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第五节 函数的微分,实例:正方形金属薄片,边长由x0变到,一般的函数y=f(x)的增量,？,则面积增加,一、微分的定义,定义 设,则称函数y=f(x)在点x0可微，并称,若,为函数y=f(x)在点x0相应于 的微分，记为：,问题：若函数y=f(x)在点x0可微，则A=？,y=f(x)在x0可微,若y=f(x)在x0可微，则,则y=f(x)在x0可导，且,定理 若y=f(x)在x0可微，则y=f(x)在x0可导， 且,若y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可微， 称y=f(x)开区间(a,b)内可微，其微分为：,例1 求函数 y=x3, 当 x=2, x=0.02时的微分.,解,y=f(x)在x可微,当x为自变量时：,例2 设 求dy,解,y=f(x)在点x可微,问题：若y=f(x)在点x可导， y=f(x)在x是否可微？,由若y=f(x)在点x可导，,故 y=f(x)在点x可微。,y=f(x)在点x可微,函数y=f(x)在点x可微的充要条件是y=f(x)在点x可导。,即导数是两个微分的商,导数也称为微商.,设函数u=u(x)与v=v(x)都可微， C为常数，则,二、微分的运算法则,1. 函数和、差、积、商的微分法则,例3 设 求dy,解,2. 微分形式上的不变性,设函数y=f(x)可微，则 (1)当x是自变量时，,(2)当x是中间变量时，若函数x=g(t)可微, 得复合函数y=f(g(t),结论：设函数y=f(x)可微，则无论x是自变量还是中间变量，均成立：,微分形式的不变性,例4 设 求dy,三、微分的几何意义,y=f(x)在点x可微,P,）,E,几何意义: 设函数y=f(x)在点x0可微， 则y=f(x)在点x0的微分表示 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的 切线上纵坐标的增量。,P,）,E,微分三角形,1. 若y=f(x)是可微函数，则当 时，,是关于 的_无穷小， 与dy是_无穷小。,高阶,等价,四、微分在近似计算上的应用,y=f(x)在点x可微,近似计算公式,例5 计算 的近似值。,记 f(x)=sinx, 由sinx可导知：,取,得：,例6 计算 的近似值。,记,由
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