2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词1.3.1且and1.3.2或or学案新人教A版.doc

1.3.1且 (and) 1.3.2或 (or)学习目标1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.知识点一“且”思考观察三个命题：5是10的约数；5是15的约数；5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.答案命题是将命题，用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义ABx|xA且xB中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既，又”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.梳理(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作“p且q”.当p，q都是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题.我们将命题p和命题q以及pq的真假情况绘制为命题“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假假假真假假假假命题“pq”的真值表可简单归纳为“同真则真”.(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，ABx|xA且xB中的“且”是指“xA”与“xB”这两个条件都要同时满足.(3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题pq的真与假.知识点二“或”思考观察三个命题：32；32；32，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.答案命题是命题，用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.“或”从集合的角度看，可设Axx满足命题p，Bxx满足命题q，则“pq”对应于集合中的并集ABxxA或xB.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q， 即两者中至少要有一个.梳理(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作“p或q”.(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pq是假命题.我们将命题p和命题q以及pq的真假情况绘制为命题“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假真假真真假假假命题“pq”的真值表可简单归纳为“假假才假”.(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念ABx|xA或xB中的“或”，它是指“xA”，“xB”中至少有一个是成立的，即可以是xA且xB，也可以是xA且xB，也可以是xA且xB.(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题pq的真与假.类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题.(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)22.解(1)是pq形式命题.其中p：向量有大小，q：向量有方向.(2)是pq形式命题.其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.(3)是pq形式命题.其中p：22，q：22.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.跟踪训练1命题“菱形对角线垂直且平分”为_形式复合命题.答案pq命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：1是方程x24x30的解，q：3是方程x24x30的解.解(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.(2)p或q：1或3是方程x24x30的解.p且q：1与3是方程x24x30的解.反思与感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.跟踪训练2指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.(1)02；(2)30是5的倍数，也是6的倍数.解(1)此命题为“pq”形式的命题，其中p：02；q：02.(2)此命题为“pq”形式的命题，其中p：30是5的倍数；q：30是6的倍数.类型二“pq”和“pq”形式命题的真假判断例3分别指出“pq”“pq”的真假.(1)p：函数ysin x是奇函数；q：函数ysin x在R上单调递增；(2)p：直线x1与圆x2y21相切；q：直线x与圆x2y21相交.解(1)p真，q假，“pq”为真，“pq”为假.(2)p真，q真，“pq”为真，“pq”为真.反思与感悟形如pq，pq，命题的真假根据真值表判定.如：pqpqpq真真真真真假假真假真假真假假假假跟踪训练3分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.(1)p：是无理数，q：不是无理数；(2)p：集合AA，q：AAA；(3)p：函数yx23x4的图象与x轴有公共点，q：方程x23x40没有实数根.解(1)p真q假，“p或q”为真，“p且q”为假.(2)p真q真，“p或q”为真，“p且q”为真.(3)p假q假，“p或q”为假，“p且q”为假.类型三已知复合命题的真假求参数范围例4设命题p：函数f(x)lg(ax2xa)的定义域为R；命题q：关于x的不等式3x9x0对xR恒成立.当a0时，x0，不合题意；当a0时，可得即a2.(2)令y3x9x(3x)2.由x0，得3x1，y3x9x的值域为(，0).若命题q为真命题，则a0.由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假.