高等数学04教学课件-样章.ppt

高等数学04教学课件下载-样章.ppt 第13章 数值计算初步,131 误差与方程求根,132 插值方法简介,131 误差与方程求根,能力目标,1了解绝对误差、相对误差、有效数字等相关概念.,2会用二分法、牛顿迭代法求方程的近似根.,讨论方程 在1，2内的根.,这是一个关于 的5次代数方程，没有求解公式，即,方程没有精确解.但根据闭区间上连续函数的零点定,理，可以确定这个方程在（1，2）内至少有一个实根，,如何找到满足精度要求的近似解，正是要讨论的问题.,一、误差,模型误差：在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽,象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响，,对问题作一些简化.因此数学模型和实际问题有一定的,误差，这种误差称为模型误差,测量误差：在建模和具体运算过程中所用的数据往往是,通过观察和测量得到的，由于精度的限制，这些数据,一般是近似的，即有误差，这种误差称为测量误差,截断误差：由于实际运算只能完成有限项或有限步运,算，因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有,限化，对无穷过程进行截断，这样产生的误差称为截,断误差,舍入误差：在数值计算过程中，由于计算工具的限制，,我们往往对一些数进行四舍五入，只保留前几位数作,为该数的近似值，这种由舍入产生的误差称为舍入误差,1、绝对误差与相对误差,绝对误差：准确值 与其近似值 之差称为近似数,的绝对误差（简称误差），记为,简记为e*但一般来说，不能准确知道,e( )的大小，可以通过测量或计算估计其绝对值的上,界那么 叫做近似数的绝对误差限，简称误差限。,简记为,例如，若取 为 的近似值，则,于是 可作为 的绝对误差限。有了绝对误,差限就可以知道准确值 的范围：,绝对误差限并不能完全表示近似值的好坏程度，例如,看上去 的绝对误差限比 的绝对误差限小，似乎,的精度高，其实不然.,相对误差 称 为近似数 的相对误差，,简记为 。如果 ，则称,为近似数 的相对误差限，简记为 。相对误差一般,用百分数来表示。,的近似值 的相对误差限为,的近似值 的相对误差限为,有效数字 若近似值 的绝对误差限不超过其末位数,的半个单位，而该位数字到 的第一位非零数字共有,n位，则称用 近似 时具有n位有效数字,例13.1.1 若取 为 的近似值，,， 具有3位有效数字；,若取 为 的近似值，,， 就有5位有效数字,例13.1.2 设 分别是由准确值x和y,经过四舍五入得到的近似值，问,分别是多少？,解,由于在数值运算中，不可避免地会产生误差，如果知,道产生误差的某些规律，就可在一定程度上控制误差,一般地，要遵循如下一些原则：,1）要避免相近两数相减，防止有效数字丢失；,2）要防止大数吃掉小数；,3）绝对值相对太小的数不宜作除数；,4）要尽量简化运算步骤，减少运算次数；,5）要选取数值稳定的算法.,二、方程求根,很多实际问题需要解决高次代数方程或超越方程,的根.方程的根也叫做函数 的零点.,上连续，且 ，则 在（a，b）内至少有,一个实根.,1.方程求根的二分法,（a，b）内有唯一的单实根 ，下面给出求单实根,假设 为闭区间a，b上的连续函数，且在开区间,由连续函数的特性我们知道：若 在闭区间a，b,的近似值的方法。,取区间a，b的中点 ，考察区间 及,中哪一个为有根区间，即检查 与 是否,这时令 ；否则 在区间 中，这时,令 ，即不管出现哪种情形，新的有根区,间的长度 仅为原有根区间的一半。,对于新的有根区间 又可施行同样的作法，即中,点 将区间 再分为两半，然后判定所求,的根 在的哪一侧？从而确定出新的有根区间,其长度为 的一半。,如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间,，,其中每一个区间都是前一个区间的一半因此，二分,k次后的有根区间 的长度为,由此可见如果二分过程无限地继续下去，这些有根区,间必收缩于点 ，该点就是所求的根.,若取有根区间的中 点作为根的近似值，,则绝对误差限为 ,上述求根的方法称为方程求根的二分法，简称为二分法.,例13.1.3 求 在区间2，3之间的根。