布莱克舒尔斯默顿期权定价模型.ppt

第十一章 B-S-M期权定价模型,1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响。 同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。 在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型(下文简称B-S-M模型),并由此导出衍生证券定价的一般方法。,南昌大学金融工程学多媒体课件,1,第十一章 B-S-M期权定价模型,目 录 第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路 第二节 股票价格的变化过程 第三节 B-S-M期权定价公式 第四节 BSM期权定价公式的精确度评价与拓展,南昌大学金融工程学多媒体课件,2,我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。 因此，要研究期权的价格,首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后,我们试图通过股票来复制期权,并以此为依据给期权定价。 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。,南昌大学金融工程学多媒体课件,3,第一节 B-S-M期权定价模型基本思路,股票价格的变化过程可以用数学上的一种随机过程-几何布朗运动较好地加以描述，其具体形式如下： 根据伊藤引理可以推导出，当股票价格服从(11.1)时，作为股票衍生产品的期权价格f将服从： 综合(11.1)和(11.2)式发现,股票与期权受共同的随机因素dz影响,适当的股票与期权组合可将其消除。,南昌大学金融工程学多媒体课件,4,第一节 B-S-M期权定价模型基本思路,、市场有效理论与随机过程 一、标准布朗运动 二、普通布朗运动 三、伊藤过程与伊藤引理 四、股票价格的变化过程：几何布朗运动 五、预期收益率与波动率 六、衍生证券所服从的随机过程,南昌大学金融工程学多媒体课件,5,第二节 证券价格的变化过程,效率市场假说：1965年,法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说，认为证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的,证券价格能完全反应全部信息。 根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。 马尔可夫过程：是一种特殊类型的随机过程:只有变量的当前值才与未来的预测有关,变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。,南昌大学金融工程学多媒体课件,6,、市场有效理论与随机过程,如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是一致的。 人们通常用形如： 的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程，这是BSM期权定价模型的基础性假设，也是金融中最普遍最重要的假设之一 几何布朗运动中最重要的是dz项,它代表影响股票价格变化的随机因素,通常称之为标准布朗运动(standrard Brownian motion)或维纳过程(Wiener process)。,南昌大学金融工程学多媒体课件,7,、市场有效理论与随机过程,布朗运动(Brownian Motion)起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。 标准布朗运动：设t代表一个小的时间间隔长度,z代表变量z在t时间内的变化，遵循标准布朗运动的z具有两种特征： 特征1:z和t的关系满足: 其中代表从标准正态分布中取的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t, z的值相互独立。,南昌大学金融工程学多媒体课件,8,一、标准布朗运动,对于以上两个特征的理解： 1.从特征1可知，z本身也具有正态分布特征,其均值为0，标准差为 ,方差为t 。 2.从特征2可知,标准布朗运动符合马尔可夫过程,因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 当t0时,就可以得到极限的标准布朗运动：,南昌大学金融工程学多媒体课件,9,一、标准布朗运动,对标准布朗运动的理解: 1.下面我们来考查符合标准布朗运动的变量z在一段较长时间T-t中的变化情形： 令z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量，它又可被看作是在N个长度为t的小时间间隔中z的变化总量，其中：N=(T-t)/t 很显然，这是n个相互独立的正态分布的和： 因此,z(T)-z(t)也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N t =T-t，标准差 。,南昌大学金融工程学多媒体课件,10,一、标准布朗运动,对标准布朗运动的理解: 2.为何定义z = 而非z =t ？ (1)维纳过程中用即标准正态分布的随机变量来反映变量变化的随机特征。现实生活中很多变量的分布都近似与正态分布,加上其在数学上的易于处理,使得它成为最常见和最重要的分布假设。 (2)数学上可以证明，具备特征1盒特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程,这一点与金融学中的弱式效率市场假设不谋而合。 (3)变量变化服从,独立的正态分布,期望值和方差具有可加性，这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。,南昌大学金融工程学多媒体课件,11,一、标准布朗运动,标准布朗运动变量z的随机运动，然而现实生活中大部分变量的运动过程不仅包括随机波动，还可能存在时间趋势等特征。因此需要在标准布朗运动的基础上进一步引入普通布朗运动，以便更好地描述随机变量的运动特征。 为了得到普通布朗运动，必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移率是指单位时间内变量z均值的变化值，方差率是指单位时间内的方差。 令漂移率为a,方差率为b2,得到变量x普通布朗运动： 其中,a和b为常数,dz遵循标准布朗运动。,南昌大学金融工程学多媒体课件,12,二、普通布朗运动,对普通布朗运动的理解 1.