳定性差,企业可 能会遇到难以预测的损失,所担风险极大. 山西大同大学毕业论文（设计） 3 四、大数法则与保险 大数法则是用来说明大量的随机现象由于偶然性的相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统 称.在保险中常用到的有切比雪夫大数法则、贝努里大数法则、泊松大数法则. 1 切比雪夫大数法则 切比雪夫大数法则定理：设是相互独立的随机变量序列, 且服有: n XXXX 321 , .1 1 lim 1 n i i n X n P 切比雪夫大数法则其意义是对同一随机变量进行 n 次观测,所得观察值的平均值将比较密集地聚集在 它的期望值附近.在保险中其意义是:保险人收取的保险总额与赔偿金总额在数量上应是相等的,从理论上 阐明了保险公司可通过合理收取保费、合理赔偿来减少和化解风险.该极限定理运用到保险行业, 相当于 有个投保人或被保险人, 同时投保了个相互独立的保险标的, 用表示每个标的实际发生损失的大小, n X 且所有的期望值相等, 即其中为理论上每个 n XXX, 21021 n EXEXEX 投保人应缴纳的纯保费,为平均每个被保险人实际获得的赔款金额.当投保人数足够多, n i i X n 1 1 时, 实际赔款金额等于理论上的纯保费.n 2.贝努里大数法则 贝努利大数定律：设是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 在每次试验中发生的概率, n 则对任意给定的正数,有1 lim n n pp n 此定理表明当 n 很大时,n 重贝努利试验中事件 A 发生的频率几乎等于事件 A 在每次试验中发生的概 率,这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性,因此,在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事 件发生的频率来代替事件的概率.在保险经营中,可利用此定理依据统计资料(或经验)来估计损失概率.例 如,估计事故率、死亡率等. 证：人的死亡率作一次观察时是定值,作多次观察时是随机变量,而且, n n , n B n p 因此: , , n Enp n Dnpq , ./ n Enp/ n Dnpq n 在车比雪夫不等式中,取,则 a = p,/ n n 2 /pq n 于是对任意给定的正数, 有 2 111 n pq ppn nn 山西大同大学毕业论文（设计） 4 因而 lim1 n n pp n 3.泊松大数法则 泊松大数定律：设,是相互独立的随机变量, 1 2 n 1 nn PP (其中),则服从大数定律.0 nn Pq1 nn Pq n 泊松大数法则的意义是当试验次数很多时,其平均概率与观察结果所得的比率非常接近.在保险经营中,该 法则说明,尽管各个相互独立的风险单位的损失概率可能各不相同,但只要投保单位足够多保险公司可在平 均意义上求出相同的损失概率.即整体上的损失概率可由众多类别的损失概率平均得到.应用此结论,可在 保证整体收支平衡的条件下,适当调整各分类标的费率,使各类费率更加科学. 4.大数定律对风险转移的作用 保险公司的作用在于分摊风险,它通过集中不同风险的方式来分摊每一个偶然的风险.大数法则使人们 明白将纯粹风险转移到保险公司后,虽然损失依然存在,但不确定性可以因此消除. 5.大数定律在保险中的适用性 大数法则不仅适用于保险标的数量方面,也适用于时间方面,通过再保险还适用于保险人数量足够大时 的情况.例如,机动车辆事故保险中,共有一万辆车投保,其中一小部分将发生事故,可在“数量大数”中求 出损失平均值,也可经过长时间的观察,由大数法则估计一定时期内损失的近似值.又如,某公司承保卫星发 射业务,保险金额巨大,责任集中,标的仅一个,不能认为是大数,无法通过标的分摊风险,但可通过再保险, 将责任分摊到多个保险公司,应用大数 法则,则损失的不确定性降低,风险减少.这说明,再保险使大数法则的作用得到了充分发挥,有了新的意义. 五、应用概率进行保险计算 例：某保险公司有 m 人参加人身意外伤害保险,每人每年交保费 a 元,如发生意外事故,可得到 b 元的 赔偿.根据统计资料,已知意外事故率为 p,试分析保险公司盈利情况. 解：根据随机变量分布理论,投保人发生意外事故的人数 X 符合二项分布.则 m 人中正好有 k 个人发生意 外事故的概率为: ()(1) kkm k m p xkC pp 根据数学期望的计算方法,保险公司在每个被保险人身上的期望损失为: 0(1)pbpbp 保险公司的总期望损失是一定的,即, 方差是,由此看出,当赔偿金 b 越大时,方差越mbp 22 (1)m b pp 大,保险公司风险也就越大. 要使保险公司盈利,应使保费总收入 ma 大于期望损失 mbp,要使保险公司盈利超过 c 元, 应使： mambpc 山西大同大学毕业论文（设计） 5 即期望损失： mbpmac 于是要求赔偿金： mac b mp 或投保人发生意外的人数： mac k b 其可能性是： 0 ()(1) k nnm n m n p xkC pp 六、总结 其实,我们日常经济生活中到处都有概率的影子,小到天气预报,大到火箭上天,都离不开概率论.社会 经济现象,它不可能像物理现象、化学现象那样用实验的方法,因为这种实验条件,可以排除一切外在原因 的影响,而单纯地表示被研究的因素的作用.而社会经济现象则是众多人们极其复杂的社会经济活动的结果,而 且各种因素的影响又是相互交织着的.而每一个别事物现象对被研究的因素的影响,可能又被另一些因素的 影响所掩盖.因此,只有对事实总体加以概括的说明,才能有助于揭示被研究因素的这种影响,才能得出被研 究的社会经济所具的规律性.应用概率方法,可以用平均数、中位数、众数、极差、标准差等特征数用少数 几个数字表达出总体的整个情况,如果要比较两个或多个事物的差异及其程度时,可以通过上述特征数的差 异可信程度来说明,这种方法还可以分析影响事物变化的程度,计算出各个因素所产生的影响的大小,对问 题作出论断.保险业、金融业的风险预测便是与概率论休戚相关.概率是投资决策中分散风险的一种策略. 参考文献: 1中国人民大学数学教研室.概率论与数理统计M.北京:中国人民大 学出版社,1995. 2胡炳志.保险数学M.北京:中国金融出版社,1994. 3李万军,宋慧敏.试论保险的数理基础J 河南商业高等专科学校学报 2000.11 第 13 卷第 6 期 49-50 4 高洪忠.再论机动车辆保险的精算模型及其应用J.经济数学，2003 年 1 月 20 日 34 一 40. 5