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微分方程,第七章, 积分问题, 微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,引例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,求出制动后多少时间列车能停住 ,及制动后行驶的路程 .,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或, 使方程成为恒等式的函数.,通解：,解中所含独立的任意常数的个数与方程阶数相同., 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,特解：,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,例1. 验证函数,是微分方程,的解,的特解 .,并求满足初始条件,求所满足的微分方程 .,例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,且线段 PQ 被 y 轴平分,转化,可分离变量的微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,可分离变量方程的解法:,两边积分, 得,说明：当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 根据 隐函数存在定理, 由确定的隐函数 y(x) 是的解. 同样, 当F(x) = f (x)0 时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,则有,称为方程的隐式通解.,例1. 求微分方程,的通解.,( C 为任意常数 ),例2. 解初值问题,例3. 求下述微分方程的通解:,( C 为任意常数 ),例5.,( C 0 ),例4. 求下述微分方程的通解:,后者是通解 , 但不包含前一个解 . 通解不一定是方程的全部解 .,y = x 及 y = C,例7.,成正比,求,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,例6.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,内容小结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;
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