高等数学数列的极限.ppt

,第一章,二 、数列极限存在准则,一、数列极限的定义,第三节,数列的极限,三 、收敛数列的性质,割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.,刘徽割圆术,一 、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S .,用其内接正 n 边形的面积,刘徽,如果按照某一法则，对每个,，对应着一个,确定的实数,，这些实数,按照下标n从小到大排列,得到的一个序列,就叫做数列，简记为数列 .,数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 叫做数列的一般项或通项。,1、数列,定义,例如,注意： (1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,(2).数列是整标函数,L,L,数列(2)从原点的两侧无限地接近于0,2.数列极限的定义,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近 于一个确定的常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛于a, 记为,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数.,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的. 习惯上也说,例如,趋势不定,收 敛,发 散,数列极限的演示,数列极限的演示,数列极限的演示,数列极限的演示,目标不惟一！,1.夹逼准则,二、极限存在准则,注意:,例,证明,证明,满足,由定义知,利用夹逼准则得,(1) 数列的有界性,例如,有界；,无界.,数列xn有上界,即存在M, 使xnM (n=1,2,).,数列xn有下界,即存在m,使xn m(n=1,2,).,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,(2) 数列的单调性,如数列,由准则知,及,分别是单调减少且下界,为1及单调增加且上界为1的数列,存在. 实际上,例,证,证明数列,极限存在 .,证: 利用二项式公式 , 有,设,例.,大,大,正,又,比较可知,大,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,内容小结,(1) 收敛的数列必定有界.,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例如,有界但不收敛,数列,三、 收敛数列的性质,(2).收敛数列的极限唯一.,(3).收敛数列具有保号性.,若,且,有,则,推论:,若数列从某项起,子数列的收敛性,注：,例如，,所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保 持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一 个数列称为原数列xn的子数列（或子列）.,在子数列 中，一般项 是第k 项，而 在,原数列 中却是第 项，显然，,(4). 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,1. 无界数列必定发散. 2. 一子列发散,则数列发散. 3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.,例:,证,发散数列判别法:,注: 一个发散的数列也可能有收敛的子数列.,内容小结,1. 数列极限的定义,3. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,作业,P19 1, 3,2.极限存在准则,单调有界准则,夹逼准则,数列极限的精确定义,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数.,或,问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.,引例,观察数列,时的变化趋势.,100,1,给定,100,1,1,n,由,100,1,1,-,n,x,有,只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。,引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。,注：,就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,即,或,则称该数列,的极限为 a ,定义:设 为一数列,如果存在常数a,对于任意给,定的正数 (不论它多小)总存在正整数N,使得当nN,时,不等式,都成立，,都落在a点的邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点,这就表明数列xn所对应的点除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法.,数列极限的几何意义,使得 N 项以后的所有项,注：,越小,表示,与a接近得越好.,OK! N找到了！,nN,目的：,NO, 有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e 越来越小，N越来越大！,例1 用定义证明,证明 对于任意给定的 要使,只要,取自然数,则当 时，有 , 所以,注：,就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.,例2. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,注：,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综