,解 ，所以（2，3）是有根区间,具体计算过程如下：,即为所求方程的近似解，其误差限为,二分法的优点是算法简单及近似根序列一定收敛，其,缺点是它只能用于求实根,2牛顿迭代法,设有非线性方程 ，用如下,方法求实根 的近似值,（1）从点 作曲线的切线，它的方程为,令 ，便得到切线与 轴交点的横坐标,作为 的第一次近似值，则,（2）以 曲线在点 的切线与 轴交,点的横坐标 作为 的第二次近似值,依次类推，直至 满足精度要求为止由此,可得 的第次近似值,定理13-1 给定方程 =0， 是a，b上的连续,函数,（1）设,（2） 在a，b上不变号，且在a，b上,（3） 取 ，满足,则由公式（13-1）得到的序列 收敛于 ,在a，b内的唯一实根,由公式（13-1）求 =0的近似根的方法称为牛顿,迭代法，也称为切线法,例13.1.4 用牛顿法求方程 的近似解，使其,误差小于001,解 设,所以取 =3，由迭代公式,所以方程的根在（250，2506）内，如取2506,作为根的近似值，其误差2506-250=00060.01.,13.2 插值方法简介,能力目标,会用节点处的函数值构造拉格朗日线性插值和二,次插值函数,2会用曲线拟合的最小二乘法作直线拟合和抛物线,拟合,据有关资料统计，1998年2006年我国进出口总额统,计如下,试预测2007年的进出口总额,实践中常碰到与上述案例类似的问题：由实验得到某,一函数 在一系列点 处的值,，但函数的解析达式是未知的， 需要构造,一个简单的函数 作为 的近似表达式，,使得 在这些节点上与 重合,由于多项式函数比较简单，又有许多好的性质：可积、,连续、高阶可导，因此我们主要研究用多项式,来逼近函数 ，使其满足条件,这类问题称为插值问题，点 称为插值节点， 称为,插值节点处的函数值， 称为插值函数（插值多项,一、拉格朗日插值多项式,1线性插值,如何构造一个插值函数 ，使 满足式,（13-2）的要求？最简单的方法就是过两点作一条,直线，得,上式是两个线性函数 和 的线性组合，,分别记为,次插值基函数，这两个插值基函数满足如下性质：,并称 为点 的一次插值基函数， 为 点的一,（1）在对应的插值点上取值1，而在另外的插值点上,取值0（如下表）,（2）插值函数 是这两个插值基函,数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值，,这种形式的插值称为拉格朗日插值,2二次插值,函数下面用三个点 ， ， 来构,造的拉格朗日二次插值函数,对于拉格朗日型插值，主要是在节点上构造出二次插,值基函数 ，它们都是不超过二次的多项式，,且在对应的插值节点上取1，其余的插值节点上取零,（如下表）,先构造过点 的二次插值基函数 由于 有,和 两个零点，因此含有因子,又因 是一个次数不超过二次的多项式，故可写成,由 ，可求得,从而得到 的二次插值基函数,同样的方法，可以构造点 和 的二次插值基函数，,于是得到拉格朗日二次插值多项式为,3n次插值,对于拉格朗日型的 次插值多项式，先构造 个插,值节点 上的 次插值基函数它们的数值,见下表,对任意点 所对应的插值基函数 ，由于在所有,取零值，因此 含有因子,又因 是一个次数不超过n次的多项式，故可写成,由 ，可求得,从而得到n+1个n次插值基函数,于是得到次拉格朗日插值多项式为,插值多项式的唯一性由如下定理,定理13-1 满足,的插值多项式是存在唯一的,例1321 取节点 和,对函数 分别建立线性插值和二次插值,多项式,解 (1) 因为,构造点 ， 的一次插值基函数,(2) 因为,构造点 ， 和 的二次插值基函数,一般地，二次插值要比一次插值来得精确些但要注,意，并不是插值多项式的次数愈高愈精确，反而随着,插值多项次数的增高，计算量的增大，舍入误差的影,响就会增大因此，实际计算中常用的是分段线性插,值或分段抛物插值,例1322 当 时， 求,的二次插值多项式。,解 将值 (1,0),(-1,-3),(2,4)代入二次插值公式,得,曲线拟合的最小二乘法就是要从一大堆看上去杂乱无,章的数据中找出其规律即设法构造一条曲线（称为,拟合曲线）反映所给数据点总的趋势，并根据使残差,的平方和为最小的原则求出这条拟合曲线所谓残差,二、曲线拟合的最小二乘法,是指实测值 与按拟合曲线求得的近似值之差,1直线拟合,若所给的数据点 的分布大致成一,直线，这时可设拟合曲线的一般形式为,根据残差的平方和为最小的原则，即要求使总误差,达到最小由微积分求极值的方法知，使 达到极,值的参数 应满足,例1323 经实验测得某物理量 的5对数据如,下，用最小二乘法求其拟合曲线,解 首先在坐标纸上描出散点图，发现其近似地在一,直线上为此，设拟合