2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2.基本不等式教案（含解析）新人教A版.docx

2基本不等式1基本不等式的定理1,2定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，而且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均2基本不等式的理解重要不等式a2b22ab和基本不等式，成立的条件是不同的前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a0，b0仍然能使成立 两个不等式中等号成立的充要条件都是ab.3由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2b2；(2)ab；(3)ab2；(4)2；(5)(ab)24ab.利用基本不等式证明不等式例1已知a，b，cR，且abc1.求证：9.思路点拨解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明证明法一：a，b，cR，且abc1，3332229.当且仅当abc时，等号成立即9.法二：a，b，cR，且abc1，(abc)111332229.当且仅当abc时，等号成立9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明1已知a，b，c，d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd.证明：因为a，b，c，d都是正数，所以0，0，所以abcd，即(abcd)(acbd)4abcd.当且仅当abcd，acbd，即ad，bc时，等号成立2已知a，b，c为正实数，求证：(1)8；(2)abc.证明：(1)a，b，c为正实数，ab20，bc20，ca20，由上面三式相乘可得(ab)(bc)(ca)88abc.即8.(2)a，b，c为正实数，ab2，bc2，ca2，由上面三式相加可得(ab)(bc)(ca)222.即abc.利用基本不等式求最值例2(1)当x0时，求f(x)的值域；(2)设0x0，y0，且1，求xy的最小值思路点拨根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值解(1)x0，f(x).x2，0.0f(x)1，当且仅当x1时取“”即f(x)的值域为(0,1(2)0x0.y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立y4x(32x)的最大值为.(3)x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，有(xy)min16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决3已知x，y(0，)，且log2xlog2y2，则的最小值是()A4B3C2 D1解析：选D，当且仅当xy时取等号log2xlog2ylog2(xy)2，xy4.1，当且仅当xy2时取等号，故的最小值为1.4设x，yR，a1，b1，若axby2,2ab8，则的最大值为()A2 B3C4 Dlog23解析：选B由axby2得xloga2，ylogb2，log2alog2blog2(ab)又a1，b1，82ab2，即ab8，当且仅当2ab，即a2，b4时取等号，所以log2(ab)log283.故max3.利用基本不等式解决实际问题例3某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因为8x0，225x210 800.y225x36010 440，当且仅当225x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元1下列不等式中，正确的个数是()若a，bR，则；若xR，则x222；若xR，则x212；若a，b为正实数，则.A0B1C2 D3解析：选C显然不正确；正确；对于，虽然x22无解，但x222成立，故正确；不正确，如a1，b4.2设正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值4 B.有最小值C.有最大值 Da2b2有最小值解析：选C由于a0，b0，由基本不等式得1ab2，当且仅当ab时，等号成立，ab，4，因此的最小值为4，a2b2(ab)22ab12ab1，()2ab212112，所以有最大值，故选C.3已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析：选B由题意得x2y8x2y82，当且仅当x2y时，等号成立，整理得(x2y)24(x2y)320，即(x2y4)(x2y8)0，又x2y0，所以x2y4，故选B.4某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处解析：选A由已知可得y1，y20.8x(x为仓库到车站的距离)，所以费用之和yy1y20.8x2 8.当且仅当0.8x，即x5时等号成立5若x0，则f(x)23x2的最大值是_，取得最大值时x的值是_解析：f(x)2323410，当且仅当x2即x时取等号答案：106若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(填序号)ab1； ；a2b22；a3b33；2.解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab1，当且仅当ab时取等号，故正确；()2ab2224，当且仅当ab时取等号，得 2，故错误；由于1，故a2b22成立，故正确；a3b3(ab)(a2b2ab)2(a2b2ab)，ab1，ab1，又a2b22，a2b2ab1，a3b32，故错误；1112，当且仅当ab时取等号，故成立答案：7对于x，不等式16恒成立，则正数p的取值范围为_解析：令tsin2x，则cos2x1t.又x，t(0,1)不等式16可化为p(1t)而y(1t)171729，当16t，即t时取等号，因此若原不等式恒成立，只需p9.答案：9，)8已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明：(1)ab1，a0，b0，22244 48(当且仅当ab时，等号成立)，8.(2)1，由(1)知8.9.9已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解：(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，即xy10，当且仅当2x5y时等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时等号成立由解得的最小值为.10某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a m，则其长为ax