2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质1学案新人教A版.doc

2.2.2椭圆的简单几何性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆1(ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b).思考2在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).梳理椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c，0)(0，c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.(2)对于1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2y2a2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解已知方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是(，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(4，0)，(4，0)，(0，3)和(0，3).引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解由已知得椭圆标准方程为1，于是a，b，c.长轴长2a，短轴长2b，离心率e.焦点坐标(，0)和(，0)，顶点坐标(，0)，(0，).反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解椭圆的标准方程为1，则a9，b3，c6，长轴长2a18; 短轴长2b6；焦点坐标(0，6)，(0，6)；顶点坐标(0，9)，(0，9)，(3，0)，(3，0).离心率e.类型二椭圆的几何性质简单应用命题角度1依据椭圆的几何性质求标准方程例2如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程.解依题意，设椭圆的方程为1(ab0)，由椭圆的对称性知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc，|FA|，即ac，且a2b2c2，将上面三式联立，得解得所求椭圆方程为1.反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0).依题意有解得椭圆方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求的椭圆方程为1.命题角度2对称性问题例3讨论方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.解用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，它改变了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲线不关于x轴对称.同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲线也不关于y轴对称.而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于原点对称.反思与感悟研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“y”代替方程中“y”，用“x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.跟踪训练3曲线x22y10的对称轴为()A.x轴 B.y轴 C.直线yx D.无法确定答案B解析保持y不变，以“x”代替方程中“x”，方程不变，故该曲线关于y轴对称.命题角度3最值问题例4椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P(0，)到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程.解设所求椭圆方程为1(ab0).，a2b.椭圆方程为1.设椭圆上点M(x，y)到点P(0，)的距离为d，则d2x2(y)24b2(1)y23y3(y)24b23.(*)(1)当b，即b时，df()4b237，解得b1，椭圆方程为y21.(2)当b，即b，与b矛盾.综上所述，所求椭圆方程为y21.反思与感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练4已知椭圆1(3m5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右依次为A，B，C，D，记f(m)|AB|CD|.(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最大值和最小值.解(1)设点A，B，C，D在x轴上的射影分别为A(x1，0)，B(x2，0)，C(x3，0)，D(x4，0)，则|AB|x2x1|，|CD|x4x3|.又x1x40，且x1x2x3b0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|，求椭圆离心率e的取值范围.解依题意得F1(c，0)，直线l：yk(xc)，则C(0，kc).因为点B为CF1的中点，所以B(，).因为点B在椭圆上，所以1，即1.所以1，所以k2.由|k|，得k2，即，所以2e417e280.解得e28.因为0e1，所以e21，即eb0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为_.答案解析一方面PF1F2的面积为(2a2c)r；另一方面PF1F2的面积为|yp|2c，(2a2c)r|yp|2c，(ac)r|yp|c，.1，又yp4，11，椭圆的离心率为e.1.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析由2x23y2m(m0)，得1，c2，e2，e.2.与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A.1 B.x21 C.y21 D.1答案B解析由已知c，b1，故椭圆的标准方程为x21.3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为_.答案1解析据题意a5，c3，故b4，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.4.已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_.答案42，42解析因为点(m，n)在椭圆8x23y224上，即在椭圆1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，42.5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为_.答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，).1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.2.椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体灵活应用.3.利用正弦、余弦定理处理PF1F2的有关问题.4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.40分钟课时作业一、选择题1.椭圆4x249y2196的长轴长、短轴长、离心率依次是()A.7，2， B.14，4，C.7，2， D.14，4，答案B解析先将椭圆方程化为标准形式：1，其中b2，a7，c3.2.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1答案A解析依题意得c2， ab10 ，又a2b2c2从而解得a6，b4.3.若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m等于()A. B. C. D.答案B解析a22，b2m，e ，m.4.椭圆(m1)x2my21的长轴长是()A. B. C. D.答案C解析椭圆方程可简化为1，由题意知m0，b0)的焦点分别为F1，F2，|F1F2|2，离心率e，则椭圆方程为()A.1 B.y21 C.1 D.1答案C解析因为|F1F2|2，离心率e，所以c1，a2，所以b23，椭圆方程为1.6.设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左，右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B. C. D.答案C解析设直线x与x轴交于点M，则PF2M60，在RtPF2M中，|PF2|F1F2|2c，|F2M|c，故cos 60，解得，故离心率e.二、填空题7.已知椭圆C的上，下顶点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e_.答案解析因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e.8.若椭圆1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_.答案1解析x1是圆x2y21的一条切线.椭圆的右焦点为(1，0)，即c1.设P(1，)，则kOP，OPAB，kAB2，则直线AB的方程为y2(x1)，它与y轴的交点为(0，2).b2，a2b2c25，故椭圆的方程为1.9.若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为_.答案1或1解析由题意可知a2b，c1，所以1b24b2，故b2，a2，则此椭圆的标准方程为1或1.10.已知P点是椭圆1(ab0)上异于顶点的任一点，且F1PF260，则这样的点P有_个.答案4解析依据椭圆的对称性知，四个象限内各有一个符合要求的点.三、解答题11.已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.解(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(6，0)，离心率e.(2)椭圆C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0，10)，(0，10)，短轴端点(8，0)，(8，0)，焦点坐标(0，6)，(0，6)；离心率：e.12.若椭圆1(k2)的离心率为e，求k的值.解当焦点在x轴上时，a2k2，b24，