复杂约束动力学系统的理论研究

兰州交通大学毕业设计（论文）复杂约束动力学系统的理论研究摘 要在机械实际中，对于复杂约束系统和冲击振动系统，如何进行动力学优化设计、降低噪声等问题的研究，既具有理论价值又有着重大的现实意义。在生产、制造和装配的过程中，成套制造设备存在误差，从而导致机械设备具有间隙，并且在其调试运行过程中，由于碰撞摩擦也会产生间隙。另外，一些机械设备在设计过程中会预留有间隙，而在啮合齿轮、滚动轴承等系统的有关零部件中也必然会存在间隙。因此，含间隙碰撞振动系统广泛存在于工程实践中，对它的研究具有重要的工程指导意义。因此，近年来含间隙系统的研究已引起国内外学者的普遍关注。本文针对此类碰撞系统的二自由度、三自由度间隙碰撞的情况做了具体的研究。运用正则模态矩阵法将耦合的系统进行解耦，通过分析系统周期运动的边界条件，推导出系统周期运动的解析解；再利用受扰运动的边界条件推导出了各个系统的Poincar映射，并通过编程进行数值仿真，分析了系统发生分岔与混沌的非线性行为。对该系统分岔与混沌行为的研究，为工程实际中含间隙机械系统和冲击振动系统的优化设计提供了理论依据。关键词：碰撞振动；周期运动；分岔；混沌Theoretical Study of The Complexity of Constrained Dynamical SystemsAbstractIn the mechanical production, for the complicated system with restriction and vibro-impact system, many problems like making dynamic optimization design and reducing noise, both has theory value and great practical significance. Complete manufacturing equipments have some errors in production，manufacture and assembly process, leading to clearance in mechanical equipment. In addition, some mechanical equipments will obligate clearance in the design process, while there must be clearance in meshed gears, roller bearing and some other pieces of mechanical system. Therefore, the vibration system collision with clearance is widely used in engineering practice, the study of the system is of great significance in engineering. Therefore, research on system with clearance has caused widespread attention over scholars both at home and abroad in recent years. This article analyzes the condition of the system under two degrees of freedom and three degrees of freedom, and makes specific research.Using a method called canonical modal matrix to decouple the coupled system, via analyzing the boundary condition under periodic motion of the system, the analytical solution of the periodic motion system is deduced; Making use of the boundary conditions of disturbance movement to deduce the Poincar mapping of each system, through numerical simulation and programming, the bifurcation and chaos of nonlinear movement occurring in