当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0a2.满足条件的a的取值范围是a|0a2.反思与感悟解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.跟踪训练4已知命题p：方程a2x2ax20在1，1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x22ax2a0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.解对于命题p：由a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0，显然a0，x或x，x1，1，故|1或|1，即|a|1.p为假时得|a|1.对于命题q：只有一个实数x满足x22ax2a0，即抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点，由4a28a0，得a0或a2.q为假时得a0且a2.又命题“p或q”为假，即p与q都为假命题，a的取值范围是(1，0)(0，1).1.已知命题p、q，若p为真命题，则()A.pq必为真 B.pq必为假C.pq必为真 D.pq必为假答案C解析pq，见真则真，故必有pq为真.2.命题“xy0”是指()A.x0且y0 B.x0或y0C.x、y至少有一个不为0 D.不都是0答案A解析满足xy0，即x，y两个都不为0，故选A.3.已知p：函数ysin x的最小正周期为，q：函数ysin 2x的图象关于直线x对称，则pq是_命题.(填“真”或“假”)答案假解析据题命题p为假命题，命题q也是假命题，故pq是假命题.4.已知命题p：函数f(x)(2a1)xb在R上是减函数；命题q：函数g(x)x2ax在1，2上是增函数，若pq为真，则实数a的取值范围是_.答案2，)解析命题p：由函数f(x)在R上为减函数得2a10，解得a，命题q：由函数g(x)x2ax在1，2上是增函数，得1，解得a2.由pq为真得p、q都为真，故a的取值范围为(，)2，)，即为2，).5.已知命题p：函数f(x)(xm)(x4)为偶函数；命题q：方程x2(2m1)x42m0的一个根大于2，一个根小于2，若pq为假，pq为真，求实数m的取值范围.解若命题p为真，则由f(x)x2(m4)x4m，得m40，解得m4.设g(x)x2(2m1)x42m，其图象开口向上，若命题q为真，则g(2)0，即22(2m1)242m0，解得m3.由pq为假，pq为真，得p假q真或p真q假.若p假q真，则m0 B.a0 C.a1 D.a1答案B解析方程x22xa0有实数根，44a0，解得a1.函数f(x)(a2a)x是增函数，a2a0，解得a1.pq为假命题，pq为真命题，p，q中一真一假.当p真q假时，得0a1；当p假q真时，得a1.由得，所求a的取值范围是a0.3.命题p：“x0”是“x20”的必要不充分条件，命题q：ABC中，“AB”是“sin Asin B”的充要条件，则()A.p真q假 B.pq为真C.pq为假 D.p假q真答案D解析命题p假，命题q真.4.命题p：点P在直线y2x3上；q：点P在曲线yx2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是()A.(0，3) B.(1，2)C.(1，1) D.(1，1)答案C解析点(x，y)满足解得P(1，1)或P(3，9)，故选C.5.设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图象关于直线x对称.则下列判断正确的是()A.p为真 B.q为真C.p且q为假 D.p或q为真答案C解析利用含逻辑联结词命题的真值表求解.p是假命题，q是假命题，因此只有C正确.6.给出下列命题：21或13；方程x22x40的判别式大于或等于0；25是6或5的倍数；集合AB是A的子集，且是AB的子集.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由于21是真命题，所以“21或13”是真命题；由于方程x22x40的4160，所以“方程x22x40的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于ABA，ABAB，所以命题“集合AB是A的子集，且是AB的子集”是真命题.二、填空题7.命题“相似三角形的面积或周长相等”为_命题.(填“真”或“假”)答案假解析该命题是由命题p：“相似三角形的面积相等”和命题q：“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题.因为p是假命题，q也是假命题，所以pq是假命题.8.若命题pq为假命题，则命题“pq”是_命题.(填“真”或“假”)答案假解析因为pq为假命题，所以p，q都是假命题，故pq必为假命题.9.已知p：x22x30；q：0，若p且q为真，则x的取值范围是_.答案(1，2)解析当p为真命题时，x22x30，则1x3；当q为真命题时，x20，则x2.当p且q为真命题时，p和q均为真命题，从而1x1的解集是x|x0，q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为_.答案(0，1，)解析若p真，则0a.若q假，则a，又p和q有且仅有一个为真，当p真q假时，00的解集为R且不等式x22x21的解集为.解(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x22x10的解集为R，q：不等式x22x21的解集为.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题.12.设p：函数f(x)lg(ax24xa)的定义域为R；q：设a(2x2x，1)，b(1，ax2)，不等式ab0对任意x(，1)恒成立.如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围.解若p为真命题，则ax24xa0对xR都成立，则(4)24a20，即解得a2.若q为真命题，则由ab0对任意x(，1)恒成立，知2x2x(ax2)0，即a2x1对任意x(，1)恒成立，则a(2x1)max.令f(x)2x1，可知f(x)在(，1)上是增函数，当x1时取得最大值，ymax1.故a1.又p