2018版高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法二学案新人教A版.doc

2.1 数列的概念与简单表示法（二）学习目标1.理解数列的几种表示方法，能用函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项知识点一数列的函数性质1数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1，2，n)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2在数列an中，若an1an，则an是递增数列；若an1an，则an为递减数列；若an1an，则an为常数列思考1从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？答案还可以用列表法，图象法思考2数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？答案联系：若函数f(x)在1，)上单调，则数列f(n)也单调反之不正确，例如f(x)(x)2，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，)上不是单调递增区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设DI，对任意x1，x2I，当x1f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)0，f(2)30，f(3)an，当n3，nN*时，an1an，即a1a2a4a5.数列an的前3项是递增的，从第3项往后是递减的反思与感悟判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：作差；变形；定号；结论作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系跟踪训练1求例题中的数列an的最大项解a1a2a4a5，数列an的最大项为a3.题型二递推公式的简单应用例2(1)已知数列an满足anan1an1(1)n且a11，则等于()A. B. C. D.(2)已知数列an满足a11，an1.通过它的前5项，归纳得出数列的一个通项公式是_答案(1)B(2)an(nN*)解析(1)由a11知a2a1a1(1)2，得a22；由a3a2a2(1)3，得a3；同理得a43，a5，故，选B.(2)a11，a2，a3，a4，a5.故数列的一个通项公式为an(nN*)反思与感悟(1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似可以根据递推公式依次求得数列中的项(2)利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们猜想数列的通项公式跟踪训练2数列an满足a11，an12anan1an0.(1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列an的一个通项公式解(1)由已知可得a11，a2，a3，a4，a5.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，所以它的一个通项公式为an.题型三由递推公式求通项公式例3(1)已知数列an中，a12，an1anln(1)，求an.(2)已知数列an中，a11，且an12an(nN*)，写出前3项，猜想an并加以证明解(1)由题意得an1anln，anan1ln(n2)，an1an2ln，a2a1ln.当n2时，ana1ln()ln n，an2ln n(n2)当n1时，a12ln 12，符合上式，an2ln n(nN*)(2)a1120，a22a121，a32a222，猜想an2n1(nN*)证明如下：由题意得，an2an1(n2)，a110，an0，2，2，2，2n1(n2)，2n1，an2n1(n2)当n1时，a1211201，符合上式，an2n1(nN*)反思与感悟(1)由递推公式写出通项公式的步骤先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；写出一个通项公式并证明(2)用“累加法”求数列的通项公式当anan1f(n)(n2)满足一定条件时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1累加来求通项an.(3)用“累乘法”求数列的通项公式当g(n)(n2)满足一定条件时，常用ana1累乘来求通项an.跟踪训练3已知数列an中，a11，则数列an的通项公式是()Aan2n BanCan Dan答案C解析，当n2时，()n1，ana1()n1()n1(n2)当n1时，a1()11()01，符合上式，an()n1.例4求数列2n229n3中的最大项错解由已知，得an2n229n32(n)2108，数列2n229n3中的最大项为108.正解由已知，得an2n229n32(n)2108.由于nN*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108，数列2n229n3中的最大项为a7108.1下列四个命题：如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；数列，的通项公式是an；数列的图象是一群孤立的点；数列1，1，1，1，与数列1，1，1，1，是同一数列其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案A解析只有正确中，如已知an2an1an，a11，无法写出除首项外的其他项中an，中1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列2数列2，4，6，8，10，的递推公式是()Aanan12(n2)Ban2an1(n2)Ca12，anan12(n2)Da12，an2an1(n2)答案C解析A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a12，a24，a38，不合题意3数列xn中，若x11，xn11，则x2 017等于()A1 BC. D1答案D解析x11，x2，x31，数列xn的周期为2，x2 017x11.4数列an中，an，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()Aa1，a50 Ba1，a44Ca45，a44 Da45，a50答案C解析an1.当n1，44且nN*时，an单调递减，当n45，)且nN*时，an单调递减，结合函数f(x)的图象，可知(an)maxa45，(an)mina44.5已知数列an满足a11，anan12(n2)，则数列的通项an等于()A2n1 B2nC2n1 D2(n1)答案C解析当n2时，anan12，(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)2222(n1)， (n1)个an2n1.当n1时，an1适合上式，an2n1(nN*)6已知数列an，对于任意的p，qN*，都有apaqapq，若a1，则a36_答案4解析由已知得a1a1a11a2，a2，同理a4，a8，a9a81a8a11，a362a184a94.1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方