system is analyzed. The investigation of bifurcation and chaos behavior research provides theoretical basis for the optimization design of the mechanical system with clearance and impact of the vibration system in engineering practice.Key words: Vibro-impact; Periodic motion; Bifurcation; Chaos目 录摘 要IAbstractII第一章 绪 论11.1 选题背景及发展概况11.2 混沌学的起源和发展11.3 复杂约束系统振动动力学研究3第二章 算法介绍42.1 概述42.2 高维映射Hopf分岔分析的中心流形范式方法42.3高阶常微分方程的初值问题52.4 庞克莱(Poincar)映射理论62.5本章小结7第三章 两个单自由度振子碰撞振动系统83.1 物理模型83.2 数学模型83.3 碰撞振动系统的Poincar映射和n-1周期运动的稳定性123.4 概周期碰撞运动和混沌形成过程153.5 本章小结20第四章 三自由度振子碰撞振动系统214.1三自由度相对碰撞振动系统的力学模型及周期运动模型214.1.1推导运动微分方程224.1.2 碰撞振动系统的周期运动234.1.3碰撞振动系统的Poincar映射和周期运动的稳定性384.2 碰撞振动系统的Hopf分岔、周期倍化分岔及混沌554.3 本章小结62结 论63致 谢64参考文献6567第一章 绪 论1.1 选题背景及发展概况在工程应用中，有些含间隙冲击机械是利用碰撞振动达到预期工作目的的，如振动压路机、振动夯土机、冲击震动落砂机和浇灌混凝土时的振动捣实等；有些装置由于考虑到保证润滑油膜、装配误差或热胀的需要，实际机构往往需要有意预留微量的间隙；有些装置由于使用过程中产生的磨损以及加工、制造和安装时出现的误差，不可避免地导致了间隙的出现；另外，像齿轮、连杆、凸轮、轴承等系统的有关零部件中，间隙也是不可避免的。由于间隙的存在，接触状态会发生变化，导致构件之间出现接触、脱离、再接触、再脱离的重复冲击，对动载荷和系统的动态特性产生不良影响，有时后果还非常严重。因此，对于含间隙机械系统和冲击振动系统1而言，如何趋利避害、进行动力学优化设计、提高可靠性以及降低噪声等问题的研究，既具有理论价值又有着重大的现实意义。碰撞振动是我们日常生活和生产实际中经常见到的一种现象，其研究涉及工程机械、工程力学、应用物理、应用数学等多个专业领域。在工程实际中，一方面，为了某种生产的目的，可以利用碰撞振动的动力学原理设计制造多种冲击机械，例如，振动落砂机2、冲击钻进机械3、振动筛、振动锤、打桩机、微振造型机及打印机机头等。由于碰撞等不连续因素，碰撞振动研究在理论上提出了一系列新问题形成了非线性动力学的一个新的研究方向近年来，国内外许多学者开始用现代动力系统观点研究碰撞振动系统的动力学研究重点也由局部分析转向全局问题，研究内容广泛地集中于碰撞振动系统和含间隙系统的全局分叉及奇异性问题，含间隙、摩擦、迟滞等分段光滑力学因素的机械系统的动力学问题4-6与混沌控制问题7也受到普遍关注。随着理论研究的日益深入， 含间隙机械系统及冲击振动系统的应用研究也正在迅速开展。但是，这些研究工作基本上是对单自由度或两自由度系统所作的理论分析与数值仿真8-10，国内外对多自由度高维复杂系统的研究还很少。由于自由度的增加，系统会出现复杂分岔与奇异性问题，这给理论分析与数值仿真带来很大的困难。1.2 混沌学的起源和发展1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表的论文11，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。今天，伴随计算机等技术的飞速进步混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。一般地，如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统；它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。而对初始条件的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义。与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。