高中数学课件第二章第13节《定积分与微积分基本定理.ppt

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本 思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.,1.定积分的性质 (1) kf(x)dx ； (2) f1(x)f2(x)dx ； (3) f(x)dx .,f(x)dx(k为常数),f1(x)dx f2(x)dx,f(x)dx f(x)dx(其中acb),2.微积分基本定理 一般地，如果F(x)f(x)，且f(x)是区间a，b上的连续的 函数, f(x)dx . 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式. 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.,F(b)F(a),为了方便，我们常把F(b)F(a)记作 ，即 f(x)dx .,F(x),F(x) F(b)F(a),1.定积分 cosxdx ( ) A.1 B.0 C.1 D.,解析： cosxdxsinx sinsin00.,答案：B,2.已知k0， (2x3x2)dx0，则k ( ) A.0 B.1 C.0或1 D.以上均不对,解析： (2x3x2)dx 2xdx 3x2dxx2 x3 k2k30.k0或k1.又k0，k1.,答案：B,3.设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则 f( x)dx的值等于 ( ) A. B. C. D.,解析：f(x)2x1，m2，a1， 即f(x)x2x.,答案：A,解析：,答案：2(e1),5.曲线y 与直线yx，x2所围成图形面积为 .,解析：,答案： ln2,利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数.,特别警示 (1)若函数f(x)为偶函数，且在区间a，a上连续，则 f(x)dx2 f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在区间a，a上连续，则 f(x)dx0. (2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质 f(x)dx f(x)dx f(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可.,求下列定积分：,思路点拨,课堂笔记,(4)令f(x)3x34sinx，x ， f(x)在 ， 上为奇函数，,1.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形； (2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出 积分的上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分的表达式； (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.,2.几种典型的曲边梯形面积的计算方法 (1)由三条直线xa、xb(ab)、x 轴，一条曲线y f(x)f(x)0围成 的曲、边梯形的面积(如图(1)：,(2)由三条直线xa、xb(ab)、x 轴、一条曲线yf(x)f(x)0围成 的曲边梯形的面积(如图(2)：,(3)由两条直线xa、xb(ab)、两条曲线yf(x)、y g(x)f(x)g(x)围成的平面图形的面积(如图(3)：,求曲线yx2，直线yx，y3x围成的图形的面积.,思路点拨,课堂笔记 作出曲线yx2，直线 yx，y3x的图象，所求面积为图 中阴影部分的面积. 解方程组 得交点(1,1)， 解方程组 得交点(3,9)， 因此，所求图形的面积为,若将本例中“直线yx，y3x”改为“yx32x”，又该如何求解？,解：由x32xx2x1,0,2， 所以面积为S (x32xx2)dx (x2x32x)dx,定积分在物理中的应用，主要包括求变速直线运动的路程；求变力所做的功两部分内容. (1)要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的 速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定 积分即可，即物体做变速直线运动的路程s，等于其速度 函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分 v(t)dt.另外物体做变速直线运动的速度v，等于其加速度 函数aa(t)在时间区间a，b上的定积分 a(t)dt.,(2)如果变力F(x)使得物体沿力的方向由xa运动到xb(a b)，则变力F(x)对物体所做的功W F(x)dx.,列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？,思路点拨,课堂笔记 因列车停车在车站时，速度为0.故应先求出速度的表达式，之后令v0，求出t.再根据v和t应用定积分求出路程. 已知列车速度v072 km/h20 m/s，列车制动时获得的加速度为a0.4 m/s2， 设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则vv0 adt20 0.4dt200.4t，令v0，得t50(s).,设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则 S vdt (200.4t)dt500(m)， 所以列车应在进站前50 s，以及离车站500 m处开始制动.,高考对该部分内容的常规考法为：利用微积分基本定理求已知函数在某一区间上的定积分或求曲边梯形的面积.09年广东高考以物理知识为载体，考查了定积分的几何意义以及考生运用所学知识分析问题和解决问题的能力，是高考对该部分内容考查的一个新方向.,考题印证 (2009广东高考)已知甲、乙两车由同 一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直 线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和 v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和 t1，下列判断中一定正确的是 ( ) A.在t0时刻，两车的位置相同 B.t0时刻后，乙车在甲车前面 C.在t1时刻，甲车在乙车前面 D.t1时刻后，甲车在乙车后面,【解析】 路程S甲 v(t)dt的几何意义为曲线v甲与tt1及t轴所围的区域面积，同理S乙 v(t)dt的几何意义为曲线v乙与tt1及t轴所围的区域面积.由图易知S甲S乙，因而选C.,【答案】 C,自主体验 在区间0,1上给定曲线yx2，若 0,1，则图中阴影部分的面积S1与 S2之和最小值为 .,解析：S1面积等于边长为t与t2矩形面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积，即 S2的面积等于曲线yx2与x轴、xt，x1围成面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1t)，即,所以阴影部分面积S为 S(t)4t22t4t(t )0时，得t0，t . 当t 时，S最小，且最小值为S( ) .,答案：,1.(2009福建高考) (1cosx)dx等于 ( ) A. B.2 C.2 D.2,解析：,答案：D,2.(2010开原模拟)若 (2x )dx3ln2,则a的值为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.2,解析：,答案：D,3.如图，阴影部分的面积为 ( ),解析：阴影部分的面积为,答案：C,4.设函数f(x)ax2c(a0)，若 f(x)dx f(x0),0x01， 则x0的值为 .,解析：,答案：,5.ysinx(0x2)与x轴所围成图形的面积是 .,解析：,答案：4,6.在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为