高等数学9-2二重积分的计算法.ppt

第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,故二重积分可写为,则面积元素为,若f（x，y）在有界闭区域D上可积，则积分值 与区域D的分割方式及点 的取法无关。,一、利用直角坐标系计算二重积分,设曲顶柱体的底可表示为:,X型积分区域,其中函数 、 在区间 上连续.,1.X型积分区域：,则X型区域的二重积分可按如下累次积分计算,同样, 曲顶柱体的底可表示为,Y型,2.Y型积分区域：,则Y型区域的二重积分可按如下累次积分计算,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,化二重积分为累次积分的步骤：,1.确定积分区域是X-型还是Y-型若都不是则分块,2.确定积分限；,3.分别进行积分。,注意1 若D= (x,y) | axb , cyd 为矩形区域,注意2 如果 D 既是 x - 型区域，又是 y - 型区域，将二重积分化为两种不同顺序的累次积分，结果相同. 但实计算时，可能影响计算的繁简，甚至于影响到能否“积出”。因此，化二重积分为累次积分时，应注意积分次序的选择。,主要题型:,1.改变积分顺序(给出抽象函数),2.纯计算二重积分(给出具体的函数和区域),3.需要考虑积分顺序的二重积分的计算 (几个常见的函数),5.空间立体体积的计算(有时和定积分结合起来) 利用二重积分的几何含义(曲顶柱体的体积),4.被积函数中带绝对值,1.改变积分顺序(给出抽象函数),解,积分区域如图,解,积分区域如图,2a,2a,例3 改变积分换序,a,D:,解,0 x 2a,D1,D2,D3,练习:改变积分顺序,2.纯计算二重积分(给出具体的函数和区域),1,1,y = x2,D,2 先对 y 积分（从下到上）,1 画出区域 D 图形,3 先对 x 积分（从左到右）,.,.,.,y = x,.,.,.,例5：计算,例7. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,3.需要考虑积分顺序的二重积分的计算 (几个常见的函数),解,解,4.被积函数中带绝对值,例10,解,先去掉绝对值符号，如图,5.空间立体体积的计算(有时和定积分结合起来) 利用二重积分的几何含义(曲顶柱体的体积),解,曲面围成的立体如图.,例13求两个垂直的底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,二、利用极坐标系计算二重积分,在平面上取定一点O，由O出发引一 条射线Ox，并取定一个长度单位和计算角度 的正方向（逆时针方向），合称为一个极坐 标系。 这样，平面上任一点M的位置就可以用OM 的长度 r 和从Ox到OM的角度 来刻划， 称为M在这个极坐标系中的极坐标，O点称为极坐 标系的极点，Ox称为极轴。,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征:积分域在极点外,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征:积分域的边界过极点,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征:极点在积分域内,2a,.,.,解,例1,.,此题用直角系算麻烦， 需使用极坐标系！,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,.,例2,计算,2R,区域边界：,x = 0,.,即 r =2Rsin,r =2Rsin,例3,.,1,2,y =x,D,.,.,.,例4,解,例5,练习,解,例12,解,解,作业,P95 1 (2), (4); 2 (1),