混沌来自于非线性动力系统12，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例子：温度、气压、风向、速度以及降雨量都是这个系统中随时间变化的变量。洛伦兹(E.N.Lorenz)教授于发表论文13，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程14模拟气候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比喻，即我们在文首提到的关于在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小差别都会按指数放大，因此导致系统内在地不可长期预测。这是由它的成立的目的解决复杂的，多因素替换成为引起变化的主导因素的系统而决定的。它的基本观点是积累效应和度，即事物总处在平衡状态下的观点。它是与哲学一样，适用面最广的科学。混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。1.3 复杂约束系统振动动力学研究含间隙的碰撞振动系统一般均为多参数系统，参数的变化将会引起系统的动力学行为的本质变化，其重要特征就是各种分岔以及混沌现象的出现。由于碰撞的存在，系统具有明显的不连续性和强非线性的特征，因而动力学性质的变化也往往具有突变性。为达到预期的工作目的，并更好地进行优化设计，迫切需要人们对实际工程领域中的带有间隙的碰撞振动系统的动力学行为进行更深入以及更全面的研究。碰撞过程是一个很复杂的过程，与物体接触瞬时的相对速度、接触面的形状、接触时间以及接触部位的局部塑性变形等因素密切相关。人们一般采用以下三种模型来描述碰撞过程的作用机理。第一种是瞬时冲击模型:假设碰撞或冲击是一个瞬时过程，经历的时间为零，只考虑碰撞过程的能量损失，并通过使用恢复系数的概念，直接得到碰撞前后的速度之间的关系;第二种是分段线性模型:通过考虑碰撞过程接触力的大小变化和接触时间来描述碰撞的压缩和恢复过程;第三种模型较好地考虑了碰撞过程的局部变形:用Hertz接触理论来描述接触力。第三种模型虽能较好地反映接触力的变化情况，但由于其表达式为非线性的形式，因而给理论分析带来了很大的困难。基于以上原因，目前对碰撞振动问题的研究大多数采用瞬时冲击模型或分段线性模型15-17。人们对碰撞振动系统的早期研究主要是以冲击消振器为背景，所采用的模型是具有刚性约束的单自由度系统。文18-23对各种类型的单自由度双面冲击消振器的对称周期运动、非对称周期运动及其稳定性进行了研究。以冲击消振器为背景的碰撞振动系统的周期运动的确定和稳定性方面的研究，代表了20世纪中期碰撞振动领域的主要研究成果。已有的大部分研究工作考虑单自由度和两自由度碰撞振动系统24-31，对多自由度的研究主要是定性分析和数值模拟。本文通过建立三自由度碰撞振动系统的运动微分方程，根据周期运动的边界条件，推导出n-1碰撞周期运动的Poincar映射，进一步研究了n-1碰撞周期运动的稳定性和分岔。最后通过数值模拟了三自由度碰撞振动系统周期运动的Hopf分岔和周期倍化分岔，进一步分析了周期运动向混沌的转变过程。第二章 算法介绍2.1 概述对混沌的认识使人们对非线性动力学系统的长期演化行为的研究，进入到一个前所未知的世界，把经典力学体系的动力学推进到一个新的阶段，并大大地丰富了确定性、随机性和统计规律性及其相互关系的研究内容。本世纪60年代以来，在计算机技术充分发展的推动下，国外的混沌研究，以洛伦兹(Lorenz)吸引子、费根鲍姆(Fei-genbaum)普适常数、KAM定理、阿诺德(Arnold)扩散、斯梅尔(Smale)马蹄理论为标志，取得了重大的突破。任何一个事物的研究和发展都是建立在一定的理论基础和计算方法之上的。对于非线性动力学系统，在大多数情况下，不能求得给定微分方程组的精确解。因此，常借助近似方法来求解系统的性态。而后在稳定性研究中利用已求得的解。由于根据的是近似方法，因此所得到的结论本身也是近似的，不见得真正反映系统的性态。近年来解析解法已成为研究混沌的重要手段。目前，单自由度碰撞振动系统周期运动的Hopf分岔问题在理论上已经取得较大进展32，但多自由度碰撞振动系统周期运动的Hopf分岔及概周期运动向混沌演化过程的机理研究开展尚少，研究方法及手段也主要是数值分析。Chatterjee数值模拟了冲击消振器周期运动，揭示了冲击消振器的及概周期运动经锁频和环面分岔向混沌演化过程。概周期运动可以通过半吸引环和“磕碰振动”转迁到混沌。映射的中心流形范式方法已成为研究高维非线性动力系统局部分岔问题的重要方法。