显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程，其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。 2.在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为 ，方差为b2T。 3.标准布朗运动的漂移率a为0,标准率为1。,南昌大学金融工程学多媒体课件,13,二、普通布朗运动,普通布朗运动的离差形式为: 显然，x也具有正态分布特征，其均值为at，标准差为b ，方差为b2t。同样在任意时间长度T-t后x值的变化也具与正态分布特征，其均值为a(T-t),方差为b2(T-t)。,南昌大学金融工程学多媒体课件,14,二、普通布朗运动,14,南昌大学金融工程学多媒体课件,普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到: 这就是伊藤过程（Ito Process） 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。,南昌大学金融工程学多媒体课件,15,三、伊藤过程与伊藤引理,在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程： 其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。,南昌大学金融工程学多媒体课件,16,三、伊藤过程与伊藤引理,对伊藤引理的理解 1.伊藤引理可以通过泰勒展开式推导，请同学们在复习泰勒展开式的基础上自己尝试进行推导。 2.由于 和 都是x和t的 函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为： ，方率为 。,南昌大学金融工程学多媒体课件,17,三、伊藤过程与伊藤引理,案例11.1运用伊藤引理推导lns所遵循的随机过程 假设变量S服从 ，其中和都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？ 由于和是常数，S显然服从 ， 的伊藤过程，可用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。令 ，则 代入式(11.7)得到 遵循的随机过程为： 由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续复利收益率服从期望值 ，方差为 的正态分布。,南昌大学金融工程学多媒体课件,18,三、伊藤过程与伊藤引理,一般来说,金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为 S2的伊藤过程来表示： 采用几何布朗运动的原因有两个：1.可以避免股票价格为负与有限责任相矛盾的问题；2.几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。 两边同除以S得： 表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率(又称预期收益率),表示证券收益率瞬间的标准差，简称证券价格的波动率(Volatility),其中,和的时间度量单位一般都采用年。,南昌大学金融工程学多媒体课件,19,四、股票价格的变化过程:几何布朗运动,从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动，则有: 从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率 和恒定的方差率 。由前文的分析可知，当一个变量服从普通布朗运动时 其在任意时间长度T-t内的变化值都服从均值为 、方差为 的正态分布。也就是说，,南昌大学金融工程学多媒体课件,20,四、股票价格的变化过程:几何布朗运动,由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，我们可以得到: 和 实际上就是股票价格在Tt期间的连续复利收益率，则Tt期间年化的连续复利收益率可以表示为 ，从式（11.9）可知随机变量 服从正态分布,南昌大学金融工程学多媒体课件,21,四、股票价格的变化过程:几何布朗运动,股票价格几何布朗运动参数的理解（） 1.是几何布朗运动中的期望收益率。 2.根据CAPM定理,取决于该证券的系统性风险、无风险利率、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素,因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是,我们将在下文证明, 衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的 3.较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ,这是因为它是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。,南昌大学金融工程学多媒体课件,22,五、预期收益率和波动率,股票价格几何布朗运动参数的理解() 1.是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差。 2.一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太长也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。,南昌大学金融工程学多媒体课件,23,五、预期收益率和波动率,当股票价格服从几何布朗运动 时，由于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S, t)，根据伊藤引理，衍生证券价格G应遵循如下过程： 比较(11.1)和(11.11)式可看出，衍生证券价格G和股票价格S都都受同一个不确定性来源dz的影响。,南昌大学金融工程学多媒体课件,24,六、衍生证券说服从的随机过程,、B-S-M微分方程的基本假设 一、B-S-M微分方程 二、B-S-M微分方程的求解 三、 B-S-M期权定价公式 四、有收益资产的期权定价公式 五、B-S-M期权的定价公式的参数估计,南昌大学金融工程学多媒体课件,25,第三节 B-S-M期权定价公式,B-S-M微分方程需要用到如下基本假设： 1.证券价格遵循几何布朗运动,即 和 为常数; 2.允许卖空标的证券； 3.没有交易费用和税收,所有证券都是完全可分的; 4.衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付; 5.不存在无风险套利机会; 6.证券交易是连续的，价格变动也是连续的; 7.衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。,南昌大学金融工程学多媒体课件,26,、 B-S-M微分方程的基本假设,(一)B-S-M微分方程的推导 由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有： 其在一个小的时间间隔 中，S的变化值 为： (11.12) 设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得： 在一个小的时间间隔中，f的变化值 为： (11.13),南昌大学金融工程学多媒体课件,27,一、B-S-M微分方程,(一)B-S-M微分方程的推导 从上面分析可以看出，(11.12)和(11.13)中的 相同，都等于 。为了消除 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则： (11.14) 在 时间后，该投资组合的价值变化 为： (11.15),南昌大学金融工程学多媒体课件,28,一、B-S-M微分方程,(一)B-S-M微分方程的推导 从将式(11.12)和(11.13)代入式(11.15),可得： 由于式（11.6）中不含有 ，该组合的价值在一个小时间间隔后 必定没有风险，因此该组合在 中的瞬时收益率一定等于 中的无风险收益率。因此： 把(11.14)和(11.16)代入上式得：,南昌大学金融工程学多媒体课件,29,一、B-S-M微分方程,(一)B-S-M微分方程的推导 化简得: 这就是著名的布莱克舒尔斯-默顿微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价，而不仅仅是期权。 观察微分方程可发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。,南昌大学金融工程学多媒体课件,30,一、B-S-M微分方程,一、B-S-M微分方程,(二)风险中性定价原理 从式(11.17)BSM微分方程中可以看出，股票价格S、时间t、标的证券价格波动率和无风险利率r都是客观变量，独立与主观变量风险收益编好。 因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。,南昌大学金融工程学多媒体课件,31,(二)风险中性定价原理 风险中性定价原理的应用 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。,南昌大学金融工程学多媒体课件,32,一、B-S-M微分方程,(二)风险中性定价原理 为了找出该期权的价值,可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于( 110.5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9 元。为了使该组合价值处于无风险状态,应选择适当的 值,使3个月后该组合的价值不变,这意味着： 因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。,南昌大学金融工程学多媒体课件,33,一、B-S-M微分方程,(二)风险中性定价原理 假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为： 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。,南昌大学金融工程学多媒体课件,34,一、B-S-M微分方程,(二)风险中性定价原理 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求：,P=62.66%。,南昌大学金融工程学多媒体课件,35,一、B-S-M微分方程,一、B-S-M微分方程,南昌大学金融工程学多媒体课件,36,又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求： 可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。,P=69.11%。,B-S-M微分方程的解法 该方程有多种解法,由于数学知识的局限,我们介绍最简单的风险中性解法。 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。假设现在时刻是t,则标的资产的期望收益率为: 其中, 表示风险中性条件下的期望值,南昌大学金融工程学多媒体课件,37,二、B-S-M微分方程的求解,B-S-M微分方程的解法 当我们把真实世界的问题转移到风险中性世界中时,变化的是(记为 ),而我们并没有改变标的资产价格运动和变化的方式,所以其价格仍然服从对数正态分布,从而波动率也不保持不变。由前文知标的资产价格服从对数正态分布: 在风险中性世界中改写为：,南昌大学金融工程学多媒体课件,38,二、B-S-M微分方程的求解,B-S-M微分方程的解法 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为： 其中, 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理,欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值,即：,南昌大学金融工程学多媒体课件,39,二、B-S-M微分方程的求解,B-S-M微分方程的解法,南昌大学金融工程学多媒体课件,40,二、B-S-M微分方程的求解,南昌大学金融工程学多媒体课件,41,二、B-S-M微分方程的求解,B-S-M微分方程的解法,B-S-M微分方程的解法,南昌大学金融工程学多媒体课件,42,二、B-S-M微分方程的求解,(一)无收益资产欧式看涨期权的定价公式,南昌大学金融工程学多媒体课件,43,三、B-S-M期权定价公式,(一)无收益资产欧式看涨期权的定价公式 这个公式看起来非常复杂，可以从三个方面去理解： 1.N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率,或者欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是执行价格乘执行价格被支付的风险中性概率之后再贴现到当前时刻的现值，可以看成预期执行期权所需支付的现值；er(T-t)SN(d2)= (ST)N(d1)则是在风险中性世界里，一个如果STX就等于ST，否则就等于o的一个变量的预期值，SN(d2）则是这个预期值的贴现值，可以看成期权持有者执行期权说得收入的现值。故整个公式可以看成是二者之差。,南昌大学金融工程学多媒体课件,44,三、B-S-M期权定价公式,(一)无收益资产欧式看涨期权的定价公式 2.