2018_2019学年高中数学复习课（二）推理与证明教案（含解析）北师大版.docx

复习课(二)推理与证明合情推理近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力1归纳推理的特点及一般步骤2类比推理的特点及一般步骤典例(1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.(2)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_解析(1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.(2)等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.答案(1)(2)1类题通法(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误1蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数则f(4)_，f(n)_.解析：因为f(1)1，f(2)716，f(3)191612，所以f(4)16121837，所以f(n)1612186(n1)3n23n1.答案：373n23n12若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若SmSn(m，nN*且mn)，则Smn0.”类比上述性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.答案：数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn，(m，nN*，mn)，则Tmn1综合法与分析法(1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题(1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立典例设a0，b0，ab1，求证：8.证明法一：综合法因为a0，b0，ab1，所以1ab2，ab，所以4，又(ab)24，所以8(当且仅当ab时等号成立)法二：分析法因为a0，b0，ab1，要证8.只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立类题通法综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件1若abcd0且adbc，求证：.证明：要证，只需证()2()2，即ad2bc2，因adbc，只需证，即adbc，设adbct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立2定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，bR有f(ab)f(a)f(b)(1)证明：f(0)1；(2)证明：对任意的xR，恒有f(x)0.证明：(1)令ab0，得f(0)f(0)f(0)，又f(0)0，所以f(0)1.(2)由已知当x0时，f(x)1，由(1)得f(0)1，故当x0时，f(x)0成立当x0，所以f(x)1，而f(xx)f(x)f(x)，所以f(x)，可得0f(x)0成立.反证法(1)反证法是证明问题的一种方法，在高考中很少单独考查，常用来证明解答题中的一问(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾1使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的2一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法典例(1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根解析(1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac2(bd)，与已知矛盾，故原命题成立类题通法反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的1已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x32233，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.2设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)0无整数根证明：假设方程f(x)0有一个整数根k，则ak2bkc0，f(0)c，f(1)abc都为奇数，ab必为偶数，ak2bk为奇数当k为偶数时，令k2n(nZ)，则ak2bk4n2a2nb2n(2nab)必为偶数，与ak2bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，则ak2bk(2n1)(2naab)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2bk为奇数矛盾综上可知方程f(x)0无整数根1用演绎推理证明函数yx3是增函数时的大前提是( )A增函数的定义B函数yx3满足增函数的定义C若x1x2，则f(x1)x2，则f(x1)f(x2)解析：选A根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数yx3是增函数的大前提应是增函数的定义2数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )Aan3n2Bann2Can3n1 Dan4n3解析：选B求得a24，a39，a416，猜想ann2.3在平面直角坐标系内，方程1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1解析：选A类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证4用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：选A至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”5来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译针对他们懂的语言，正确的推理是()A甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A分析题目和选项，由知，丁不会说日语，排除B选项；由知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.6已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则()A1B2C3 D4解析：选C如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4rr，故AOAMMO，故AOOM3.7观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是_解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是325272102183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S(R2r2)(Rr)2.所以圆环的面积等于以线段ABRr为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2为长的矩形面积请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：