对于一些机械工业部门常见的双自由度碰撞振动系统，如铸造落砂机、冲击消振器、双质体冲击振动成型床、振动锤和共振筛等，能够解析推倒出这些碰撞系统的单周期运动的Poincar映射，故可以利用高维映射的中心流形范式方法和平面含参数映射的Hopf分岔理论建立碰撞振动系统Hopf分岔研究的一般方法。2.2 高维映射Hopf分岔分析的中心流形范式方法范式理论是Poincar在其博士论文中提出来的。目的是用于分析常微分方程在平衡点或周期解附近的性态。其基本思想是通过取新的坐标基，使方程得右端项在新的坐标基下仅保留共振项，这些共振项确定了非线性系统的局部行为。现在范式理论已成为研究分岔问题的重要方法，因而在很长一段时间里得到人们的重视。为此，发展了多种计算常微分方程范式的方法。将中心流形理论与范式方法结合，创立了中心流形范式方法，并用来研究常微分方程的定常解余维分岔和周期解的Hopf分岔。本文应用中心流形理论与范式方法研究高维映映射方法在非共振和弱共振情况下的Hopf分岔问题，计算了高维映映射的中心流形，给出了映射的降维过程和二阶简化方程。在此基础上，可以应用二维含参数映射的Hopf分岔理论分析高维映射的Hopf分岔问题。2.3高阶常微分方程的初值问题解析法(analysis algorithm)33，是指用解析的方法找出表示问题的前提条件与结果之间关系的数学表达式，并通过表达式的计算来实现问题求解。高阶常微分方程可以化为常微分方程组，假设初值问题(非边值问题，是一阶常微分方程组)的右函数为：即式中： 时间； 因变量的个数； 线性方程组中方程的的个数，不一定是偶数；但对力学系统，为偶数，自由度数=质量块数； 系统的状态变量()； 状态变量函数()。无阻尼体系自由振动方程为；当外荷载为简谐荷载时，无阻尼体系受迫振动中，其稳定振动时的方程为。由此可以得出如下结论：在无阻尼自由振动方程中， ， ，不仅位移，而且速度，加速度等物理量也是按正弦(或余弦)规律变化着。在无阻尼简谐荷载受迫振动过程中，稳定振动时的方程为：， ， ，不仅位移，而且速度，加速度等物理量也是按正弦(或余弦)规律变化着。在无阻尼体系自由振动过程中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于时，其值分别为：， ， 在无阻尼体系简谐荷载强迫振动过程中，其稳态振动时，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于时，其值分别为：， ， 既然在运动的任一瞬时质量都处于平衡状态(即所谓的动平衡状态)，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处可建立运动方程，此时方程中将不含时间，结果把微分方程转化为代数方程，使计算得以简化。2.4 庞克莱(Poincar)映射理论对振动系统，可以用理论分析方法和数值方法来分析。由于理论分析方法Melnikov函数法难以刻画出奇怪吸引子的各种层次的精细结构，因此数值分析方法是目前分析非线性微分方程出现混沌的重要手段。用庞克莱映射，可以把运动由连续的轨线表示变成由系列的离散点表示，但在离散化过程中它并不改变系统原有的特性，同时经过离散化后的系统比原系统低一维，所以它经常应用于动态系统定性分析中，截面上的孤立点、闭曲线、分布在一定区域上的不可数点的集合分别表示系统有周期的、准周期的和混沌的相轨迹。当周期运动的周期很长时，仅根据相平面图难以区分周期振动和混沌振动。庞克莱映射能更好的刻画混沌振动的往复非周期特性。对于受外界激励的非线性系统，将外界激励周期记作。设为维实空间中非线性动力学系统的某个流上的一个闭轨，为一个维的超曲面，且对所有的皆成立，其中是在处的单位法向量(此时，称与处处横截)。设与有唯一的交点，为的某个邻域，对上的某个点的Poincar映射定义为： (2.1)其中，是经点的轨线首次回到所需的时间(一般而言，依赖于，但不一定等于闭轨的周期，但是当时，将有)。称为Poincar截面。2.5本章小结在非线性动力学系统中，解析法已成为研究混沌的重要手段，它尤其适用于对非线性动力学系统的状态方程的解耦，然后解出微分方程组的精确解。利用解析法对一阶常微分方程的系统进行求解，得到的结果是可靠的。利用Matlab软件进行模拟，形象而生动的描述了非线性运动混沌演化的过程。正确利用算法和Matlab软件编程，熟练掌握解题方法和技巧能够为我们今后的工作和学习起到积极的作用。第三章 两个单自由度振子碰撞振动系统3.1 物理模型图3.1为两个单自由度振子碰撞振动系统的力学模型图。质量为和的两个振子分别由刚度为和的线性弹簧及阻尼系数为和的线性阻尼器相联接，振子在光滑的水平面上做水平方向的振动，并分别受到简谐激振力，的作用。建立如图所示的坐标系，当质块的位移与质块的位移之差等于间隙时，两质块发生相互碰撞。碰撞后，两质块分别又以新的初值运动，然后再次碰撞，如此往复。