2018_2019学年高中数学第三章导数应用11.2函数的极值教案（含解析）北师大版.docx

12函数的极值极值点与极值1在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮问题1：李阳最高说明了什么？提示：李阳是这10人中最高的问题2：在你们班中，李阳一定还最高吗？提示：不一定2已知yf(x)，yg(x)的图像问题1：观察yf(x)的图像，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？提示：f(x0)在(a，b)内最大问题2：函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？提示：不一定问题3：对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？提示：f(x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零问题4：函数yg(x)在(a，b)上，结论如何？提示：与yf(x)在(a，b)上结论相反1函数极值的概念(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点2函数的单调性与极值(1)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值(2)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.求函数极值点的步骤求函数极值点的步骤(1)求出导数f(x)；(2)解方程f(x)0；(3)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点(1)按定义，极值点x0是区间a，b内部的点，不会是端点a，b.(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可(3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一(4)在区间上单调的函数没有极值求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).思路点拨首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值精解详析(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增加极大值减少极小值增加因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)增加极大值减少因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)，没有极小值点一点通求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况1设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：选D求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点2.已知f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是()A2acB4acC3aDc解析：选B由导函数f(x)的图像知当0x0；当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.又f(x)3ax22bx，所以b3a，f(x)ax33ax2c，所以函数f(x)的极大值为f(2)4ac，故选B.3求下列函数的极值：(1)f(x)sin xcos xx1(0x2)；(2)f(x)x2ex.解：(1)由f(x)sinxcos xx1,0x2，知f(x)cos xsin x11sin，0x2.令f(x)0，从而sin，又0x0，得x1；令f(x)0，得1x1.函数f(x)在区间(，1)和(1，)上是增函数，在区间(1,1)上是减函数因此，x1是函数的极大值点；x1是函数的极小值点一点通已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性4已知函数f(x)x3ax23x9在x3处取得极值，则a()A2B3C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，由题意得f(3)0，解得a5.5已知函数y3xx3m的极大值为10，则m的值为_ .解析：y33x23(1x)(1x)，令y0得x11，x21，经判断知x1是极大值点，故f(1)2m10，m8.答案：86已知函数f(x)x3x2ax1.(1)若函数的极大值点是1，求a的值；(2)若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围解：(1)f(x)x22xa，由题意f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值，故a3.(2)由题意，方程x22xa0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2a0，故a的取值范围是(，0).与函数极值有关的综合问题例3设函数f(x)x33x1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围思路点拨第(1)问利用导数求单调区间和极值，第(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数yf(x)与ya的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解精解详析(1)f(x)3x23，令f(x)0，解得x11，x21，当x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)；f(x)的单调递减区间为(1,1)当x1时，f(x)有极大值3；当x1时，f(x)有极小值1.(2)由(1)得函数yf(x)的图像大致形状如右图所示，当1a0，即a1或a1时，由f(x)0得x1a，x2a，显然x0x2，则由题设知1a1时，不等式1a3无解；当a1时，解不等式1a3，得a时，f(x)0；当0x时，f(x)0.所以当x时，f(x)取得极小值从而f(x)的极小值点为x，无极大值点，选B.3函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极值，则()A0b1 Bb0 Db解析：选Af(x)3x23b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f(x)0有解，x，01，0b0，即f(x)0；当x(3,0)时，xf(x)0；当x(0,3)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(3，)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时，函数取得极大值，故只有不正确答案：7求下列函数的极值(1)f(x)x3x23x4；(2)f(x)x3ex.解：(1)f(x)x3x23x4，f(x)x22x3.令f(x)0，得x13，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化，如表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值x1是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点f(x)极大值f(1)，f(x)极小值f(3)5.(2)f(x)3x2exx3exexx2(x3)，由f(x)0得x0或x3.当x变化时，f(x)与f(x)的变化如表所示：x(，3)3(3,0)0(0，)f(x)00f(x)极小值无极值由表可知x3是f(x)的极小值点f(x)极小值f(3)27e3，函数无极大值8已知函数f(x)16x320ax28a2xa3，其中a0，求f(x)的极值解：f(x)16x320ax28a2xa3，其中a0，f(x)48x240ax8a28(6x