期权定价公式可以看做一个与欧式看涨期权等价的，或者说是复制期权的投资组合，这个组合由股票和债券组成。 是构造无风险组合时的,就是复制投资组合中股票的数量,SN(d1)就是股票的市值。Xe-r(T-t) N(d2)是复制交易策略中负债的价值。 3.从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以或有资产看涨期权多头和或有现金看涨期权空头，SN(d1)是或有资产看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份或有现金看涨期权空头的价值。 4.看书上【案例11.5】：P203,南昌大学金融工程学多媒体课件,45,三、B-S-M期权定价公式,(二)无无收益资产美式看涨期权的定价公式: 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此C=c，无收益资产美式看涨期权的定价公式同样是： (三)无收益资产的欧式看跌期权的定价公式: 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系,可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式:,南昌大学金融工程学多媒体课件,46,三、B-S-M期权定价公式,(一)有收益资产的欧式期权的定价公式 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式（11.20）和（11.21）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。,南昌大学金融工程学多媒体课件,47,四、有收益资产的期权的定价公式,(一)有收益资产的欧式期权的定价公式 当已知收益的现值为I时,用(S-I)代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q(单位为年)时,只要将 代替S就可求出这类证券欧式看涨和看跌期权的价格。 期货、股指和外汇期权都是标的资产支付连续复利收益率的期权:欧式期货期权是一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权;股指期权以市场平均股利支付率为收益率;外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇国的无风险利率。,南昌大学金融工程学多媒体课件,48,四、有收益资产的期权的定价公式,(一)有收益资产的欧式期权的定价公式 对于欧式期货期权，可以将其当成一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权。因此，此时布莱克舒尔斯期权定价模型为：,南昌大学金融工程学多媒体课件,49,四、有收益资产的期权的定价公式,(二)有收益资产的美式期权的定价公式 1.美式看涨期权 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理;若在 提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和 时刻到期的欧式看涨看涨期权的价格,然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下,这种近似效果都不错。,南昌大学金融工程学多媒体课件,50,四、有收益资产的期权的定价公式,(二)有收益资产的美式期权的定价公式 1.美式看涨期权 【案例11.6】假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。 首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据第5章的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：,南昌大学金融工程学多媒体课件,51,四、有收益资产的期权的定价公式,(二)有收益资产的美式期权的定价公式 1.美式看涨期权 D1=D2=1.0元,而第一次除权日前不等式右边为： 由于2.43851.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行。 第二次除权日前不等右边为： 由于0.41481.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行。,南昌大学金融工程学多媒体课件,52,四、有收益资产的期权的定价公式,(二)有收益资产的美式期权的定价公式 1.美式看涨期权 然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。 对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为： 因此S=50-1.8716=48.1284元,南昌大学金融工程学多媒体课件,53,四、有收益资产的期权的定价公式,(二)有收益资产的美式期权的定价公式 将S=48.1284，代入公式得： 由于N(0.3562)=0.6392,N(0.0562)=0.5224，,南昌大学金融工程学多媒体课件,54,四、有收益资产的期权的定价公式,(二)有收益资产的美式期权的定价公式 对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为： S=50-0.9592=49.0408元,将它代入公式得： 由于C11C12,该期权价值近似为7.2824元,南昌大学金融工程学多媒体课件,55,四、有收益资产的期权的定价公式,(二)有收益资产的美式期权的定价公式 2.美式看跌期权 美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价关系，因此我们一般通过数值方法来求美式看跌期权的价值。,南昌大学金融工程学多媒体课件,56,四、有收益资产的期权的定价公式,我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。,南昌大学金融工程学多媒体课件,57,五、B-S-M期权的定价公式的参数估计,（一）估计无风险利率 在发达的金融市场上,很容易获得无风险利率的估计值，但在实际应用时仍然需要注意几个问题。首先,要选择正确的利率。要注意选择无风险的即期利率(即零息票债券的到期收益率),而不能选择附息票债券的到期收益率，并且要转化为连续复利的形式,才可以在B-S-M公式中应用。一般来说,在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险