图3.1 两个单自由度振子碰撞振动系统的力学模型3.2 数学模型在振子没有发生碰撞时()，对其进行隔离法受力分析 (a) (b)图3.2 受力分析图由牛顿第二定律即，得 (3.1)无量纲变化后系统()的运动微分方程为： (3.2)在式(3.2)中，“”表示对无量纲时间求导数。无量纲量如下：，设碰撞后两质量块的速度和，由动量定理得 (3.3)由碰撞恢反射系数的定义(如)表示碰撞后有80%的能量保留，损耗20%的能量)，有 (3.4) 用表示碰撞振动系统微分方程的正则模态矩阵。和表示在无碰撞情况下碰撞振动系统的固有频率。 将作为变换矩阵，进行坐标变换： (3.5) 方程可以解耦为： (3.6)这里，通过正则模态叠加法可以得到式(3.2)的通解。设式(3.2)的通解有如下形式： (3.7) (3.8)式中，；和为振幅常数。 (3.9) (3.10) 在适应的系统参数条件下，碰撞振动系统的运动能够表现出周期性，即碰撞周期(无量纲化后的的时间间隔)为，()，则可知系统周期运动的边界条件有：， (3.11)， (3.12) (3.13) (3.14)其中， 将式(3.11) (3.14)代入式(3.7)， (3.8)可以解出积分常数、以及相位角。为叙述方便可以令： ，首先给出 (3.15) (3.16) (3.17)如果时，则 (3.18) (3.19)则 (3.20)否则，当时有得 (3.21)其中：， (3.22) (3.23) (3.24) (3.25)在式(3.21)中，周期函数满足以下条件(根式要有意义，必须使；余弦的值域) (3.26)3.3 碰撞振动系统的Poincar映射和n-1周期运动的稳定性扰动运动方程为 (3.27) (3.28)设无量纲时间t为0，(质块与质块碰撞后瞬时)，则下一次两质块碰撞前瞬时，设无量纲时间t为，令，连续两次碰撞边界条表示为， (3.29) ， (3.30)， (3.31) ， (3.32) (3.33)将上式中的边界条件代入到式(3.27)，(3.28)，可以解出： (3.34) (3.35) (3.36) (3.37)将边界条件()代入式(3.27)，(3.28)得 (3.38) (3.39) (3.40) (3.41)，为的函数 (3.42)定义函数： (3.43)由不动点存在条件有 (3.44)假设： 根据隐函数定理，由(3.43)式得： (3.45)将(3.45)式代入式(4.44)可得Poincar映射： (3.46) Poincar映射在不动点处19的线性化矩阵为： (3.47)用表示容易写出矩阵中各元素(3.47)式的各项： (3.48)其中： 3.4 概周期碰撞运动和混沌形成过程在碰撞振动系统中选取系统参数，和。将系统激励频率作为吸引周期运动的分岔参数，仿真在周期运动不动点领域内特征值发展趋势。图3.3是振动系统的特征值图。图 3.3 特征值图(a) (b) (c) (d) (e) (f) 图3.4 Poincar映射投影图(a) ，吸引不变环； (b) ，吸引不变环； (c) ，吸引子变行膨胀(环)； (d) ，锁相；(e) ，混沌； (f) ，混沌； 在碰撞振动系统中选取系统参数，和。将系统激励频率作为吸引周期运动的分岔参数，仿真在周期运动不动点领域内特征值发展趋势。图3.5是振动系统的特征值图。 图3.5 特征值图 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 图3.6 Poincar映射投影图(a) ，吸引不变环； (b) ，吸引子变行膨胀； (c) ，吸引子变行膨胀； (d) ，吸引子变行膨胀；(e) ，锁相； (f) ，混沌。在碰撞振动系统中选取系统参数，和。图3.7 特征值图(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 图3.8 Poincar映射投影图 (a) ，吸引不变环； (b) ，吸引子变行膨胀； (c) ，吸引子变行膨胀； (d) ，锁相；(e) ，混沌； (f) ，混沌；(g) ，混沌； (h) ，混沌。3.5 本章小结 本文用解析解求出一类双自由度碰撞振动系统单碰撞周期运动及其Poincar映射，分析单碰撞周期运动在非共振和弱共振情况下的亚谐分岔、Hopf-flip分岔34-35和双单碰撞周期2运动的分岔，讨论概周期碰撞运动向混沌运动的演化过程。局部分岔分析表明，碰撞振动系统的单碰撞周期运动的倍化分岔时存在的，但是时有一些非常规现象出现。在碰撞振动系统中，不仅存在单碰撞周期运动的分岔，而且可能还存在多碰撞周期运动的分岔。第四章 三自由度振子碰撞振动系统本章将研究三自由度含间隙碰撞振动系统36-39的动态响应，根据碰撞条件和由碰撞规律所确定的衔接条件求得系统的对称型周期碰撞运动，讨论了该映射不动点的稳定性与局部分叉。