经济数学14两个重要极限.ppt

,一. 极限存在的准则,ESC,1.4两个重要 极限,三. 无穷小量等价代换,1.4两个重要 极限,二. 两个重要极限,一.极限存在的准则,准则 如果数列 单调有界，则 一定存在,ESC,ESC,二.第一个重要 极限,1. (1.4.1),证 因为 ，所以只讨论 由正值趋于零的情形,作单位园O， 设圆心角 ,延长 交过 点的切线于于 ， 则 面积扇形 面积 面积即,ESC,二.第一个重要 极限,(1.4.2),即 (1.4.3),ESC,二.第一个重要 极限,ESC,二.第一个重要 极限,解,ESC,二.第一个重要 极限,例2 求 ,解 即令 则当 时， 于是,ESC,二.第一个重要 极限,例3 求 , (1.4.6),ESC,二.第一个重要 极限,例4 求 .,解,ESC,例5 求 ,解,二.第一个重要 极限,ESC,2. (1.4.7),二.第二个重要 极限,ESC,二.第二个重要 极限,ESC,二.第二个重要 极限,例6 求 ,或,ESC,二.第二个重要 极限,例7 求 ,ESC,二.第二个重要 极限,或,ESC,一. 极限的四则运算法则,练习1 求,原式,二.第二个重要 极限,ESC,一. 极限的四则运算法则,练习2 求,二.第二个重要 极限,解,ESC,一. 极限的四则运算法则,二.第二个重要 极限,一般地，可以有下面的结论：, (1.4.9),例8 求 ,ESC,一. 极限的四则运算法则,二.第二个重要 极限,例9 求 ,解法一因为 ，令 ，则 ，当 时， ，于是有,，,ESC,一. 极限的四则运算法则,二.第二个重要 极限,练习：求 （1） （2）,（3） （4）,解法二 （以下学生自行解决）,ESC,一. 极限的四则运算法则,二.第二个重要 极限,（1）,（2）,（3）,（4）,ESC,三.无穷小量的等价代换,1.无穷小的比较（复习）,一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小，,1）若 ，则称 是比 高阶的无穷,小，也可以称 是比 低阶的无穷小；,2）若 （c为非零常数），则称 与 是同阶的无穷小；,特殊地，若 ，则称 与 是等价的无 穷小， 记为 .,ESC,三.无穷小量的等价代换,2.等价无穷小的传递和代换的性质,设在同一变化过程中,（1）若 则 。,（2）若 且 存在 ， 则,ESC,三.无穷小量的等价代换,3. 常用的等价无穷小,当 时，有：,ESC,三.无穷小量的等价代换,例10 求下列极限（利用等价无穷小代换求极限）,（1）,解（1）当 时,（2）当 时,ESC,三.无穷小量的等价代换,（3） （4）,解（3）,（4）原式=,注意：函数应为乘积形式时才可以用无穷小替换，若是和差形式是不能用的.,ESC,三.无穷小量的等价代换,解（5）当 时，,原式=,（6）当 时，,原式=,ESC,内容小结,推广公式,一、第一个重要极限,该极限的特征是（1） 未定式（2）无穷小的 正弦与自身的比。,二、第二个重要极限,推广形式,ESC,内容小结,第二个重要极限的特征,（1） 型未定式。 （2）,三 无穷小的等价代换,当 时，有：,ESC,课堂练习,1、求下列极限,ESC,课堂练习,2