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1,第 五 章 不 定 积 分,2,例,定义：,5.1.1 原函数与不定积分的概念,第一节 不定积分的概念与性质,3,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（C为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,4,关于原函数的定理：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,证,（C为任意常数）,（C为任意常数）,5,不定积分的定义：,在区间(a,b)内，F(x)是函数f(x)的一个原函数，,6,例1：求,解：,解：,例2：求,7,不定积分的几何意义,y = F(x )是函数(x)的一个原函数, 称 y = F(x) 的图形是(x)的一条积分曲线;,而 是(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是:,(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x)沿y轴平行移动|c|个单位而得到.,(如图)当c0时, 向上移动; 当c0时,向下移动.,8,(2),即横坐标相同点处, 每条积分曲线上相应点的切线斜率相等, 都为(x) .从而相应点的切线相互平行.,注意:当需要从积分曲线族中求出 过点 的一条积分曲线时, 则只须把 代入y = F(x) + C中解出C即可.,9,例3：设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解：,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,10,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,11,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,5.1.2 基本积分表,12,基本积分表 ,是常数);,说明：,13,14,15,例4：求积分,解：,根据积分公式（2）,16,证：,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,5.1.3 不定积分的性质,17,例5：求积分,解：,18,例6：求积分,解：,19,例7：求积分,解：,20,例8：求积分,解：,21,例9：求积分,解：,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,22,解：,所求曲线方程为,例10：已知函数y=f(x)在点(x，f(x)的切线斜率为 ，且过点（0，5），求此曲线。,23,例11：已知某产品的产量Q是时间t的函数，其变化率的关系为Q/(t)2t10，求此产品的产量函数Q(t) ？,解：,因为Q (t)是其变化率的原函数，依题意有,由Q(0)0，得C=0。,因此，该产品的产
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