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,x 的一次多项式,4-3 泰勒公式,以直代曲,若上式成立，则有,要证明上述公式成立，实际上就是要证明,证,即证明了：,即证明了：,其中,(n阶泰勒多项式),展开式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式,定理 1 (泰勒公式),设 y = f(x) 在 点的某个邻域内有定义，并在 点具有 n 阶导数 则在 点附近有下列展开式：,证,连续地使用(n-1)次洛必达法则,则有,(*),证毕.,(*)称为n阶泰勒公式,称为皮亚诺型余项.,称为马克劳林（ Maclaurin ）公式 .,几个初等函数的马克劳林公式,例1,解,例2,解,类似可得,例3,解,或者认为展开式结束于偶数项：,例4,已知,例5,定理 设 在 点附近有定义,且在 点 阶导数存在，假如有 个常数 使得下式成立：,则有,其中,泰勒公式的唯一性.,证,例 6 求,解,则,依次类推，最后可以通过(n-1)次洛必达法则证明,定理得证.,例 7 求,解,例 8 设m1,求极限,解,类似地，有,思考与练习,例3计算,解:,原式,例4 求,解:,由于,用洛必塔法则不方便 !,泰勒公式的应用,（1）利用泰勒公式确定无穷小的阶及求未定式的极限.,(2)利用泰勒公式求函数的近似计算公式.,无论是求 型未定式的
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