浙江专用高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程习题含解析.docx

第8节函数与方程考试要求1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系；2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210常用结论与易错提醒1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).2.由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示.所以f(a)f(b)0是图象连续的函数yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)若连续函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错.(2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析由函数是偶函数，排除选项B，C，又选项D中函数没有零点，排除D，ycos x为偶函数且有零点.答案A3.(必修1P88例1改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析由f(x)ex30，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点.答案B4.(2019北京东城区一模)函数f(x)2x的零点所在区间是()A. B. C. D.解析f(x)的图象在(0，)上连续，又f(x)在(0，)上递减，且f(1)20，f20.选C.答案C5.函数f(x)ax12a在区间(1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_.解析因为函数f(x)ax12a在区间(1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(1，1)上存在一个零点，则满足f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得a1.答案6.(2019金华模拟)已知f(x)则f(f(2)_；函数f(x)的零点的个数为_.解析根据题意得：f(2)(2)24，则f(f(2)f(4)24216214；令f(x)0，得到2x20(x0)，解得：x1，则函数f(x)的零点个数为1.答案141考点一函数零点所在区间的判断【例1】 (1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内(2)(一题多解)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).法二易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】 已知函数f(x)ln x的零点为x0，则x0所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析f(x)ln x在(0，)上是增函数，又f(1)ln 1ln 120，f(2)ln 2ln 210.故f(x)的零点x0(2，3).答案C考点二函数零点(或方程根)个数的判断【例2】 (1)(2019镇海中学模拟)已知函数f(x)则方程f(f(x)20的实根个数为()A.3 B.4 C.5 D.6(2)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为_.解析(1)令tf(x)，则方程f(f(x)20等价于f(t)2t0.在同一平面直角坐标系中作出函数yf(x)与直线y2x的图象，由图象可得有两个交点，且f(t)2t0的两根分别为t10和1t22.当t1f(x)0时，解得x2；当t2f(x)(1，2)时，方程f(x)t2有3个不等实根.综上所述，方程f(f(x)20的实根个数为4，故选B.(2)令f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|.设g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点.答案(1)B(2)2规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数.又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，则函数的零点个数即为函数ysin 2x与函数yx2图象的交点个数，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案(1)2(2)2考点三函数零点的应用【例3】 (1)(2019绍兴调研)设函数f(x)4xa1有两个零点，则实数a的取值集合是_.(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，则a的取值范围为_.解析(1)设t，则x1，则问题转化为函数g(t)|ta|a3有两个零点，即曲线y|ta|a与y3有两个公共点.注意到曲线y|ta|a的顶点(a，a)在直线yt上运动，直线yt与y3有两个交点，作出函数的图象，则当y|ta|a的顶点(a，a)在A(4，4)时，有a4；当ta且yt2a与y3相切时，有t2(32a)t40有两个相等实根，由(32a)2160得a或.综上，实数a的取值集合为.(2)由f(x4)f(x)知，函数的周期T4.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(4x)，因此函数yf(x)的图象关于x2对称.又f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的实根.由函数的图象(如图)，必须有即解得a0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.解析(1)当x0时，f(x)3x1有一个零点x.因此当x0时，f(x)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1am时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)D(2)(3，)基础巩固题组一、选择题1.函数f(x)3xx2的零点所在区间是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，1) D.(1，0)解析由于f(1)0，f(1)f(0)1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D3.函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)解析因为函数f(x)2xa在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点.答案D7.(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)解析函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点.作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.答案C8.已知函数f(x)x2mxn2x，x|f(x)0x|f(f(x)0，则mn的取值范围是()A.0，4) B.4，8C.4，2 D.(2，8解析设x1x|f(x)0x|f(f(x)0，则f(x1)f(f(x1)0，f(0)n0，f(x)x2mxx(xm)，f(f(x)f(x)f(x)m(x2mx)(x2mxm)，显然f(x)0时，有f(f(x)0，f(x)0，x0或xm，又x|f(x)0x|f(f(x)0，当m0时，f(x)x2，x|f(x)0x|f(f(x)00；当m0时，x|f(x)0x|f(f(x)00，m，但要使f(x)0与f(f(x)0具有相同解，则方程x2mxm0无解，m24m0，解得0m4.综上所述，0m4，0mn0)在区间1，2上有两个不同的零点，则的取值范围为_.解析设f(x)a(xx1)(xx2)，1x10且2aa2.在同一坐标系下作出函数y2x与yx2的图象，由图可知，实数a的取值范围为2，4.函数g(x)f(x)b有三个零点等价于函数yf(x)与yb的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数yf(x)与yb的图象，由图可知，当a在y轴的左方时，存在实数b，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数g(x)有三个零点，实数a的取值范围为(，0).答案2，4(，0)12.已知f(x)m|x|，若f(x)有两个零点，则实数m的值为_；若f(x)有三个零点，则实数m的取值范围是_.解析函数f(x)的零点，即为方程m|x|0即|x|(x2)(x2)的实数根，令g(x)|x|(x2)其图象如图所示，当m1时，g(x)图象与y有2个交点；当01时，有3个交点.答案1(1，)13.(2019北京丰台区一模)已知函数f(x)g(x)f(x)kx(kR).(1)当k1时，函数g(x)有_个零点；(2)若函数g(x)有三个零点，则k的取值范围是_.解析(1)当k1，0x时，g(x)f(x)xxsin xx0，得sin x1，即x；x时，g(x)f(x)xx0，无解.综上：当k1时，函数g(x)有1个零点；(2)g(x)f(x)kx当0x1时，|f(x)|f(x)f(0)a1，函数y|f(x)|的图象与直线yt无公共点，不满足条件；当a1时，函数y|f(x)|的图象与直线yt最多只有两个公共点，不满足条件；当0a1时，如图1所示，函数y|f(x)|的图象与直线yt可能有四个公共点，满足条件；当1a0时，如图2所示，存在t0，使函数y|f(x)|的图象与直线yt有且仅有四个公共点，满足条件；当a1时，如图3所示，存在实数t0，1，使函数y|f(x)|的图象与直线yt有且仅有四个公共点，满足条件.综上可知，实数a的取值范围是(，1).答案(，1)能力提升题组15.设函数f(x)则函数F(x)xf(x)1的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.7解析作出函数yf(x)与yg(x)的图象如图，当xg(3)，两函数的图象在(2，4)内有两个交点；f(5)f(3)，g(5)，满足f(5)g(5)，两函数的图象在(4，6)内有两个交点；f(7)f(5)，g(7)，满足f(7)g(7)，两函数的图象在(6，8)内没有交点；f(9)f(7)，g(9)，满足f(9)7时，恒有f(x)g(x)，两函数的图象没有交点.综上所述，两函数的图象的交点个数为6个，即函数F(x)xf(x)1的零点个数为6个.答案C16.已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数的判断正确的是()A.当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点B.无论k为何值，均有2个零点C.当k0时，有3个零点；当k0时，有2个零点D.无论k为何值，均有4个零点解析(1)当x1时，ln x0，yf(f(x)1ln(ln x)1，此时有零点xe1；(2)当0x1时，ln x0，yf(f(x)1kln x1.当k0时，有一个零点；当k0时，无零点；(3)当x0，kx10时，yf(f(x)1k2xk1.当k0时，有一个零点x；当k0时，k2xk1k(kx1)10，无零点；(4