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,第七节（2）,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,四、对坐标的曲面积分的计算法,三、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,第六章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xOy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,对流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2. 定义：,其中,分,记作,或第二类曲面积分.,如果记,称为曲面面积微元向量,它可看做是曲面在M点处指向曲面给定侧的一个法向量，其长度在数量上等于面积微元dS的值 .于是,其中dS=| |,而,记,于是，第二类曲面积分也可写
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