用一个三自由度含间隙振动系统阐述了方法的有效性，分析了对称型周期碰撞运动分岔、擦边奇异性和混沌形成过程。4.1三自由度相对碰撞振动系统的力学模型及周期运动模型图4.1是一类具有三个振子、和的三自由度对碰系统的力学模型图。质量为、和的质量块分别由刚度为、和的线性弹簧和阻尼系数为、和的线性阻尼器连接与支承，三个质量块只作竖直方向的运动，并分别受到简谐激振力的作用。当质块的位移等于间隙时，质块将于质量块的轻质板发生碰撞，改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再与轻质板碰撞，如此反复。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞过程由碰撞恢复系数确定，碰撞持续时间略去不计。图 4.1三自由度碰撞振动系统的力学模型参数含义：实数集n维欧氏空间时间无量纲化的时间激振频率碰撞振子与固定约束碰撞前的瞬时速度碰撞振子与固定约束碰撞后的瞬时速度n个力周期，p次碰撞，无滞留过程，有滞留过程的扰动量分岔参数分岔值Poincar映射，Poincar映射在不动点处的线性化矩阵的只有最大模的共轭特征值对角阵衰减系数(1/s)：固有频率：相对阻尼系数：阻尼固有频率4.1.1推导运动微分方程由隔离法进行受力分析： (a) (b) (c)图 4.2三自由度碰撞振振动系统的受力分析由牛顿第二定律可得：在任意连续两次碰撞之间()，系统的运动微分方程为： (4.1)方程(4.1)的无量纲形式为：错! (4.2) (4.3) 其中，在方程(4.2)中，“”表示对无量纲时间T求导数。方程中无量纲量为： ， ， (4.4) 4.1.2 碰撞振动系统的周期运动求以下各矩阵及参数：用表示方程(4.2)的正则模态矩阵，表示正则质量矩阵，表示正则刚度矩阵，表示正则阻尼矩阵，表示正则化的激振力，表示在无碰撞情况下系统的固有频率。令：， (4.5)系统的特征值问题为： (4.6)设其解为： (4.7)把式(4.7)带入式(4.6)式得： (4.8) 则有： (4.9)将，带入上式解得： (4.10)易知：故均为正实根因此，均为正实根。把式(4.10)代回到式(4.9)中得到系统的主阵型：，其中，(表示第一阶固有频率()作用下质量块2的振幅)故系统的模态矩阵(阵型矩阵)为：模态质量矩阵：各阶模态质量的值为：，故正则模态矩阵为：正则刚度矩阵为：其中为谱矩阵，即正则化质量矩阵为一个阶单位矩阵。正则阻尼矩阵为：由于：，则有正则化阻尼矩阵为：正则化激振力为：令：则有：令：则有：解耦后的单自由度系统：对式(3.2)作如下坐标变换：则系统的正则模态方程为：即： (4.11)将式(4.11)化为： (4.12)则问题简化成两个单自由度的系统。设的通解为： (4.13) (4.14)令：， 则：运动微分方程的形式解(将用待定系数法求解)即： (4.15) (4.16) (4.17) (4.18)待定系数法求方程的稳态解，对于式(4.11)，其振动稳态过程时其解为式(4.15)，式(4.16)后两项即： (4.19) (4.20) (4.21)将式(4.19)、式(4.20)和式(4.21)代回到式(4.11)得：合并同类项得： (4.22)式(4.22)中，及不恒为零，上式成立，须有： (4.23) (4.24)由式(4.24)得： (4.25)将式(4.25)代入式(4.23)得：解得： (4.26)将式(4.26)代入式(4.25)得： (4.27)将，代入式(4.26)， 式(4.27)得： (4.28) (4.29)同理，对于质量块： (4.30) (4.31)当时，和发生碰撞，质块和的冲击方程及碰撞恢复系数R为： 、和、分别代表系统的冲击速度。由上式可得： (4.32) 在适当的参数下，图4.1所示的碰撞能够表现为周期碰撞过程56。周期运动表示振子碰撞后时间，下一次碰撞的时间恰好为，即连续两次碰撞的时间间隔皆为。系统周期运动的初始终止条件：， ， (4.33) 其中，将式(4.29)代入式(4.15)，式(4.16)可得： (4.34) (4.35) (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) (4.40)把式(4.34)式(4.40)代入(4.33)中，的表达式中可得： (4.41) (4.42)令：，由式(3.34)式(3.40)以，为未知数可求出如下线性其次方程组： (4.43) (4.44) (4.45) (4.46) (4.47) (4.48) (4.49) (4.50)由式(4.43)，式(4.44)两式(右端相同)得： (4.51)得：得：， (4.52)